On the BCK-algebra

Abstract

In this paper, we will study a new class of algebra called a BCK-algebra which was introduced by K. Iyoshi Iseki. We will begin with definitions of this algebra which satisfies the following conditions : Let X be an abstract set with two binary operations * and ≤. We suppose that X has a constant denoted by 0. For any x, y, z in X (1) (x * Y) * (x * z) ≤ z * Y, (2) x * (x * y) ≤ y, (3) x ≤ x, (4) x ≤ y, y ≤ x implies x=y, (5) 0 ≤ x, where x ≤ y is defined by x * y = 0. We will show the following main facts of this paper : (a) If a homomorphism f : M→M' of BCK-algebrs with f(M)=M' and I is an ideal of M such that ker(f) ≤ I, then f(I) is an ideal of M'. (b) Let f be a homomorphism from a BCK-algebra M onto a BCK-algebra M'. Then there is a one-to-one correspondence between those ideals I of M such that ker(f) ≤ I and the set of all ideals I' of M'. Specially, I' is given by I'=f(I). (c) Let f be a homomorphism from a BCK- algebra M onto a BCK-algebra M' and let I be an ideal of M. If ker(f) ≤ I, then M/I is isomorphic to M'. (d) Let f be a homomorpnism from a BCK -algebra M onto a BCK-algebra M' and let I be an ideal of M. If ker(f) ≤ I, then M/I □ M'/f(I). (e) Let f be a homomorphim from a BCK-algebra M onto a BCK-algebra M'. If I' is any ideal of M', then M/f^(-1) □ M'/I'. ;본 논문에서는 K. Iyoshi Ise´kirk 소개한 BC´K-algebra라고 불리우는 대수의 새로운 구조에 관하여 연구하였다. 즉, 일반적인 대수 M=〈X : *,0〉가 BC´K-algebra란 다음 조건을 만족한다. 모든 원소 a,b,c∈X에 대해서 (1) (x*y)*(x*z)≤z*y, (2) x*(x*y)≤y, (3) X≤x, (4) x≤y, y≤x이면 x=y이다. (5) 0≤x, 여기서, x≤y는 x*y=0을 의미한다. 이 논문에서 다음과 같은 사실을 밝혔다. (a) f가 BC´K-algebra M에서 M'위로의 준동형사상 이고 Ker(f)⊆I를 만 □의 ideal 이라고 하면 f(I)는 M'의 ideal이다. (b) f를 BC´K-algebra M에서 M'위로의 준동형사상 이라고 하자. 그러면 Ker(f)⊆I를 만족하는 M의 ideal I의 집합과 M'의 Ideal I'의 집합 사이에는 일대일 대응이 된다. 특히, I'=f(I0 (c) f가 BC´K-algebra M에서 M'위로의 준동형사상 이고 Irk M의 ideal이라고 k자. Ker(f)⊆I이면 M/I는 M'과 동형이다. (d) f를 BC´K-algebra M에서 M'위로의 준동형사상이고 I는 M의 ideal이라고 하자. Ker(f)⊆I이면 M˙/I□M'/f(I)이다. (e) f가 BC´K-algebra M에서 M'위로의 준동형사상 이라고 하자. I는 I'의 ideal이면 M/f^(-1)I□M'/I'이다.