ON GROUP EXTENSIONS AND SCHUR MULTIPLIER

Abstract

We study the extension problem for special groups. Let M and G be cyclic groups of order p and q, where p and q are prime numbers. We explictly determine the equivalence classes of extensions of M by G, and the equivalence classes of those extensions which are compatible with the given G- module structure of M. By doing this we point out the difference between extensions and compatible extensions of M by G. And we also deal with the Schur multiplier M(G) of the direct product G = G_(1)×G_(2), where G_(1) and G_(2) are finite groups. Indeed we prove the following: (1) Let M = Z_p and G = ＜z｜ z^p = 1＞. Then the only action of G on M is the trivial action, and there are exactly p equivalence classes of extensions of M by G. In particular, H^(2)(G,M)=∼Z_p. (2) Let M = Z_p and G = ＜z｜ z^q = 1＞. If q□p-1, the only G- module structure of M is the trivial one, and so H^(2)(G,M) = {0}. If q｜p-1, there are exactly q distinct G- module structures of M. For each G- module structure of M, there is exactly one equivalence class of compatible extensions of M by G. So H^(2)(G,M) = {0}. But there are exactly q equivalence classes of extensions of M by G. (3) Let G = G_(1) × G_(2) be the direct product and M be the trivial G- module. Then H^(2)(G,M)=∼H^(2)(G_(1),M)□Hom(G_(1)□G_(2),M)□H^(2)(G_(2),M).;이 論文에서는 몇몇 특별한 群에 대한 廣大문제와 群이 有限部分 群의 直積으로 표시될 때 Schur곱셈因子에 대한 문제를 연구한다. 群 M과 G를 位數가 p ,q,인 循環群이라고 할 때 (여기서 p, q,는 서로 다른 素數), G에 의한 M의 廣大들의 同値類와 주어진 G-可群구조와 兩立可能한 廣大들의 同値類를 직접 찾고, 동시에 廣大와 兩立可能한 廣大의 차이점을 강조한다. 실제로 다음과 같은 정리가 성립됨을 보인다: (1) M = Z_(p)이고 G= <Z ｜ Z_(p) =1 >이라고 하자. 그러면 M위에서의 작용은 自明한 작용뿐이고, 또한 G에 의한 M의 廣大들의 同値類가 꼭 p개 있다. 특히 제 2코호몰로지群 H^(2)( G, M)은 Z_(P)와 同型이다. (2) M = Z_(p)이고, G= <Z ｜ Z_(q) =1 >이라고 하자. ⅰ) q｜p^(-1)이면 M의 G -可群구조는 自明한 것이고, 제 2 코호몰로지群 H^(2)( G, M )은 {0}과 同型이다. ⅱ) q｜p^(-1)이면 M의 G -可群구조가 꼭 q개 있으며, 그 각 구조에 대해 兩立可能한 廣大들의 同値類가 단 하나 있게 된다. 실제로 제 2코홀몰로지群 H^(2)( G, M )은 {0}과 同型이다. 그러나 G에 의한 M의 廣大들의 同値類는 q개이다. (3) G = G_(1) G_(2)라고 하자. 또 M을 自明한 G -可群이라고 하자. 그러면 H^(2)(G, M) □ H^(2)( G, M) □ Hom ( G_(1) □ G_(2), , M ) □ H^(2) ( G_(2) , M )이 되고, 또 M(G)□M(G_(1))□( G_(1) □ G_(2) )□ M(G_(2))이다.