Class groups of cyclic extensions over the rational function field

Abstract

We study the structure of the l-class groups of cyclic extensions over the rational function field F_q(T) of prime degree l, where F_q is the finite field of order q: that is, Kummer extensions and Artin-Schreier extensions. The purpose of this study mainly have two parts: first, we explicitly determine a lower bound on the l^3-ranks of the ideal class groups and the divisor class groups of cyclic function fields of prime degree l by finding explicit and feasible algorithms. In particular, in the case that l=2, we obtain the full 2^3-rank of the ideal class group and the divisor class group of any cyclic function field of degree 2. We illustrate our results by presenting a few examples in various cases depending on the ramification behavior of the infinite prime of F_q(T).;본 연구에서는 표수가 p인 rational 함수체에서 차원이 소수 l인 순환 확대체-Kummer 확대체 또는 Artin-Schreier 확대체의 분류군 구조를 규명한다. 이를 위해, 본 학위 논문은 크게 두 가지 부분으로 구성되어 있다. 첫째, 명확한 알고리즘을 제시함으로써 차원이 소수 l인 순환 확대체의 아이디얼 유군 (ideal class group)과 인자 유군 (divisor class group)의 l^3 계수 하한을 결정한다. 특히, l이 2인 경우에는 차수가 2인 순환 함수체의 아이디얼 유군과 인자 유군의 전체 2^3 계수를 얻는다. 둘째, Kummer 확대체의 인자 유수 (divisor class number)가 차원 l로 나누어지지 않는 필요충분조건을 찾는다. 더 나아가서, 인자 유수가 l에서 1과 congruent하다는 사실을 보인다. 이에 대한 응용으로, 인자 유수가 차원 l에 의해서 나누어지는 원분 함수체의 infinite family를 구성한다.