고등학교 학생들의 정적분 개념의 해석 전략과 표현 방식에 따른 이해

Abstract

본 연구에서는 고등학교 자연계열 학생들을 대상으로 이미 학습한 정적분 개념을 어떻게 이해하고 있는지를 다음과 같이 확인하고자 한다. Jones(2013, 2015b)의 연구에서는 학생들이 자주 사용하는 정적분의 기호 형식(symbolic form)을 둘레와 넓이(Perimeter and Area), 함수 맞춤(Function matching), 직사각형 조각의 누적(Adding up pieces)의 3가지로 분류하였다. 각각은 정적분 개념의 곡선 아래의 넓이, 부정적분의 함숫값의 차, 리만 합의 극한이라는 개념화(conceptualization)와 대응된다. 또한 전인태 외(2015)의 연구에서 국가 간 비교 연구를 통해 일본, 영국, 미국, 핀란드와 같은 국가에서 정적분 개념을 학생들이 어려워하는 리만 합의 극한으로 반드시 도입하지 않음을 확인하고 2015 개정 교육과정에서는 정적분의 도입 방식을 바꾸었다. 이러한 변화와 Jones의 연구를 바탕으로 정적분 개념의 해석 전략을 곡선 아래의 넓이, 부정적분의 함숫값의 차, 리만 합의 극한의 세 가지로 나누고 학생들의 정적분 개념을 어떻게 이해하고 있는지를 확인하는 것이 본 연구의 목적이다. 더불어 본 연구는 표현 방식에 따라 그 이해와 활용의 정도가 다른지를 선행연구의 문항들을 통해 조사하고, 교사의 정적분 지도 방식이 학생들의 이해에 어떤 영향을 미치는지 확인하고자 한다. 위와 같은 연구문제를 해결하기 위해 본 연구는 서울 소재의 고등학생 3학년 자연 계열의 학생들을 대상으로 설문을 실시하였다. 학생들은 2018학년도에 ‘미적분Ⅰ’과 ‘미적분Ⅱ’를 이미 수강하였다. 정적분 개념의 이해에 관한 여러 선행연구(Orton, 1983; 신보미, 2009; 최정현, 2011, 2012; Jones, 2015b; 김원우, 2018)와 교과서(우정호 외, 2015)의 문제로 설문지를 구성하였다. 설문 문항은 정적분 개념의 해석 전략 3가지와 그래픽, 상황·언어적, 기호적 표현을 기준으로 재분류하였다. 연구결과로 나타난 학생들의 정적분 개념의 이해를 살펴보면, 학생들은 정적분 개념의 세 가지 해석 전략 중 곡선 아래의 넓이, 부정적분의 함숫값의 차, 리만 합의 극한의 순서대로 쉽게 이해함을 알 수 있었다. ‘곡선 아래의 넓이’해석 전략에서는 그래픽 표현, ‘부정적분의 함숫값의 차’해석 전략에서는 기호적 표현을 쉽게 이해함을 알 수 있다. 또한, ‘부정적분의 함숫값의 차’해석 전략의 그래픽 표현과 ‘리만 합의 극한’ 해석 전략의 상황·언어적 표현과 기호적 표현은 어려워함을 알 수 있었다. 한편, 교사들의 정적분 지도 방식은 학생들의 정적분의 이해에 다음과 같은 영향을 미쳤다. 교사들은 정적분은 구분구적법을 일반화한 리만 합의 극한으로 정의를 도입하였지만 학생들은 정적분의 형식적인 정의를 정확하게 기술하지 못하고 곡선 아래의 넓이나 부정적분의 함숫값의 차와 관련되었다고 응답했다. 또한 교사들이 정적분과 넓이 단원의 지도에서도 곡선 도형의 넓이를 구하는 맥락에서 구분구적법으로 정의하였음에도 불구하고 학생들은 곡선 도형의 넓이를 구하기 위한 방법으로 구분구적법보다는 무한소량이나 불가분량의 의미를 더 많이 제시했다. 마지막으로 교사들은 부정적분을 미분의 역과정이며 미분하여 가 되는 모든 함수로 정의했으나 학생들은 이를 정확하게 기술하지 못한 채 정적분과 비교하였다. 교사들이 두 개념을 비교하며 미적분학의 기본정리를 언급하지 않았기 때문에 학생들이 ‘부정적분의 함숫값의 차’해석 전략의 원리를 이해하기 어려울 것이라 예상된다. 부정적분과 정적분의 차이에 대해서는 부정적분은 함수, 정적분은 상수 또는 부정적분은 구간 없음, 정적분은 구간 있음과 같은 지도 방식을 사용하였으며 이는 학생들의 답안에서도 자주 관찰할 수 있었다. 연구결과로부터 다음의 내용을 논의할 필요가 있다. 첫째, 학생들이 정적분 개념의 해석 전략들을 충분히 학습할 기회를 제공받았는가 하는 문제이다. 둘째, 정적분 개념의 해석 전략에 따른 이해의 차이가 있음을 알고 학습자들이 이해하기 쉬운 순서로 과제를 구성했는지에 대한 문제이다. ;In this study, we would like to see how high school students understanding the concept of definite integral that they have already learned. In the study of Jones(2013, 2015b), symbolic forms of the definite integral that are frequently used by students classified into three categories: perimeter and area, function matching, and adding up pieces. A comparative study conducted by Jeon(2015) confirmed that the concept of the definite integral is not necessarily introduced to the limit of the Riemann Sum, which students find difficult, in countries such as Japan, the U.K., the U.S., and Finland, and changed the method of introducing the definite integral concept in the 2015 revised curriculum. Based on these changes and Jones' study, the purpose of this study is to divide the interpretation strategy of the definite integral concept into three broad areas under the curve, the difference in the function values of the integrand, and the limit of the Riemann Sum, and to see how students understand the concept of definite integral. In addition, this study examines through the questions of prior studies whether the understanding and utilization differ depending on the expression method, and how teachers’ teaching style of definition affects the understanding of the students. To solve these problems, the study surveyed students from the science course students in the third year high school students in Seoul. The students had already taken ‘Differential Ⅰ’, ‘Differential Ⅱ’ in the 2018 school year. A questionnaire was organized as a matter of several prior studies on understanding the concept of the definite integral(Orton, 1983; Shin, 2009; Choi, 2011, 2012; Jones, 2015b; Kim, 2018) and textbook(Woo, 2015). The questionnaire can be reclassified based on three interpretation strategies of the definite integral concept and on graphical, contextual and symbolic representations. Looking at the students' understanding of the definite integral concepts as shown by the study results, It has been easy for students to understand the area under the curve, the difference in the function values of the integrand, and the limit of the Riemann sum among the three interpretation strategies of the definite integral concept. It is easy to understand the graphic representation in the ‘the area under the curve’ interpretation strategy, and the symbolic representation in the ‘the difference in the function values of the integrand’ interpretation strategy. In addition, graphical representations of the ‘the difference in the function values of the integrand’ interpretation strategy and contextual and symbolic representations of the ‘the limit of the Riemann sum’ interpretation strategy are difficult. On the other hand, teaches' teaching style of the definite integral had following effect on students' understanding of the definite integral. concepts. The teachers said the definite integral is introduced definition to the limit of the Riemann sum, but students did not accurately describe the formal definition of the definite integral and related to the difference in the function values of the integrand or the area under the curve. In addition, even though teachers defined the area of curved shapes in the context determining the limit of the Riemann sum, students presented more meaning in indivisibility or infinitesimal than in the limit of the Riemann sum. Last, teachers defined the indefinite integral as an inverse process of differential, but students compared it to the definite integral without elaborating. In particular, since teachers did not mention the Fundamental theorem of calculus while comparing the two concepts, it is expected that students will find it difficult to understand the principle of ‘the difference in the function values of the integrand.’As for the difference between the indefinite integral and the definite integral, ‘the indefinite integral is a function’, ‘the definite integral is a constant’ or ‘the indefinite integral has not an interval’, ‘the definite integral has an interval.’ was often observed in the student's answers. The following needs to be discussed from the results of the study. First, whether students have been given the opportunity to fully learn the strategies for interpreting the definite integral concepts is a question. Second, it is a question of whether learners have organized the task in an easy-to-understand sequence, knowing that there are differences of understanding depending on the interpretation strategy of the definite integral concept.