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교과서에서 사용하는 무정의 용어에 대한 교사 인식 조사

Title
교과서에서 사용하는 무정의 용어에 대한 교사 인식 조사
Other Titles
A Study on the Teachers' Recognition of Undefined Mathematical Terms in Mathematics Textbooks
Authors
황규희
Issue Date
2018
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Advisors
이용하
Abstract
Mathematical terms play an important role in learning and using the concepts associated with the mathematical terms. In textbooks, many mathematical concepts are explained through mathematical terms, and understanding the meaning of mathematical terms begins with mathematics learning. Therefore, a definition of mathematics terminology is required. Academic mathematics requires strict definitions, while school mathematics does not insist on rigid definitions for easy understanding of students. Meanwhile, not all mathematical terms are defined in school mathematics textbooks. The mathematical terms that are usually used without definition are referred to as undefined terms, however, in school mathematics, it is sometimes inappropriate to use them without definition or explanation. Mathematics terms are expected to be grounded on daily life so students can familiarly understand them. Nevertheless, considering their diverse and individual daily experiences using them without definition need further attention. In addition, the mathematical terminology used in textbooks is a communication tool between teachers and students, which cannot be used without definition and explanation and cannot be easily understandable and meaningful. A study on the existing undefined mathematical terms was conducted only in elementary schools, and there was no study on the opinions of teachers. In this regard, this study aims to examine teachers' perception on undefined mathematical terms used in middle and high school mathematics textbooks. In doing so, this study critically examines the appropriateness of the undefined mathematical terms usage in the textbooks.There search questions of this study areas follows: 1. How consistent are teachers' perceptions in assessing student perceptions? 2. What are the teachers' perceptions of the description of undefined mathematical terms used in textbooks? This study first chose the undefined mathematical terms used in the mathematical textbooks, such as “simplify”, “value”, “expression” and “relative expression”. A survey on 24 math teachers examined the perceptions of actual 33 students about undefined mathematical terms to improve the validity of the questions. A teacher questionnaire was produced based on the perceptions of the students. At that time, “relative expression” was excluded because it was determined that there was no difference in the perception of the second year high school students. The results of this study are as follows: The research question is to find out what teachers think of the undefined mathematical terms. There were relatively large differences in teachers' perceptions on 'simplify' and ' value' and relatively small differences in teachers' perceptions on 'expression'. Most of the teachers responded that there should be enough need to present a description of 'simplify', 'value' or 'expression' in the textbooks and they can provide more specific descriptions of the results. Based on the findings above, it provided the need for critical views on the undefined mathematical terms used in the mathematical textbooks. It is also significant in that the survey provided an opportunity for teachers to think about the undefined mathematical terms that they have taken for granted. There will be no problem as long as students and teachers can accept what they have learned from their daily experiences or previous studies without exact definitions and explanations, however, they should clearly state their meanings when confused. Thus, critical reviews of the undefined mathematical terms are further necessary. ;용어는 어떠한 개념을 학습하고 이해하기 위한 수단과 단서로서 특히 수학용어는 그 용어와 관련된 개념을 학습하고 활용하는데 중요한 역할을 한다. 수학용어를 통해 여러 수학적 개념이 설명되고(박교식, 2003) 이로 인해 학교수학의 기본적인 교수·학습 자료인 교과서에서도 많은 수학용어가 사용되고 있다. 수학 학습을 해나가는 데 있어 수학용어의 의미를 정확하게 이해하는 것은 주요한 출발점이 되기 때문에(김흥기, 2008; 김선희, 서동엽, 2017) 용어의 정의가 요구된다. 학문수학에서는 엄밀하고 정교한 정의를 요구하지만 학교수학에서는 학습자를 이해시키고자 하는 목적과 의도를 갖고 있기 때문에(조영미, 2001) 학습자의 다양한 배경변인을 고려하여 엄밀하고 정교한 정의만을 고집하지 않는다. 한편 학교수학에서는 모든 수학용어를 정의하고 있지 않다. 보통 정의없이 사용하는 수학용어를 무정의 용어라고 말하는데(박교식, 임재훈, 2005) 학교수학은 공리적 체계가 아니기 때문에 용어를 정의와 설명 없이 사용하는 것이 적절하지 않는 경우도 있다. 박교식, 임재훈(2005)에 의하면 무정의 용어로 사용하기에 적절하다는 것은 학생들이 어떠한 용어가 정의 없이 사용하더라도 그 용어가 나타내는 의미를 일상이나 이전 학습을 통해 받아들일 수 있는 정도를 의미한다. 학생들이 그 용어에 대한 의미를 일상이나 이전 학습을 통해 받아들이지 못하고 혼란을 겪을 우려가 있다면 정의가 필요하다(박교식, 임재훈, 2005). 강흥규, 조영미(2002)에 의하면 학교기하에서 용어를 정의하는 방법 중에 정의 없이 사용하는 것을 허용하는 방법으로 암묵적 정의 방법이 있다. 이 방법은 어떠한 용어를 설명하는 문장에 특별한 규정과 정의가 없이 사용하는 용어가 있는 경우에 그 용어를 암묵적으로 정의하고 있다고 규정한 것이다(강흥규, 조영미, 2002). 하지만 학생들이 자연적으로 받아들이고 활용할 수 없는 용어는 정의가 필요하다(강흥규, 조영미, 2002; 권유미, 안병곤, 2005). 권유미, 안병곤(2005)은 초등학교 도형영역에 한해서 용어에 대한 학생들의 이해도를 연구하였는데 정의된 수학 용어보다 정의 없이 사용하는 무정의 용어에 대한 이해도가 낮다는 결과가 나타났다. 이에 대해 학생들의 경험이나 사전 학습에서 이미 알고 있다고 가정한 채 정의 없이 사용되고 있는 무정의 용어는 학생들의 언어 능력이나 이해 수준을 고려하지 않고 사용되고 있었기 때문이라고 지적하였다(권유미, 안병곤, 2005). 특히 일상기반의 용어는 학생들에게 친숙하기 때문에 정의 없이도 이해하기 쉬울 것으로 예상되나 학생들의 일상 경험은 다양하고 개별적이기 때문에 정의 없이 사용하는데 주의를 요한다(박교식, 임재훈, 2005). 또한 교과서에서 사용하는 수학용어는 교사와 학생 간의 의사소통 도구로서 정의와 설명 없이 사용하기에 적합하지 않은 용어가 있다면 교수·학습 상황에서 원활한 의사소통이 될 수 없으며 유의미한 학습이 이루어질 수 없다. 이전의 무정의 용어와 관련된 연구는 초등학교에 한하여 진행되었고 학교수학의 주체이자 교수·학습 상황을 지도하는 교사의 인식을 살펴보는 연구는 찾아볼 수 없었다. 이에 수와 연산, 문자와 식, 함수 영역에 한하여 중학교 3학년, 고등학교 1학년 교과서에서 사용하는 무정의 용어에 대한 실제 교사의 인식을 조사하고자 한다. 무정의 용어에 대해 교사들 간 인식의 일관성 정도를 조사하고 이를 통해 교과서 내의 무정의 용어의 사용이 적절한지에 대해 비판적으로 검토하고자 한다. 따라서 이 연구의 연구문제는 다음과 같다. 1. 학생들의 무정의 용어에 대한 인식의 적절성 평가에 있어 교사 간 일관성 정도는 어떠한가? 2. 교과서 내의 무정의 용어에 대한 기술 측면에서 교사들의 인식은 어떠한가? 연구 문제를 해결하기 위해 먼저 교과서에서 사용하는 무정의 용어를 선정하였고 선정된 무정의 용어는 ‘간단히 하여라’, ‘값’, ‘식’, ‘관계식’이다. 선정된 무정의 용어에 대해 중학교와 고등학교에 재직 중인 24명의 현직 수학 교사들을 대상으로 설문조사를 실시하였는데 교사들의 인식을 조사하기 위한 도구로 설문지를 제작하는 과정에서 문항의 타당도를 높이기 위해 실제 33명의 고등학교2학년 학생들의 선정된 무정의 용어에 대한 인식을 조사하였다. 무정의 용어에 대한 학생들의 인식에서 공통으로 나타나는 양상에 따라 유형화하였으며 유형화한 학생들의 인식을 토대로 교사 설문지를 제작하였다. 이때 ‘관계식’은 고등학교 2학년 학생들이 큰 이견 없이 받아들이고 있는 것으로 판단되어 조사 대상에서 제외하였다. 교사 설문지는 연구대상자의 기본적인 정보를 묻는 문항을 제외하고 37문항으로 제작하였고, 설문 이후 추가 면담에 대해 동의한 17명에 한해서 6명을 선정하여 면담을 진행하였다. 교사 설문지는 무정의 용어에 대한 학생들의 인식이 적절한지 평가하는 적절성 평가 측면과 교과서 내의 무정의 용어에 대한 기술의 충분정도를 묻는 기술 측면으로 나누어 구성하였다. 무정의 용어에 대한 학생들의 인식에 교사들이 얼마나 일관적으로 평가하는지 분석하기 위해 상관계수를 이용하였고, 점수차이에 따른 적절성 평가의 분포를 분석하여 교사들 간 인식 차이가 있는지 살펴보았다. 또한, 교과서 내의 무정의 용어에 대한 기술의 충분 정도는 빈도수와 백분율을 사용하여 분석하였다. 설문 이후, 6명의 교사들을 대상으로 심층 면담을 진행하였고 동의하에 녹음하였으며 전사본의 일부는 부분적으로 기재하였다. 따라서 연구의 결과와 그에 따른 결론은 다음과 같다. 연구문제 1은 교과서에서 사용하는 무정의 용어에 대한 실제 학생들의 인식이 적절한지 평가하는데 있어 교사들의 인식의 일관성 정도가 어떠한지 알아보는 것이다. 그 결과, 교사들 간 ‘식’에 대한 인식의 일관성 정도는 비교적 높았으나 ‘간단히 하여라’, ‘값’에 대한 인식의 일관성 정도는 낮았다. 하지만 교사들 간 인식의 차이가 발생한다는 점이 문제를 야기할 수 있기 때문에 ‘식’에 대한 낮은 인식의 일관성도 간과할 수 없다. 특히 ‘값’에 대한 학생들의 인식이 적절하지 않은 이유에 대해 묻는 문항에서 ‘값’에 해당하는 수의 범위와 형태 등에서 교사들 간에 차이를 보였다. 또한, ‘간단히 하여라’에 대한 결과의 형태에 교사들과 다른 의견을 제시한 교사도 있었는데 이와 같이 ‘간단히 하여라’, ‘값’, ‘식’에 대한 교사들 간에 인식의 차이가 발생하는 이유는 교과서에서 이 용어에 대한 의미와 설명이 기재되어 있지 않았기 때문이다. 따라서 교과서 내에 ‘간단히 하여라’, ‘값’, ‘식’에 대한 정의와 설명이 요구된다. 또한, 교사들은 ‘간단히 하여라’, ‘값’에 대한 학생들의 인식이 적절한지 평가하는데 있어 그 기준이 주관적이고 모호했으며 공통으로 약속된 명확한 기준을 제시하지 않았다. 특히 ‘이 정도면 충분하다.’, ‘끝까지 되어있지 않다.’, ‘더 간단히 할 수 있다.’등의 애매한 기준에 준거하여 평가하였는데 이러한 현상은 교사들이 당연하게 받아들이는 관습적인 것이라 할 수 있고 자신의 학창시절에 빗대어 판단한 것이라 할 수 있다. 심층면담을 진행했을 때 ‘간단히 하여라’에 대해 교사들마다 기준이 다를 수 있다는 언급과 정답기준표가 필요하다는 의견이 있었으며 ‘값’을 구하는 행위에 대한 답을 판단할 근거가 없다고 지적한 교사도 있었다. 따라서 ‘간단히 하여라’, ‘값’에 대한 공통으로 약속된 어느 정도의 기준이 필요하다. 연구문제 2는 교과서 내의 무정의 용어에 대한 기술 측면에서 교사들의 인식을 알아보는 것이다. 그 결과, ‘식’에 대한 기술의 충분 정도를 묻는 문항에서 교사의 인식이 ‘충분함’과 ‘불충분함’으로 엇갈렸으나 대부분의 교사들이 ‘간단히 하여라’와 ‘값’에 대한 교과서 내의 기술이 충분하지 않다고 답하였고, 추가적인 기술이 필요하다고 말하였다. 추가적인 기술에 대해 교사들은 먼저 ‘간단히 하여라’는 ‘( )꼴로 나타내어라’, ‘기약분수와 같은 형태로 나타내어라’, ‘근호 안의 수의 범위 지정해주기’등과 같이 정확하고 명확한 표현과 기준을 명시할 것을 제안하였다. ‘값’은 ‘범주(실수, 유리수, 무리수, 복소수 등)를 상세히 표시해야 한다.’, ‘값이 무엇인지 아이들에게 설명할 필요가 있다.’, ‘값의 결과가 수로 나오는 것으로 추가 설명이 필요하다.’등과 같이 범주와 의미를 설명할 필요가 있음을 제안하였다. ‘식’은 교과서에서 추가적인 내용 기술 보다는 용어에 대한 개념을 적립하는 것에 중점을 두어야한다는 교사의 의견이 있었으며 중학교 과정에서 초등학교와의 연결성을 위해 추가적인 기술이 필요하다고 응답한 교사도 있었다. 따라서 교수·학습 상황에서 교사는 중요한 위치를 차지하는 만큼 교과서를 개발할 때 교사들의 의견 반영이나 직접적인 참여가 필요하다. 위의 연구 결과를 토대로 교과서에서 학생들이 이해할 수 있고 혼란을 느낄 가능성이 없다는 가정 하에 사용하고 있는 무정의 용어에 대한 비판적인 시각의 필요성을 제공하였다. 또한, 교사 설문을 통해 교사들이 관습적으로 당연시하게 받아들이고 있는 무정의 용어에 대해 생각해볼 기회를 마련하였다는 점에서 의미가 있다. 정확한 정의와 설명 없이도 학생들이 일상의 경험이나 이전 학습에서 배운 것으로 받아들일 수 있다면 문제가 없겠지만 학생들이 혼란을 겪는다면 그 의미를 명확하게 제시해야함은 물론이다. 더불어 24명의 수학 교사들 중에 23명의 교사들이 교과서를 활용하여 수업을 구상한다고 응답할 정도로 교과서는 중요하기 때문에 무정의 용어에 대한 비판적인 검토는 지속적으로 진행되어야 한다. 또한, 무정의 용어에 대한 비판적인 논의를 통해 해설에 대한 어느 정도의 공통된 기준을 교육과정에 제시할 필요가 있다. 이 연구에서는 교사 설문지 문항의 타당성을 높이기 위해 교과서에서 사용하는 무정의 용어에 대한 33명의 학생들의 인식을 조사하였지만 학년에 제한을 두었기 때문에 한계를 갖는다. 이에 전 학년을 아우르는 학생들의 입장에서 무정의 용어를 어떻게 받아들이고 있는지 심도 깊은 연구를 후속연구로 제언한다.
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