함수의 극한과 연속단원의 개념 형성에 대한 이해와 미분계수 개념형성과의 연계성 분석

Abstract

본 연구의 목적은 함수의 극한과 연속 단원에서 학생들의 개념 정의 수준에 따라 나타나는 개념이미지를 조사하여 원인을 분석한 후, 개념 형성 단계를 파악하고자 했다. 그리고 극한개념은 미분을 이해하기 위한 기초개념의 역할에 주목하여 극한개념과 미분단원과 관련지어 극한개념의 개념 형성 수준과 미분개념의 개념 형성 수준의 상관성이 있는지 알아보고자 했다. 학교수학에서 함수의 극한과 연속 단원을 구성하고 있는 개념은 직관적인 정의로 제시된다. 그 결과 학생들은 관련된 문제 해결을 하는 것에 비해 각각의 정의를 주관적으로 해석하여 공식적인 정의와 다르게 변형된 형태로 이해한다. 따라서 본 연구에서는 학생들이 극한에 관련된 개념을 어떻게 정의하는지 조사하여 학생들이 현재 형성하고 있는 개념이미지를 파악하고자 했다. 이에 대해 함수의 극한과 연속단원을 구성하고 있는 6개의 주요 개념을 선정하였다. 그리고 두산동아 출판사와 미래엔 출판사의 <미적분Ⅰ>교과서를 참고하여 6개의 주요개념을 정의하는 문항과 인지 노력 수준에 따른 문제를 구성한 검사지를 완성하였다. 이에 대해 고등학교 2학년 학생들 72명을 대상으로 검사지를 풀게 하였다. 학생들은 검사지에서 직접 정의(뜻)를 서술하였고, 본 연구자는 그 답변에서 기호나 수학 용어 사용에서 나타나는 증거들과 그 정당화에 근거하여 수학적 대상의 점유 단계를 제안하는 Berger의 이론을 적용하여 학생들의 답변을 분석하였다. 전체학생의 답변을 분석한 결과 공통적으로 나타나는 다양한 개념이미지가 있음을 확인했다. 교과서의 정의와 비교하여 학생들의 정의 수준에 따라 6종류로 구분하였다. 학생들의 정의 수준을 분석하기 위해 참고 연구 수학 교사의 과제 변형과 적용(김하림, 2017)과 Berger의 점유이론을 적용하였다. Berger의 점유이론은 Vygotsky의 개념 형성이론을 받아들여 수학영역에서 학습자의 개념형성 단계를 설명하였다. 이 이론은 크게 비체계화된 군집단계, 복합체 단계, 진성개념단계로 나누어 설명된다. 개념 형성 단계 중 학습자가 활발하게 인지처리과정을 거치는 과정 중에 완전한 개념을 형성하지 못하고 많은 학습자가 머무르는 단계는 복합체 단계이다. 이 복합체 단계는 다시 6개로 구분되어진다. 이에 따라 본 연구에서는 학생들의 개념 이미지를 분석하여 크게 3개의 단계로 나누었고, 복합체 단계에 머무른다고 판단되는 학생은 그 유형을 재분류하였다. 복합체 단계는 그 원인에 따라 유형화하여 설명된다. 그러므로 추가적인 인터뷰를 진행하여 학생들이 개념이미지를 정당화하는 이유를 파악하고자 했다. 한편, 점유이론에서는 학습자가 진성개념을 획득하였다고 판단하였지만, 획득한 시점을 파악하기 어렵고 상황에 따라 개념 형성 단계가 변할 수 있 때문에 정확하게 진성개념을 파악했다고 판단하는 것은 사실상 불가능하다. 따라서 본 연구에서도 복합체 단계 중 가장 높은 개념 형성 단계에 속하는 의사개념단계를 잘 정의한 개념이미지로 분석하였다. 분석한 결과‘한 점에서 함수의 극한값’은 여섯 종류의 개념이미지가 나타났다. 각 개념이미지에 대한 점유이론단계는 의사개념단계, 표현 복합체유형, 템플릿 지향 복합체유형, 피상적인 연합 복합체 유형, 연쇄복합유형으로 나타났다.‘함수가 수렴한다’는 다섯 종류의 개념이미지가 나타났다. 각 개념이미지에 대한 점유이론단계는 의사개념단계, 피상적인 연합 복합체, 예 중심의 연합 복합체, 표현 복합체로 나타났다. ‘함수의 좌극한, 우극한’는 다섯 종류의 개념이미지가 나타났다. 각 개념이미지에 대한 점유이론단계는 의사개념단계, 표현 복합체, 피상적인 연합 복합체, 연쇄복합유형, 비체계화된 군집단계로 나타났으며, ‘함수의 극한값이 존재한다’의 네 종류의 개념이미지에 대해 의사개념단계, 인위적인 연합, 수집유형복합체, 연쇄복합유형을 확인했다. 그리고 ‘에서 함수의 연속’의 다섯 가지의 개념이미지는 의사개념단계, 비체계화된 군집단계, 연쇄복합유형으로 확인하였으며, ‘사이값 정리’에 대한 다섯 종류의 개념이미지는 의사개념단계, 연쇄복합유형, 비체계화된 군집단계로 나타났다. 함수의 극한을 구성하는 개념에 서 조사된 개념이미지는 다양한 점유이론단계로 나타났으나, 함수의 연속과 사이값 정리에 대해서는 의사개념단계를 제외하고 비체계화된 군집단계와 연쇄복합유형으로만 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 그리고 함수의 극한과 연속단원에서의 개념 형성과 관련하여 미분개념형성에도 영향을 미치는지 알고자 하였다. 또한 2015개정 교육과정에서 제시하는 학습상의 유의점인‘함수의 극한은 연속과 미분을 이해하기 위한 정도로만 다룬다’(교육부, 2015)에 대한 구체적인 함수의 극한의 개념 형성의 구체적인 수준을 제시하기 위해 미분 검사지를 병행하였다. 미분 검사지에서는 학생들이 미분단원에서 극한의 필요성을 인식하는가와 미분계수를 정의하게 하도록 구성하였다. 이는 미분계수 개념 형성에 대한 수준과 미분의 기초개념으로서의 극한의 역할에 관한 인식을 파악하고자 함이다. 그럼으로써 함수의 극한과 연속 단원에서의 개념 형성 단계와 연결 지어 둘 간의 상관성에 대해 설명하고자 하였다. 분석한 결과를 요약하면 미분단원에서 함수의 극한을 인식하는 정도에 따라 미분계수를 정의하는 수준이 서로 상관성이 있음을 확인하였다. 즉 미분단원에서 극한의 역활을 정확하게 파악할수록 미분계수의 정의에 대한 정교화 수준이 높게 나타났다. 학생들의 인식 수준에 따라 A유형, B유형, C유형, D유형으로 분류 하였다. 그리고 앞서 함수의 극한과 연속에 대한 개념이미지와 점유이론단계의 분석틀을 참고로 하여 A, B, C, D유형 학생들의 백분율을 조사하였다. 확인한 결과 A유형 학생들은 6가지의 개념에 대해 함수의 수렴과 좌극한, 우극한의 개념에 대해 피상적인 복합체와 표현복합체의 비율이 다소 높게 나타났지만 사이값 정리를 제외한 모든 개념에 대해 의사개념을 획득한 비율이 가장 높게 나타났다. 두 번째로 B유형 학생들에게서는 조건을 통해 정의가 가능한 개념인‘함수의 극한값이 존재한다’와 ‘한 점에서 함수가 연속이다’의 개념에서 의사개념의 비율이 가장 높게 나타났다. 나머지 개념들에서는 다양한 유형의 복합체 단계에 머무르고 있었다. C유형 학생들은 모든 개념에서 복합체단계 이하의 개념 형성 단계를 확인하였다. 함수가 연속에서는 군집단계 머무르는 비율이 가장 높게 나타났으며, 나머지 개념들에 대해서는 B유형과 같은 유형의 복합체단계의 비율이 가장 높게 나타났다. 마지막으로 D유형 학생들에게서는‘한 점에서의 극한값’과 ‘함수가 수렴한다’‘좌극한 우극한’에 대해서는 피상적인 연합 복합체 유형의 비율이 가장 높게 나타났으며, 나머지 개념에 대해서는 모두 군집단계가 가장 높은 비율로 확인 되었다. 따라서 함수의 극한과 연속 단원에서 개념 형성 단계에 따라 미분계수 정의 수준과 관련이 있음을 확인하였다. A유형과 C, D유형을 비교한 결과 함수의 극한과 연속 단원에서 의사개념 단계를 획득한 학생일수록 미분단원에서 극한의 인식정도도 높고, 미분계수를 정의하는 정교화 수준이 높은 것을 알 수 있었다. 또한 C, D 유형에 비해 A, B유형의 학생들은 군집단계에 머무르고 있는 비율이 낮다는 점에 근거하여, 함수의 극한과 연속단원에서 하나의 개념이라도 군집단계에 머무르게 되면 미분을 이해할 때 극한의 역할을 제대로 인식하지 못한다는 것을 알 수 있었다. B유형은 함수의 극한 개념 형성 정도가 복합체단계에 머무는 비율이 높지만 A유형은 함수의 극한 개념 형성이 의사개념 단계가 높게 나타났다. 이를 통해 미분계수를 극한을 이용하여 정의하는지, 기하하적 의미로 정의하는지는 함수의 극한에 대한 개념 형성 정도가 영향을 미치고 있음을 알 수 있었다. 본 연구를 통해 얻을 수 있는 시사점은 후속 연구들과 현직 교사들에게 함수의 극한과 연속 단원에서 교수설계를 할 때 정보제공의 역할을 할 수 있다는 점이다. 직관적으로 정의되어 있는 함수의 극한과 연속의 정의 대해 학생들이 개별적으로 가지는 개념이미지를 확인 할 수 있었기 때문이다. 또한 미분계수 정의 수준과 함수의 극한과 연속단원에서 개념을 정의하는 정교화 수준의 상관성을 파악하게 되었다. 그럼으로써 2015교육과정에서 제시하는 ‘함수의 극한은 함수의 연속과 미분을 이해하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다. ’(교육부, 2015) 에서 도달되어야 할 학생들의 개념 형성 수준을 파악할 수 있다. 하지만 본 연구를 일반화하기에는 연구 대상의 수가 작고, 지역적이기 때문에 일반화 한 연구 대상에서 추가적인 후속 연구가 행해질 필요가 있다. 또한 본 연구는 2009교육과정을 학습한 학생들을 대상으로 행한 연구이다. 하지만 2015교육과정에서는 수열의 극한을 선수단원으로 학습하지 않기 때문에 2015교육과정을 학습한 학생들을 대상으로 연구가 행해져 미분개념과 극한개념에 대한 수준에 대해 일반화 할 수 있다면 더 큰 의미가 있을 것이다.;The purpose of this study is to investigate conceptual images that appeared in the limits of function and in consecutive units based on the students' concept definition levels, analyze the causes, and identify the conceptual formation stages. And the extreme concept was not only intended to focus on the role of the basic concept to understand differential, but also to see if there was a correlation between the level of concept formation of extreme concept and the concept formation level of the differential concept in relation to extreme concept and the differential units. Six main concepts comprising function limits and consecutive units were selected and students were asked to describe each definition (meaning). Students' answers were then analyzed using evidence from the use of symbols or mathematical terms and the proprietary theory of Berger, which proposed the level of occupancy of mathematical objects based on their justification. The study also analyzed the answers of all students and found that there were four to six image concepts that were common. As a result, it was divided into ① - ⑥, and several research papers of Berger were used to analyze them. The results of the analysis demonstrated(=revealed, proposed, indicated, suggested) that as for extremely low value of function at one point, the pseudo-concept phase, the expression complex type, the template oriented complex type, the shallow combination complex type, and the chain complex type appeared(were seen). Two pseudo-conceptional steps, a superficial federation, an example of a combinative complex, and an expression complex were shown to consider convergence and convergence in one respect. For the left and upper–hand of a function, the pseudo-concept phase, the expressive complex, the underlying complex type, the "continuous function" and the pseudo-concept phase appeared(were shown). In terms of the concept of extreme units of a function, the conceptual image appeared in a relatively diverse conceptual formation phase, while only the cluster phase and the combination type were shown in the cleanup of consecutive and inter-values of a function, In addition, depending on the extent to which the function limits are perceived in the differential section, the level of composition of the conceptual image forming the differential coefficients was found to be correlated. In other words, the higher the degree of recognition by presenting the logical evidence for the need of extremes in a differential section, the higher the level of sophistication for the definition of a differential coefficient appeared. It was classified as A type, B type, C type, and D type according to them. Earlier, the percentage of students of type A, B, C, and D were determined based on the analytical framework that analyzed the conceptual image of the limits and sequences of functions according to Berger's theory. According to the result of the confirmation, In the case of type A students, the ratio of the superficial complex to the concept of the left and low-functional is somewhat high as for the six concepts, while the ratio of the physiological complex to the concept of the left and low-functional is slightly higher than that. Secondly, there was the highest proportion of pseudo-concepts in type B students in terms of the concept that is referred to as "function is continuous" and "function is defined by condition." In addition, the rest of the concepts, except for the inter-value theorem, remained in various types of complex stages. Type C students identified the concept formation steps below the complex level in all concepts. Cluster level retention rates were the highest in the sequence of the consecutive and inter-value functions, while as for the rest of the concepts, the ratio of complex steps of type B students was shown to be the highest. Finally, for Type D students, the ratio of the "extreme value at one point" and "extreme" function was the highest in terms of the aspects of the remaining clusters. Therefore, the limits and continuous units of the function have been found to be relevant to the concept of formation phase of the differential, depending on the concept of formation phase. When comparing A type with C and D type, students who obtained the concept stage of the physician from the limits of the function and the continuous section had a high degree of perception and a high level of sophistication when it comes to defining coefficient. Also, based on the fact that students of type A and B were less likely to remain in the cluster stage compared to those of type C and D, even when they were unable to understand one concept in the limits of the function and in the sequence, While type B students have a high rate of formation of extreme concept of function in complex areas, type A students have a high degree of conception. It can be inferred that the degree of concept formation for the limits of the function influenced whether a differential coefficient was defined using the limits or in a lower sense. It was also noted that the intermarriage theorem did not have a direct impact on the concept of differential because the cluster stage was identified in the highest ratio among all types. The implications of this study were illustrated in the conceptual image of the students individually for the concepts of limits and sequences of functions defined intuitively. In addition, since the conceptual formation steps and causes of each conceptual image can be identified, it provides information for the subsequent studies regarding function that can be performed as well as for the effective teaching of design. In addition, by identifying the correlation between the limits and the concept formation stages of the differential concept, They were able to present specific levels of 'the limit of function' presented in the 2015 curriculum which is simply addressed to the extent required to understand the sequence of functions and differentiation. However, further follow-up studies need to be conducted on a much broader subjects due to the lack of previous subjects studied and the group is local and untypical. The study is also conducted for students who have studied 2009 curriculum. However, given that the level of teaching and learning in 2015 curriculum is suggested, the research would be carried out on the concept students who have failed to learn the limits of the sequence as members of the athletes.