The mass formula for cyclic codes over the ring Z_p[u]/<u^3>

Abstract

Cyclic codes have been studied actively because of their structures, which make encoding and decoding process simpler than other codes. Cyclic codes or extended cyclic codes are important algebraic codes; good examples are Golay codes and Binary Hamming codes. There have been lots of developments on cyclic codes over a finite chain ring since some non-linear codes over finite fields are the images of linear codes over the finite rings through the Gray map. In particular, Singh et al. found a general form of the generators of cyclic codes over a finite chain ring $\mathbb{Z}_p[u]/\la u^k\ra$ of length $n$, where $k$ and $n$ are positive integers and $p$ is a prime.\\ \indent The purpose of this thesis is to find explicit generators of cyclic codes over a ring $\mathbb{Z}_p[u]/\la u^3\ra$ of length $n=p^k$ completely. We divide the cyclic codes over $\mathbb{Z}_p[u]/\la u^3\ra$ of length $n=p^k$ into seven cases depending on the forms of generators. There are three types of principal ideals and four types of non-principal ideals associated with cyclic codes over $\mathbb{Z}_p[u]/\la u^3\ra$ of length $n=p^k$. Then we obtain the mass formula for cyclic codes over $\mathbb{Z}_p[u]/\la u^3\ra$ of length $n=p^k$ except two cases.;순환 코드는 활발하게 연구되어 왔다. 그 이유는 순환 코드의 구조가 다른 코드에 비해 부호화와 복호화를 더 간단하게 만들어주고 골레 코드와 이진 해밍 코드와 같은 중요한 대수적 코드들이 순환 코드이거나 extended 순환코드이기 때문이다. 소수 와 양수 에 대해 라는 환 위에서 일반적인 양수를 길이로 갖는 순환 코드의 일반적인 생성원은 선행 연구자들에 의해 연구되었다. 하지만, 순환코드의 명확한 생성원에 대한 연구가 없고, 따라서 순환 코드의 mass formula에 대한 연구도 선행되지 않았다. 이 논문에서는 소수 와 일반적인 양수 에 대해 라는 환 위에서 길이를 로 갖는 순환 코드의 명확한 생성원을 제시한다. 생성원의 형태에 따라 라는 환 위에서 길이를 로 갖는 순환 코드를 일곱 개의 경우로 나누어 순환코드의 생성원을 제시한다. 일곱 개의 경우 중 세 개는 단일 생성원 순환코드이고, 네 개는 다중 생성원 순환코드이다. 따라서 우리는 두 가지의 경우를 제외한 라는 환 위에서 길이를 로 갖는 순환 코드의 mass formula를 구한다.