2009 개정 수학과 교과서와 지도서에 제시된 부등식 영역 문제의 풀이 전략과 표현의 번역

Abstract

본 연구의 목적은 2009 개정 수학과 교과서와 지도서에 제시된 부등식 영역의 문제 풀이 전략과 표현의 번역의 유형과 그 분포가 어떠한지 양적 분석을 통하여 향후 교과서와 지도서에서 보완되어야 할 점이 무엇인지 파악하는 것이다. 2009 개정 수학과 교육과정은 수학적 문제해결, 수학적 추론, 수학적 의사소통 등을 하위 개념으로 하는 ‘수학적 과정’을 강조한다. 문제해결력의 신장은 수학 교육과정에서 지속적으로 강조될 사안이며 부등식은 수학적으로 강력한 문제해결의 수단이다. 그런데 부등호 개념은 여러 이유로 학습상의 어려움이 있을 수 있다. 이를 위하여 여러 유형의 문제 풀이 전략을 소개하고 다양한 표현의 번역을 경험하게 하는 것이 중요하다. 문제 풀이 전략을 자유롭게 사용하는 능력은 문제 이해에 도움을 줄 뿐 아니라 문제에 사용되는 수학적 개념을 다각도로 바라보게 하므로 부등식 학습에서 필수적이다. 또한 수학에서의 이해가 표현이나 표상과 밀접한 관계가 있으므로 학생들에 부등식을 가르칠 때 다양한 표현을 제공할 필요가 있다. 따라서 학교에서 사용하는 주교재인 교과서와 지도서에 제시된 부등식 영역에서의 문제 풀이 전략과 표현의 번역의 유형과 분포를 분석함으로써 학생들에게 제공되는 교육을 간접적으로 파악하여 개선점을 찾아 부등식 학습에 도움을 줄 필요가 있다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 2009 개정 수학과 교과서와 교사용 지도서의 부등식 영역에서 사용된 문제 풀이 전략의 유형과 그 분포는 어떠한가? 1-1. 단계별(중2, 수Ⅰ, 수Ⅱ)로 사용된 문제 풀이 전략의 유형과 분포는 어떠한가? 1-2. 교과서와 교사용 지도서에서 사용된 문제 풀이 전략의 유형과 분포에 차이점이 있는가? 1-3. 교사용 지도서에 제시된 수준별 문제에서 사용된 문제 풀이에서 전략의 유형과 분포는 어떠한가? 연구문제 2. 2009 개정 수학과 교과서와 교사용 지도서의 부등식 영역에서 사용된 표현의 번역의 유형과 그 분포에 차이점이 있는가? 연구문제를 해결하기 위하여 2009 개정 교육과정에 따라 편찬된 교과서와 지도서 총 61종을 분석하였다. 분석결과 교과서와 지도서에서 사용된 부등식 문제 풀이 전략은 표현의 유형에 따라 대수적, 그림, 표 순으로 나타났다. 세부전략의 유형은 총 19가지 전략 중 11가지가 발견되었다. 교과서와 지도서 전체에서 알고리즘 전략이 지배적으로 사용되었음을 알 수 있었다. 이는 코딩 결과를 단계별로, 교과서와 지도서 각각에서, 수준별 문제에 따라 분석하여도 같았다. 연구문제 1-1의 결과 각 단계별로 문제 풀이 전략의 유형이 중학교 수학2에서 5가지, 수학Ⅰ에서 10가지, 수학Ⅱ에서 2가지 사용되었음을 알 수 있었다. 또한 중학교 수학2와 수학Ⅰ을 단원별로 구분하여 분석한 결과 소단원마다 문제 풀이 전략 사용이 한 유형으로 치우쳐 있는 것으로 나타났다. 연구문제 1-2를 해결하기 위하여 같은 문제에 대한 문제 풀이 전략이 교과서와 지도서에서 차이가 있는지 알아보고 지도서 안에서 교과서에 풀이가 제시된 문제와 지도서에서만 풀이가 제시된 문제를 비교하여본 결과 문제 풀이 전략의 유형과 분포에 차이점은 거의 없었다. 이는 연구문제 1-3에 해당하는 수준별 문제에 대한 분석에서도 같았다. 알고리즘 전략의 사용 비율이 대부분을 차지하였으며 각 수준의 문제 풀이 전략의 일치도를 살펴본 결과 98%의 일치도를 보여 수준에 관계없이 문제 풀이 전략의 유형과 분포가 같음을 알 수 있었다. 연구문제 2의 결과 총 20가지의 번역 유형 중 17가지가 사용되었고 단계별로는 수학Ⅰ에서 가장 많이 산출되었으며 수학Ⅱ에서는 2가지만이 발견되었다. 가장 산출 횟수가 높은 표현은 식이었다. 또한 식은 다른 표현으로의 번역의 분포가 고르게 나타났다. 그러나 식을 제외한 나머지 표현은 하나의 표현으로의 변환의 비율이 높음을 확인할 수 있었다. 또한 표와 관련된 변환은 산출 횟수가 적었다. 이 결과는 교과서와 지도서를 구분하여 분석하여도 같았다. 교과서와 지도서로 구분하여 일치도를 조사한 결과 약 70%로 교과서와 지도서에서 사용된 표현의 번역이 유사하다고 판단할 수 있었다. 2009 개정 수학과 교과서와 지도서에서 부등식 문제 풀이 전략과 표현의 번역의 유형과 분포를 연구한 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 교과서와 지도서에서 사용되는 문제 풀이 전략과 표현의 번역의 유형이 한 가지로 치우쳐 있다. 특정한 표현의 번역의 유형을 사용하여 문제를 풀이하고 또 그 비율에 있어서도 특정 유형에 편향되어 지도한다면 학생들에게 현상을 하나의 관점에서 보게 하고 문제 해결 방식을 제한적으로 제공하는 것일 수 있다. 또한 창의성의 증진을 강조하는 2009 개정 수학과 교육과정의 취지에 부합하기 위해서는 수업시간에 다양한 방법으로 풀이를 제공해야 하며 시각적인 표현을 적극적으로 사용하여 여러 수학적 관계를 통한 부등식 개념 이해에 도움을 주어야 한다. 둘째, 교과서와 지도서의 각 단원에서 사용되는 문제 풀이 전략과 유형이 정형화되어있었다. 하나의 전략을 사용한다고 하더라도 여러 방식의 풀이를 제공한다면 부등식의 다양한 측면을 보게 하는데 도움을 줄 수 있지만 대부분 같은 전략에서 동일한 풀이 과정을 보였다. 이를 보완하기 위하여 문제 풀이 전략 뿐 아니라 방법에 대한 연구도 필요하다. 만약 문제 풀이 전략이 학습 순서에 영향을 받는다면 해당 교육과정 안에서 사용 가능한 표현과 단계에 관계없이 사용할 수 있는 시행착오, 표, 그림 등의 전략을 이용한 다양한 접근방식을 소개할 필요가 있다. 이는 중학생 뿐 아니라 고등학생에게도 마찬가지이다. 셋째, 교과서와 지도서에서 문제 풀이 전략과 표현의 번역이 차이가 거의 나타나지 않았다. 특히 지도서에 제시된 수준별 문제는 그 풀이 전략이 수준에 관계없이 일치하였다. 학습자 중심의 교육을 실현하기 위해서는 적합한 문제의 소재 뿐 아니라 수준에 맞는 문제 풀이 전략과 표현의 번역을 제시할 필요가 있다. 또한 지도서는 교사에게 수업을 위한 참고서이자 교육과정 해설서의 역할을 하기 때문에 원활한 수업을 위해서 뿐 아니라 수업의 질적 수준을 보장하기 위하여 교사에게 교과서에 제시된 것 외의 내용을 제공해야 한다. 교사의 문제풀이 방식이 학생에게 미치는 영향이 크므로 교사교육을 통하여 교사가 학생들에게 교과서나 지도서에 언급되지 않은 다양한 부등식의 접근법과 사용을 안내하도록 도와야 한다.;The purpose of this study is to know the type and the distribution of the problem-solving strategies and translation of the expression in the inequalities which presented in the 2009 revision of Mathematics textbooks and teachers' guide books. To determine what need to be complemented in the future textbook and instructions through the quantitative analysis. Improving problem solving ability is a matter of emphasis continues to be on the mathematics curriculum. And inequalities are very powerful tools to solve problems. However, concept of inequalities maybe difficulty in learning for many reasons. The ability to use a variety of strategies is important not only helping to understand the problem but also asking a mathematical concept used in the problem from various angles. In addition, it should provide a variety of expressions and their translation to students because the understanding of the mathematics is closely related to the expression. And translation of the expression leads to students to switch point of view. Therefore, in this paper, I have examined secondary school textbooks and teachers’ guide books that had been published following the mathematical curriculum established in the year of 2009. Then, the following research problems have been chosen in order to figure out the type and the distribution of the problem-solving strategies and translation of the expression in the inequalities: Research Question 1. What kind of type and distribution problem-solving strategies in inequality presented in textbooks and teachers' guide books? 1-1. What kind of the problem-solving types of strategies used and distributed in each grade? 1-2. Are there differences between textbooks and teachers' guide books using in the types and distribution of problem-solving strategies? 1-3. What type and distribution strategies used in problem solving issues presented in the teachers' instructions in each level? 2. What kind of the translation of the expression used and distributed in the inequalities of textbooks and teachers' guide books and are there differences between textbooks and instructions? Analysis of problem-solving strategies in inequalities are depending on the type of expressions algebraic, illustration, table appeared in order. More details strategies was found 11 types in a total 19 types. It can be seen that in the textbooks and teachers' guide books using algorithm strategy dominantly. The result was also applied to any criteria. In each grade, in textbooks and instructions, respectively, it was also analyzed according to the level problem. For research question 1-1, the 5 types of strategies have been used in middle school mathematics2 and used 10 types of strategies and used 2 types of strategies in MathematicsⅠ and Ⅱ, respectively. And in middle school mathematics2 and MathematicsⅠ, in each chapter using problem-solving strategies for each subsection showed that concentrated on one type. For research question 1-2, there was little difference between the textbook and the teachers' guide books as a result of the type and distribution of problem-solving strategies. This result was also analyzed for research question 1-3. The type and distribution of the problem solving strategies, regardless of the level, the proportion accounted for most of the algorithm strategy, showing the degree of match of the resulting 98%. For research question 2, 17 types was used in a total of 20 types of translation. Most were calculated from the MathematicsⅠ and MathematicsⅡ was found 2 types. The most frequently used expression was the formula. In addition, the translation was evenly distributed in the formula expression of other representations. However, the rest, except for formula expression was confirmed that a high percentage of conversion of the single expression. And related to the table expression is the smallest calculated number. This results were similar between textbooks and instructions. The translation of the expressions used in textbooks and instructions could be deemed similar by coincidence was about 70%. In the process of finding out the type and the distribution of the problem-solving strategies and translation of the expression in the inequalities, I was able to come up with this conclusion. First, problem-solving strategies used in textbooks and teachers' guide books are biased to the algorithm. The emphasis one method in a problem-solving gives an adverse effect on learning inequality. Using the visual representation could actively help to understand the inequalities. Therefore it should provide a variety of problem-solving strategies in the classroom also for promoting creativity. Second, solving inequalities in each section of the textbook and teachers' guide books had been formalized strategies and types. Even using one strategy can be made available if different ways of problem solving experience a different aspect of the inequality. But most had the same strategy at the same solution process. It is also required to study not only the strategies but also the solutions. If the problem solving strategies are affected by the learning procedure, it is necessary to introduce a variety of approaches. Trial and errors, tables, pictures, etc. This is true even junior high school students as well. Third, the translation of problem-solving strategies and representations was little difference between in textbooks and teachers' guide books. There are level problems in teachers' guide books which presented for student-centered curriculum. But the instructions are similar regardless of the level. It should implement to provide for the solving strategies on the level. Particularly, low-level students need to be described by using the visual representation. And because teachers' guide books are the references for the smooth class of teachers, instructions need to be provided other than the information set out in textbooks. Through teacher training should help teachers guide students to use a variety of approaches and inequality.