맥락성 관점에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 비와 비율 관련 단원 비교연구

Abstract

지난 몇 해 동안의 TIMSS에서 우리나라 학생들은 지적 영역에서 매우 높은 성취 수준을 보였지만 흥미, 자신감, 가치 인식 등의 정의적 성취는 상대적으로 매우 낮은 것으로 나타났다(최승현 외, 2013). 반면에 TIMSS 결과에서 싱가포르의 경우 학생들의 학업성취도 높으면서 동시에 정의적 성취도 높은 것으로 나타났다. 또한 TIMSS 2007의 결과에서 각 주제별로 정답률을 비교했을 때, 싱가포르는 한국에 비해 '비, 비례식, 백분율'의 주제에서 높은 정답률을 보였다(김선희, 김경희, 2009). 우리나라 학생들이 싱가포르에 비하여 낮은 정답률을 보인 비와 비율 개념은 일상생활 속에 스며있는 원리이며, NCTM(2000)에서는 통합적 주제로서 강조하고 있다. 그럼에도 불구하고 학생들의 비와 비율 개념 이해 정도는 매우 미흡한 상태인 것으로 알려져 있다. 이러한 결과는 교사들의 다양한 교수·학습지도 방법과도 관련이 있겠지만 가르치는 내용의 선택에는 한계가 있기 때문에 무엇보다도 교과서의 내용 구성과 관련이 깊다고 볼 수 있다. 한편 맥락문제는 학생에게 수학학습에 대한 자연스러운 동기를 제공하기 때문에 수학 교육에서 맥락문제는 강조되어야 한다(김민경, 박은정, 허지연, 2012). 또한 맥락문제는 비와 비율 교수·학습에서도 중요하며, Freudenthal(1983)은 비를 도입함에 있어서 비가 조직 수단이 되는 다양한 맥락을 학생들에게 제공하는 것이 바람직하다고 주장하였다. 그러나 한국 초등수학 교과서의 비와 비율 개념 도입 맥락은 다분히 인위적이며 비 개념의 필요성을 부각시키지 못한다는 지적을 받고 있었다(김수현 외, 2008). 게다가 한국 교과서와 싱가포르 교과서를 비교한 선행연구를 살펴본 결과 맥락문제의 활용을 분석한 연구는 부족한 것으로 나타났다. 이에 본 연구에서는 한국 교과서와 싱가포르 교과서의 비와 비율 관련 단원에 대해 단원 구성방식, 내용 체계 및 제시방식, 맥락문제 활용을 중심으로 비교분석해봄으로써 비와 비율 교수·학습에 시사점을 제시하고 초등수학 교육에서 교사들의 나아갈 방향을 제시하는데 그 목적이 있다. 이와 같은 관점에서 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 단원 구성 방식은 어떠한가? 1-1. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 전반적인 단원 구성 방식은 어떠한가? 1-2. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 단원 내의 구성 방식은 어떠한가? 2. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 내용 체계 및 제시방식은 어떠한가? 2-1. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 내용 체계는 어떠한가? 2-2. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 내용 제시방식은 어떠한가? 3. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 맥락문제의 활용은 어떠한가? 3-1. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 주제와 과정별 맥락문제의 활용 정도는 어떠한가? 3-2. 비와 비율 관련 단원에서 한국과 싱가포르 초등수학 교과서의 주제별 맥락문제의 소재는 어떠한가? 위와 같은 연구문제를 해결하기 위해 연구문제 1에서는 한국과 싱가포르 교과서의 단원의 구성을 양적인 측면과 내용적인 측면에서 비교분석하였고, 연구문제 2에서는 각국의 교육과정과 교과서를 통해 비와 비율 관련 단원의 내용 체계 및 제시방식을 주제별로 비교분석하였다. 연구문제 3에서는 각국의 교과서에 제시된 문제에서 맥락문제의 활용 정도와 소재를 비교분석하였다. 이와 같은 방법으로 비교분석한 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 한국의 교과서의 한 차시의 분량은 일정하게 제시하는 반면, 싱가포르 교과서의 차시는 내용에 따라 자유롭게 구성되어 있었으며, 매 단원의 마지막 차시에서 실생활 소재의 문장제 문제를 제시하고 있었다. 둘째, 싱가포르 교과서는 한국 교과서에 비해 단순하게 단원이 구성되어 있었으며 대부분 문제 풀이로 이루어져 있었다. 반면에 한국 교과서는 단원 도입에서 상황을 중심으로 학생 스스로 수학적 사실을 추측해보고, 관련된 용어를 정의한 후 글이나 그림으로 표현하는 활동을 제시하고 있었다. 셋째, 한국 교과서는 비를 도입하고 비와 비율 주제를 한차례씩만 다루지만, 싱가포르는 한국 보다 비를 빨리 도입하며 비와 비율 주제를 매 학기마다 제시하여 확대, 심화되도록 조직하고 있었다. 그리고 싱가포르 교과서의 백분율 주제의 비중은 한국 교과서에 비해 월등하게 높았다. 넷째, 비에 대한 개념 정의에서 한국과 싱가포르는 여러 차이를 보였다. 예를 들어, 한국 교과서의 경우 비의 값을 정의하지 않았지만, 싱가포르 교과서는 비의 값과 비를 구분하지 않고 사용하고 있었다. 또한 한국 교과서에서 백분율을 비율에 속하는 개념으로 정의하고 있지만, 싱가포르 교과서는 백분율을 비율과 독립적인 개념으로 정의하고 있었다. 다섯째, 비례식에 대한 도입방식을 살펴보면 싱가포르 교과서는 등분할을 통해 동치인 비를 만들고 있었으며, 한국 교과서에서 등분할은 제시되지 않았다. 비례식 문제의 풀이방법에서도 차이가 있었다. 우선 한국 교과서는 교차곱 전략을 사용하고 있었고, 싱가포르 교과서는 한 단위 전략과 곱셈 전략을 제시하고 있었다. 여섯째, 비와 비율 교수학습에서 중요한 역할을 하는 시각적 모델의 활용에서 한국과 싱가포르는 차이를 보였다. 한국 교과서는 수학적 상황을 그림으로 표현하는 활동을 통해 학생 스스로 시각적 모델을 생성하도록 지도하고 있었다. 반면에 싱가포르 교과서는 비례문제의 풀이 방법을 설명하기 위해 막대모델을 활용하고 있었다. 일곱째, 전체 문제에서 맥락문제가 차지하는 비율은 한국에 비해 싱가포르가 더 높게 나타났다. 과정별로 맥락문제 활용 정도를 비교한 결과, 한국의 경우 수업 초기 단계에서 맥락문제의 비율이 높았으며, 싱가포르의 경우 수업 마무리 단계에서 맥락문제의 비율이 높았다. 주제별 맥락문제의 활용 정도를 비교한 결과, 모든 주제에서 싱가포르가 한국에 비해 맥락문제의 비율이 높았으며, 특히 비례식에서 맥락문제 비율은 싱가포르가 한국에 비해 2배 이상 높았다. 그럼에도 불구하고 비례식에서 한국 교과서는 싱가포르의 교과서에 비해 더 다양한 소재를 제시하고 있었다. 여덟째, 한국과 싱가포르 교과서 모두 수량 비교와 관련된 맥락문제의 비율이 가장 높았으며 절반가량을 차지하고 있었다. 한국 교과서는 싱가포르에서 다루지 않는 닮음비, 축척과 같은 기하적 맥락을 포함한 문제를 제시하고 있었다. 이와 같은 결과를 토대로 내린 결론과 제언은 다음과 같다. 한국 교과서도 싱가포르 교과서처럼 학습 주제의 양에 따라 단원을 자율적으로 구성하면 학생들이 정형화된 차시 구성으로 인해 학습에 지루해 하지 않고 학습 주제를 보다 충실히 다룰 수 있을 것이라 사료된다. 싱가포르의 반복, 심화 학습이 TIMSS 비, 비례식, 백분율 주제에서 우리나라보다 높은 정답률을 보이는데 영향을 주는 요인 중 하나일 수 있다는 결론을 얻을 수 있었다. 그리고 실생활에서 많이 접하게 되는 백분율의 비중을 강화해야 한다고 판단되었다. 학생들이 특히 어려워하는 비례식을 지도할 때 교과서에 제시된 교차곱 전략처럼 기계적인 방법 이외에 한 단위 전략과 같은 새로운 방법에 대해 설명해 줄 필요성이 있다고 보았다. 또한 학생들이 불필요한 계산에 시간을 소비하지 않도록 분수, 소수를 포함한 비와 관련된 복잡한 계산문제를 축소하는 방안에 대해 고려할 필요가 있다고 사료된다. 선행연구들은 제7차 교육과정을 반영한 교과서는 비 개념에서 핵심적인 승법적 사고를 유도하고 있지 않다는 비판을 하고 있었다. 그러나 본 연구에서 2007개정 교육과정을 반영한 교과서는 두 수를 승법적으로 비교면서 비를 도입하고 있었다. 이는 2007개정 교과서가 선행연구들을 반영하여 개선되었다는 근거가 될 수 있다. 한국 교과서에 제시된 맥락문제의 비율은 싱가포르 교과서에 비해 상대적으로 낮았는데, 싱가포르 교과서의 매 단원 마지막 차시에서 실생활 문제를 제시하는 것이 이러한 차이에 영향을 준다고 판단하였다. 따라서 실생활 문장제 문제를 다루는 차시를 별도로 구성할 필요가 있다는 결론을 얻을 수 있었다. 한국과 미국 교과서에 제시된 문제의 맥락성을 비교분석한 김민경, 박은정, 허지연(2012)의 연구에선 모든 교과서의 확인과 평가 과정의 맥락문제 비율이 다른 과정에 비해 낮게 나타났다. 반면에 본 연구에서 싱가포르 교과서는 확인과 평가 과정의 맥락 문제 비율이 다른 과정과 비슷한 비율로 높게 나타났다. 그리고 제 7차 개정 교과서의 비와 비율 관련 단원을 분석한 박희자, 정은실(2010)에 따르면 한국 교과서에서는 기하적 맥락과 관련된 문제는 제시되지 않았으나 본 연구에서 한국의 2007개정 교과서는 기하적 맥락을 포함한 문제들을 제시하고 있었다. 비의 교수·학습에선 기하학적 맥락을 적극적으로 활용할 필요가 있으며(Freudenthal, 1983), 위와 같은 결과는 교과서의 바람직한 개선 방향을 보여주는 결과라고 볼 수 있을 것이다. 이와 같이 본 연구는 우리나라 학생들의 이해가 미흡한 것으로 나타난 비와 비율 교수·학습에 대한 비교 연구를 통해 우리나라의 비와 비율 지도 방식에서 문제점을 발견하고, 이에 대한 방안을 제시함으로써 비와 비율 교수학습 개선에 시사점 제시하였다. 특히, 비와 비율 교수학습은 물론 학생들의 정의적 성취에서 중요한 역할을 하는 맥락성의 관점에서 비교분석했다는 점에서 의의를 갖는다.;According to the results of Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) over the past few years, Korean students were found to show an extremely high level of achievement in intellectual domains while a low level of achievement in affective domains including interest, confidence, and value awareness (Choi et al., 2013). On the other hand, students in Singapore were found to show a high level of achievement in both academic and affective domains of TIMSS. In addition, comparisons of percent correct for each topic in TIMSS 2007 results showed that Singapore was higher than Korea in percent correct on the topic of ‘ratio, proportional expression, and percentage’ (Kim & Kim 2009). The concepts of ratio and proportion, for which Korean students showed lower percent correct than Singaporean students, are the principles pervasive in daily life, and have been emphasized as an integrative topic in NCTM (2000). Nevertheless, the level of students’ comprehension of the concepts of ratio and proportion has been found to be extremely insufficient. Such results may be related to teachers’ various instructional methods; however, it is believed to be more closely related to organization of the textbook content than anything else because the choice of the content to teach is limited. On the other hand, contextual problems should be emphasized in math education because it offers students with natural motivation for math learning (Kim, Park, & Huh, 2012). In addition, contextual problems are important in teaching and learning of ratio and proportion, and Freudenthal (1983) argued that when introducing the concept of ratio, it is recommended to provide students with various contexts in which ratio is a means in organization. However, it has been criticized that the context in which the concepts of ratio and proportion are introduced in Korean elementary math textbooks is quite artificial, and has not highlighted the needs for the concept of ratio (Kim, 2008). In addition, the review of previous studies that compared Korean textbooks and Singaporean textbooks showed the lack of research on analysis of contextual problems. Therefore, through comparative analysis of Korean textbooks and Singaporean textbooks in the units on ratio and proportion, focusing on organization of the units, content systems, and presentation methods, the present study aims to present the implications for teaching and learning of ratio and proportion and future directions suitable for teachers in elementary math education. Based on such perspective, the following research questions were formulated. 1. Regarding the units on ratio and proportion, how are the units organized in Korean and Singaporean textbooks? 1-1. Regarding the units on ratio and proportion, how are the units organized overall in Korean and Singaporean textbooks? 1-2. Regarding the units on ratio and proportion, how is organization in each unit in Korean and Singaporean textbooks? 2. Regarding the units on ratio and proportion, how is the content systemized and presented in Korean and Singaporean textbooks? 2-1. Regarding the units on ratio and proportion, how is the content systemized? 2-2. Regarding the units on ratio and proportion, how is the content presented in Korean and Singaporean textbooks? 3. Regarding the units on ratio and proportion, how are contextual problems used in Korean and Singaporean textbooks? 3-1. Regarding the units on ratio and proportion, what is the extent of use of contextual problems by topic and process in Korean and Singaporean textbooks? 3-2. Regarding the units on ratio and proportion, what are the materials of contextual problems by topic like in Korean and Singaporean textbooks? In order to answer these research questions, the comparative analysis on organization of Korean and Singaporean textbooks was conducted for the research question 1, the comparative analysis on the system of the content and its presentation method of the units on ratio and proportion by topic was conducted using curricula and textbooks of the countries for the research question 2, and a comparative analysis on the extent of the use and the materials of contextual problems presented in the textbooks of these countries was conducted for the research question 3. The summary of the results of the comparative analyses are as follows. First, Korean textbooks presented a specific amount of content for each class period, while the content for each class period in Singaporean textbooks was organized without restriction in accordance with content, and presented real-life problems in sentence at the end of each unit. Second, Singaporean textbooks applied simpler organization than Korean textbooks, and mostly consisted of problem solving. In contrast, Korean textbooks presented at the beginning of each unit the activity in which students predict mathematical facts by themselves based on the situation, define definitions, and express them in writing or in drawing. Third, Korean textbooks introduced the concept of ratio and address each of the topic of ratio and the topic of proportion once, while Singaporean textbooks introduced the concept of ratio earlier than Korean textbooks and organized the topic of ratio and proportion in a way in which they are presented every semester, increasing their extent and intensity. In addition, the topic of percentage was covered in a far greater proportion in Singaporean textbooks than Korean textbooks. Fourth, Korea and Singapore showed a great deal of difference in the conceptual definition of ratio. For example, value of ratio was not defined in Korean textbooks, whereas value of ratio and ratio were used without distinction in Singaporean textbooks. In addition, percentage was defined as a concept that belongs to proportion in Korean textbooks, whereas percentage was defined as a concept independent from proportion in Singaporean textbooks. Fifth, with respect to the way proportional expression is introduced, equivalent ratios were created through partitioning in Singaporean textbooks, whereas partitioning was not presented in Korean textbooks. The method to solve proportional expressions also showed a difference. Most of all, the cross product strategy was used in Korean textbooks, whereas the single unit strategy and the multiplication strategy were used in Singaporean textbooks. Sixth, Korea and Singapore showed a difference in use of the visual model that plays an important role in teaching and learning of ratio and proportion. In Korean textbooks, Students were instructed to generate a visual model by themselves through the activity to express a mathematical situation with a drawing. In contrast, in Singaporean textbooks, a rod model was used to explain the method to solve proportional expressions. Seventh, the proportion of contextual problems to all problems was higher in Singapore than Korea. The results of the comparison of the extent of use of contextual problems across curriculums showed that the proportion of contextual problems was high in the initial phase of class in Korea, and in a wrap-up phase of class in Singapore. The results of the comparison of the extent of use of contextual problems across topics showed that Singapore had a higher proportion of contextual problems than Korea in all topics, and more than twice higher than Korea in proportional expression in particular. Nevertheless, Korean textbooks presented more diverse materials in proportional expression than Singaporean textbooks. Eighth, in both Korea and Singapore, the proportion of contextual problems related to quantity comparison was the highest, accounting for about a half of all contextual problems. Korean textbooks presented the problems that contain geometric context such as ratio of similitude and scale. Conclusions and recommendations based on the results are as follows. It is believed that if Korean textbooks are organized autonomously according to the amount of learning topics as in Singaporean textbooks, students will be able to more fully engage with learning topics without being bored with learning due to formulated organization for class periods. We were able to obtain a conclusion that repetitive and intensifying learning in Singapore can be one of the factors that affect higher percent correct in Singapore than Korea. In addition, presumably the proportion of percentage that is commonly encountered in real life needs to be increased. It is believed that when instructing on proportional expression that students often have difficulty with, it is necessary to explain about new methods such as the single unit strategy in addition to mechanical way such as the cross product strategy that are presented in textbooks. In addition, it is believed that consideration of measures to reduce complicated calculation problems related to ratio which include fractions and decimals is needed so that students do not waste their time in unnecessary calculations. Previous studies criticized that the textbooks that incorporated the 7th national curriculum did not encourage multiplicative thinking. However, the textbooks that incorporated the 2007 revised curriculum reviewed in the present study were introducing the concept of ratio through multiplicative comparison of two numbers. This can be a piece of evidence that 2007 revised textbooks were improved by incorporating previous studies. The proportion of contextual problems presented in Korean textbooks was relatively low compared to Singaporean textbook. It is believed that the real-life problems presented for the last class period of each unit of Singaporean textbooks have an influence on the difference. Accordingly, a conclusion may suggest that the last class period that covers real-life sentence-type problems needs to be organized separately. A comparative analysis on contextuality of the problems presented in Korean and U.S. textbooks by Kim, Park, and Huh (2012) showed that, in all textbooks, the proportion of contextual problems in check and assessment processes was lower than those of other processes. In contrast, in Singaporean textbooks in the present study, the proportion of contextual problems in check and assessment processes was similar to those of other processes. In addition, although the analysis of units on ratio and proportion in the 7th revised textbooks by Park and Jeong (2010) did not find the problems related to geometric context in Korean textbooks, the present study found the problems related to geometric context in 2007 revised textbooks in Korea. Teaching and learning of ratio and proportion needs to fully utilize geometric context (Freudenthal, 1983), and the results above can be regarded as the evidence of improvements of textbooks towards a desirable direction. As demonstrated by the above, the present study identified the problems in the method of instruction of ratio and proportion in Korea through comparative study on teaching and learning of ratio and proportion, and presented implications for improvement of teaching and learning of ratio and proportion by presenting the measures for the problems. In particular, its significance lies in its comparative analysis from the perspective of contextuality which plays an important role in affective achievement as well as teaching and learning of ratio and proportion.