초등학교 수학교과서에 제시된 수학사 분석 및 동양 수학사 학습자료 개발 연구

Abstract

When it comes to teaching math, we have omitted the dynamic process of formation of math, and only taught it as a complete system(Hyeonju Yoo, 1999). In other words, instructions regarding the process of formation of math and long struggles on math problems have been excluded(Avital, 1996). Therefore, many students now regard math as difficult, boring, and isolated academics. What methods should be sought in order to make math part of our lives? Many scholars including De Morgan, Poincaré, Klein, and Lakatos find the answer in the history of mathematics(Eunah Choi, 2013). Learning through the history of mathematics allows math to be understood as not just a study that is far from people’s lives, but a field that is deeply related with contemporary society and culture; it also allows the value of math to be recognized continually through facing math from past to present(Bidwell, 1993). However, even though not only scholars but also teachers agree on that the history of mathematics should be taught(Hyeonjin Moon, 1996; Sanghwa Kim, 1999; Gyesong Lee, 2000), and despite the progress of research which focused on applying the history of mathematics(Wilson & Chauvot, 2000; Tzanakis et al., 2000; Gulikers & Klaske, 2002), the history of mathematics is not being actively applied in schools(Jeongho Woo et al., 2003). Parts that deal the history of mathematics in textbooks is scarce, and those that were shown in textbooks do not show clear relevance with what the students learn during math class (Jeongho Woo et al., 2003). Moreover, the fact that 90% of the history of mathematics included in textbooks deals with Western history of mathematics, students rarely have the chance to encounter Eastern mathematics(Seongho Yang, Gyeongeon Lee, 2010). In terms of explanation, most are presented in the form in which students could simply read with interest(Eunah Choi, 2013), shaping mathematical concept or developing data that could aid students to understand the formation of math is required(Eunkyeong Lee, 2002). Yet, in elementary school level, research on the history of mathematics limits itself in certain fields that include developing educational program for elite students such as those presented by Haekyu Kim(2002), and Hyangkyun Shin et al.(1999), and inserting the history of mathematics as part of occasional classes in order to test the effect such as those presented by Sanghwa Kim (1999), Keumsun Yoo(2006), Seongwon Kang(2013), and Doha Heo(2010). Therefore, research is required in order to actively apply the history of mathematics in schools. Therefore, the purpose of this research is to analyze how the history of mathematics is being handled in elementary school textbooks, and study specific contents and methods that could supplement ways of learning the history of mathematics in regards to current textbooks by using the analysis. In order to conduct this, a research regarding the status of applying the history of mathematics by subjecting math textbooks that follow 2009 revised curriculum of has been conducted. However, in case of fifth to sixth graders, math textbooks follow 2009 revised curriculum, unlike those of first to fourth graders, so those textbooks were used for analysis. The research problems of this research are as follows. Research problem 1. How the history of mathematics is being applied in elementary school math textbooks? 1(1). What chronological and regional characteristics of the history of mathematics are exhibited in textbooks? 1(2). What are the characteristics of its suggestions, location of description within textbooks, types of activities and relevance to course of study? Research problem 2. Based on the analysis of research problem 1, how can the application of the history of eastern mathematics in the field of elementary school math become supplemented? In research problem 1(1), the data of the history of mathematics as a whole has been divided into Eastern and Western in order to figure out its chronological and regional background. Specifically, it has been divided once more into mathematicians and mathematical concept, principle, and methods in order to analyze the chronological and regional background. Results showed that, out of 20 data, Western history of mathematics were 14 and showed the frequency of 70%, while Eastern history of mathematics were 4 and showed 20%. Combination of Eastern and Western were 2 and showed 10%. This indicated that the application of Eastern history of mathematics is lacking when compared to that of Western. A total of 11 mathematicians were introduced. 5 out of 11 were active during 6th century B.C., and other 6 were active during 16th to 18th century. Regionally, 8 mathematicians were from Europe, and 3 were from Asia, indicating that European mathematicians are being introduced in general. In terms of mathematic concepts, ancient Greek math was the most abundant, mainly dealing arithmetic operation, regularity, shapes, and measurements, in 6 cases. Application of Egyptian math was shown in 5 cases, 4 of which were related with fractional number, while the other one was related with notation. Other regions being applied included Korea, China, Rome, and Switzerland. The results of analysis of research problem 1(1) provided that data of the history of mathematics in elementary school math textbooks dealt mostly with those of 6th century B.C. and 16th to 18th century in chronological relevance, while Western history of mathematics was being mostly used in terms of regional relevance. In research problem 1 (2), the content, introduction period, application method and relevance with course of study of the history of mathematics have been analyzed in order to figure out how the history of mathematics is being applied in textbooks. When it comes to contents, the birth and development of mathematical concept, principle, and method was the most (9 times) out of 20 data, followed by the contents regarding symbols and values (4 times), and contents regarding daily life applications (4 times). Applying problems suggested to the history of mathematics and content related to the birth and life achievements of mathematicians were only shown once each. These contents were suggested as reading materials at the end of chapters (18 times, 90%), 55% (11 times) of which showed no direct relations to the objectives of each chapters. This indicates that values expected to be achieved through using the history of mathematics do not actively contribute to achieving set goals of the chapter. This also implies that the values could not be accomplished but used only as enhancing background knowledge and developing interests. Therefore, in research problem 2, we have studied how to supplement the application of the history of mathematics based on the result of research problem 1. Considering the result of research problem 1 (1), it has been suggested that there have been wide range of contents chronologically, while, in terms of regional themes, contents focused mostly on Western history of mathematics. This led the research problem 2 to extract contents regarding Eastern history of mathematics that were valuable enough to be taught in elementary schools. In order to supplement the result of research problem 1 (2), extracted contents were formulated as numerous kinds of activity data by considering the relations of objective and content of each chapter in introduction, development, and conclusion parts. Among data of Eastern history of mathematics that can be applied in elementary school level, the following turned out to be usable: Development of addition and subtraction that could enhance operation sense and calculation methods of Indian Vedic math, partition method that includes questions in regards to real life questions that are related with calculation of fractional numbers, rectangles that are related to numerous kinds of 2-dimensional shapes, weights and measures that emphasize the importance of measuring and units, area of squares that provide measuring experience of standard and nonstandard types, history of percentage which allows students to understand the meaning and development of percentage, and questions regarding the concept of series that shows numerous kinds of rules. Research problem 2(2) suggested these to be applied in textbooks in forms of question solving activity, primary record activity, math experiment activity, providing historical fact activity, and history package activity. This research has examined the limits of using the history of mathematics in elementary school math textbooks and suggested contents and methods that could supplement it. Applying Eastern math which showed major development from the ancient times but regarded only as something unimportant may become the opportunity for students to overcome the prejudice of Eastern math and allow them to have confidence of our culture. Moreover, by applying Eastern history of mathematics, which is part of our culture, students may find a way to overcome a sense of difference which could be gathered from learning English expressions during math class. Activity data have been formulated in numerous methods in regards to the objective and content of chapters in math textbooks, which will not only increase interest but also contribute in pursuing practicality, educability, and cultural characters, all of which are the goal of educating mathematics(2013b, Ministry of Education, Science and Technology). Yet, the content dealt in this research is only partial in total Eastern history of mathematics. Also, the suggested methods of application are only few. Therefore, for the history of mathematics to be activated even more in the field of math education, teaching and learning data that utilize the history of mathematics should be developed more diversely. In addition, the methods suggested in this research are not proven to be effective, so there needs a verification which proves that the suggested methods fulfill the pursued goals of learning that utilizes the history of mathematics. Yet we expect this research to become a basic data for further research.; 전통적인 수학 수업에서에서는 수학에서의 창조 과정과 수학 문제와의 오랜 분투 과정에 대한 지도가 배제되는 경우가 많았다(Avital, 1996). 따라서 많은 학생들은 수학이 어렵고 재미없으며 고립된 학문이라고 생각하게 되었다. 그렇다면 수학 수업에서 창조와 과정을 강조하고, 수학을 삶의 영역으로 끌어올리기 위해서는 어떤 방법을 모색해야 하는가? De Morgan, Poincaré, Klein, Lakatos 등의 많은 학자들은 그 해답을 수학사에서 찾고 있다(최은아, 2013). 수학사를 통한 학습은 수학이 인간의 삶과 동떨어진 학문이 아니라 그 시대의 사회·문화와 밀접한 관련이 있음을 알게 하며, 과거로부터 현재까지에 이르는 수학을 접하게 하여 수학의 가치를 계속적으로 인식할 수 있게 한다는 것이다(Bidwell, 1993). 하지만 수학사 필요성에 대하여 학자들뿐만 아니라 현장의 교사들도 공감하고(김상화, 1999; 문현진, 1996; 이계송, 2000), 수학사를 활용하는 방법에 대한 연구가 많이 이루어졌음에도 불구하고(Gulikers & Klaske, 2002; Tzanakis et al., 2000; Wilson & Chauvot, 2000) 학교 현장에서는 수학사가 적극적으로 활용되고 있지 않고 있다(우정호 외, 2003). 교과서에서 수학사 관련 내용이 차지하는 비율이 낮으며, 그나마 제시된 자료들은 학습 내용간의 개념적 관련성이 분명하지 않은 것이 많다(우정호 외, 2003). 뿐만 아니라 서양 수학사에 관련한 내용이 90% 내외에 이르러 동양의 수학에 대해서는 접하기가 어려운 실정이다(양성호, 이경언, 2010). 진술 방식에 있어서는 대부분이 흥미 위주의 간단한 읽기 자료 형태로 제공되고 있어(최은아, 2013) 수학사 자료의 개발에 있어 수학적 개념을 형성하거나 수학의 발생과정을 이해하는데 도움을 줄 수 있는 자료를 개발하는 것이 필요하다(이은경, 2002). 그러나 이러한 연구는 대부분 중등 교육과정을 대상으로 하고 있으며, 현재 초등학교 단계에서 수학사 연구는 김해규(2002), 신향균 외(1999) 등 영재 학생을 대상으로 하는 교육 프로그램을 개발하거나 김상화(1999), 유금순(2006), 강성원(2013), 허도하(2010) 등의 연구에서처럼 수학사 내용을 특정 차시 수업에 도입하여 그 효과에 대하여 살펴본 것이 대부분이다. 따라서 초등학교에서 수학사를 적극적으로 활용하기 위해서는 현재 학교 현장에서의 수학사 활용 실태를 파악하고, 이를 적극적으로 활용하기 위한 방안에 대한 연구가 필요하다. 본 연구에서는 초등학교 수학 교과서에서 수학사를 어떻게 활용하고 있는가에 대하여 살펴보고, 그 분석 결과를 토대로 수학사 관련 내용을 보완할 수 있는 구체적인 내용과 방법을 연구하였다. 이를 위해 현재 활용 중인 2009개정 교육과정에 따른 수학 교과서를 분석 대상으로 하여 활용 실태에 관하여 연구를 진행한다. 단, 1-4학년의 경우 2009개정 수학 교과서가 출판된 상황이나 5-6학년의 경우 2009개정 수학 교과서가 출판되지 않고, 2007개정 수학 교과서가 활용되고 있어 이를 분석 대상으로 하였다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다. 연구문제 1. 초등학교 수학 교과서에서 수학사 활용은 어떠한가? 1(1). 교과서에 제시된 수학사 자료는 어떤 시대적, 지역적 특징이 있는가? 1(2). 교과서에 제시된 수학사 자료의 제시 내용, 서술 위치, 활동 유형 및 교육과정 관련성의 특징은 무엇인가? 연구문제 2. 초등학교 수학과에서 동양 수학사 측면의 활용 방안은 무엇인가? 연구문제 1(1)에서는 교과서에서 활용되고 있는 수학사 자료의 시대적, 지역적 배경을 살펴보기 위하여 수학사 자료를 동·서양권으로 나누어 빈도를 조사하였고, 이를 다시 수학자와 수학적 개념·원리·방법으로 나누어 시대적·지역적 배경을 분석하였다. 그 결과 총 20개의 자료 중 서양 수학사가 14회로 70%, 동양 수학사가 4회로 20%, 동·서양 수학사가 동시에 활용된 것이 2회로 10%를 차지하고 있어 서양을 중심으로 교과서의 내용이 제시되고 있음을 알 수 있었다. 수학자 역시 서양의 수학자들이 주로 소개 되고 있었는데, 유럽 출신이 8명, 아시아 출신이 3명이다. 시대적으로는 기원전에서 6세기 혹은 16~18세기의 수학이 많이 활용되고 있었다. 연구문제 1(2)에서는 교과서에서 어떻게 수학사를 활용하는지 알기 위하여 수학사 자료의 내용, 도입 시기, 활용 방법 및 교육과정과의 관련성을 분석하였다. 먼저 제시되는 내용으로는 총 20개의 자료 중 수학적 개념·원리·방법의 탄생 및 발달 과정에 관한 내용(9회)이 가장 많았으며, 이어 기호 및 표기에 관한 내용(4회), 실생활에 관련된 내용(4회)이 제시 되었으며, 수학사에 제시된 문제의 활용 및 수학자의 생애·업적에 관련되는 내용은 각각 1회씩 활용 하는데 그쳤다. 이 내용은 주로 단원 정리 단계에서 읽기 자료의 형태(18회, 90%)로 제시 되고 있었는데, 그 중에서도 50%(10회)에 해당하는 내용이 각 단원의 목표와 직접적으로 관련 없는 것으로 드러났다. 수학사 활용이 해당 단원에서 설정한 목표 달성에 적극적으로 기여하고 있지 못하거나, 수학사 활용을 통해 기대할 수 있는 가치를 달성하지 못하고 단순히 배경 지식을 강화하거나 흥미 유발 차원에서 이루어지고 있는 것이다. 따라서 연구 문제 2에서는 연구 문제 1의 결과를 바탕으로 수학사 활용을 보완할 수 있는 방법을 연구하였다. 연구 문제 1(1)의 결과를 고려했을 때, 시대적으로는 비교적 여러 범위에 분포하는 내용이 제시되고 있었으나 지역적으로는 서양 수학사에 치우쳐 제시되고 있었기 때문에 연구 문제 2에서는 상대적으로 활용 빈도가 부족한 동양 수학사 중 초등학교에서 활용 가능한 내용을 추출하였다. 추출한 내용은 연구문제 1(2)의 결과를 보완할 수 있도록 각 단원의 도입, 전개, 정리 단계에서 목표 및 내용과의 연계성을 고려하여 다양한 유형의 활동 자료로 구현하였다. 수학사를 학교 수학에 도입한다는 것은 현재 가르치고 있는 대상 즉, 수학적 개념·원리·방법이 인간 삶과는 별개로 존재하는 것이 아니라 인간이 살아가는 지리적, 문화적, 정치적, 철학적 배경 속에서 인류의 시행착오와 반성, 계속되는 노력에 의해 발전한 것임을 알게 하며, 이를 통해 학생들의 삶에서 수학을 향유하고 누릴 수 있게 하는 것에서 그 의미가 있다. 그러므로 본 연구는 초등학교 수학 수업에서 수학사가 그 활용의 효과를 충분히 발휘 할 수 있는 방향으로 구성되어 있는지를 확인하고, 그렇지 않다면 어떻게 구성할 수 있는지를 고찰하였다. 현재 활용 빈도가 떨어지는 동양 수학사를 도입하는 것은 고대로부터 큰 발달을 이루었으나 변방으로 여겨졌던 동양 수학에 대한 편견을 극복할 수 있는 계기가 될 수 있으며, 우리 문화에 대한 자부심을 갖게 할 수 있을 것이다. 뿐만 아니라 실용적인 성격의 동양 수학사는 학생들로 하여금 수학이 우리 생활과 밀접한 관련이 있음을 알 수 있게 하고, 수학 문제의 맥락성을 강화 시킬 수 있는 방법이 된다. 또한 우리 문화인 동양 수학사를 활용함으로 인해 수학 학습에서 영어식 표현 등 문화의 차이로부터 기인한 이질감을 극복할 수 있는 방안이 될 수 있을 것이다. 활동 자료는 교육과정에서 제시하고 있는 목표 및 내용과 관련지어 다양한 방법으로 구현하였기 때문에 단순한 흥미 유발로써의 수학사 활용이 아니라 수학교육의 목적인 실용성, 도야성, 문화성(2013a, 교육과학기술부)을 추구하는데 기여할 수 있는 활동이 될 것이다. 정리 단계뿐만 아니라 단원의 도입·전개 단계에서의 수학사 도입은 수학에서의 창조와 과정을 강조하고, 현재 학습하고 있는 수학과 과거의 수학이 동떨어진 것이 아니라 계속적으로 발전하고 있는 수학의 일부분임을 알 수 있게 할 것이다. 하지만 본 연구에서 다룬 내용은 동양 수학사의 일부분에 불과하며 그 활용 방안 역시 몇 가지 방안에 그치고 있어, 수학 교육에서 수학사가 좀 더 활성화되기 위해서는 수학사를 활용한 교수·학습 자료들이 좀 더 다양하게 개발되어야 할 것이다. 그리고 본 연구에서 제시한 방법들은 실험적으로 그 효과가 증명되지 않았고 하나의 제안에 그치고 있으므로 후속 연구에서 이러한 방법이 수학사를 활용한 학습에서 추구하는 가치를 실현시키고 있는지에 대한 검증이 필요하다. 본 연구는 이러한 후속 연구의 기초자료가 될 수 있을 것이라 기대한다.