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중학교 2학년 상위권 학생들을 대상으로 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 연구

Title
중학교 2학년 상위권 학생들을 대상으로 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 연구
Other Titles
Study on Pattern Generalization depending on the Form of Expression carried out for High Rank Second Year Middle School Students
Authors
장혜승
Issue Date
2015
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Advisors
이종희
Abstract
최근 미국, 영국, 호주를 비롯한 각국의 대수 교육과정에서 전통적 대수 학습 방식으로부터 벗어나 학습자가 사고 기반을 주도적으로 만들어가는 패턴의 일반화 학습을 강조하고 있다(김성준, 2003). 패턴은 주변 환경에서 일정한 규칙을 찾고 이를 수학적으로 표현하는 기회를 제공하므로 수학의 가치와 유용성을 인식할 수 있는 좋은 주제가 될 수 있다. 또한 귀납적 추론과 연역적 추론 같은 수학적 사고력을 향상시키는데 좋은 도구가 될 수 있다(김수환 외 7인, 2009). 이와 같이 패턴의 장점에도 불구하고 패턴은 아직까지 수학 교육과정의 핵심 주제로 자리 잡지 못하고 있으며, 대부분의 경우 패턴 학습은 단순한 순서 또는 규칙성을 찾거나 레크레이션 활동 정도로 여기는 경우가 많다(Zazkis and Liljedahl, 2002). 이에 따라 패턴의 일반화를 통한 대수교육에 시사점을 제시하기 위하여 학생들의 패턴의 일반화 수준과 실태를 분석할 필요가 있다. 따라서 본 연구에서는 중학교 2학년 상위권 학생들의 일반화 단계와 전략에 대하여 살펴보고자 한다. 이러한 연구 필요성과 목적에 따라 본 연구에서는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 중학교 2학년 상위권 학생들의 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 단계는 어떠한가? 가. 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 단계는 어떠한가? 나. 패턴의 일반화 단계의 정당화 유형은 어떠한가? 2. 중학교 2학년 상위권 학생들의 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 전략은 어떠한가? 가. 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 전략과 그 성공률은 어떠한가? 나. 패턴의 일반화를 실패한 학생에게 다른 전략으로 접근을 유도하였을 때 어떠한 변화가 있는가? 본 연구는 중학교 2학년 학생들을 대상으로 식의 형태에 따른 패턴의 일반화를 알아보기 위하여 먼저 두 차례의 예비 검사를 실시하였다. 이를 바탕으로 서울에 소재하는 C중학교의 2학년 학생들 중 상위권에 속하는 학생 82명을 편의표집(Convenience sampling) 하여 연구를 실시하였다. 연구 대상은 검사 문항에 대한 반응이 충분하지 않은 4명의 학생을 제외한 78명의 학생으로 하였다. 본 연구에 제시되는 검사지 제작을 위하여 먼저 선행연구에 등장하는 시각적 패턴을 분석하였다. 패턴의 속성을‘식의 형태, 패턴의 모양, 패턴의 소재, 선형성, 증·감소, 기타’와 같이 분류하고 ‘식의 형태’를 본 연구의 주요 변인으로 채택하였다. 따라서 나머지 변인은 통제하려고 노력하였다. 여기서 사용한 식의 형태는 'an, n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c,an^(2)+bn+c'와 같다. 식의 형태에 따른 패턴의 일반화 단계를 알아보기 위하여 Stacey(1989)와 김성준(2003)의 패턴의 일반화 단계를 바탕으로 수정·보완하였고, 패턴의 일반화 단계에서 정당화 유형을 알아보기 위하여 Balacheff(1987)와 Tall(1995)의 증명 유형을 바탕으로 재구성하였다. 본 연구에서 정당화 유형은 ‘한 예를 통한 경험적 정당화, 귀납적 경험적 정당화, 시각적 논리적 정당화, 유도 원리를 통한 논리적 정당화’와 같이 분류하였다. 또한 패턴의 일반화 전략을 알아보기 위하여 Lannin(2003)의 일반화 전략을 바탕으로 수정·보완하였다. 연구 문제를 해결하는 데 신뢰도를 높이기 위해 본 연구자 외에 다른 교사 한 명이 코더로 참여 하였다. 또한 지필 검사를 바탕으로 보다 심층적으로 분석하기 위하여 본 검사를 시행한 학생들을 선정하여 개별 면담 하였다. 학습자의 학습 환경을 관찰함과 동시에 학생들의 생각을 세밀히 관찰하기 위하여 면담 상황을 음성 녹음 및 비디오 촬영하였다. 비디오 파일과 녹음된 내용은 전사되었으며 이를 통하여 분석하였다. 패턴의 일반화 단계를 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 패턴의 일반화 단계를 분석한 결과, 중학교 2학년 상위권 학생들은 ‘시작 단계’와 ‘명확화 단계’에 많이 분포하고 있음을 알 수 있었다. 시작 단계에 있는 학생들은 주어진 패턴의 다음 단계의 그림을 잘 그릴 수 있으나 10단계의 패턴의 개수는 잘 구하지 못하는 학생들이고 명확화 단계에 있는 학생들은 패턴의 일반화 식을 유도 할 수 있는 학생들이다. 이렇듯 ‘시작 단계’와 ‘명확화 단계’에 학생들이 주로 분포하고 있다는 것은 ‘일단 패턴의 수학적인 규칙을 찾으면 일반화 식을 대체로 잘 이끌어 낼 수 있지만 그 규칙을 찾지 못한다면 시작 단계에서 다음 단계로 넘어가는 것은 쉽지 않다.’라는 의미로 해석 할 수 있다. 따라서 패턴의 수학적인 규칙을 찾아내는 것이 일반화된 식을 이끌어내는 것의 성공과 실패를 좌우 할 만큼 중요하다는 것을 알 수 있었다. 둘째, 각 문항별로 일반화를 성공한 학생들의 분포를 살펴보면 1번 문항에서 6번 문항으로 갈수록 일반화 성공 빈도수가 낮아지고 있었다. 즉 an, n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c,an^(2)+bn+c 로 갈수록 어려워진다는 것을 의미한다. 셋째, 정당화 유형을 살펴 본 결과, 정당화의 유형 중 ‘한 예를 통한 귀납적 경험적 정당화’와 ‘시각적 논리적 정당화 방법’을 가장 많이 사용하는 것을 알 수 있었다. 1번과 2번 문항은 비교적 간단한 일차식 형태로 자신이 구한 식에 적당한 값을 대입하여 자신이 구한 식이 맞는지를 쉽게 확인하는 방법으로 정당화 하였다. 4번 문항부터 6번 문항까지는 이차식의 형태로 자신이 구한 식에 적당한 값을 대입하기 보다는 주어진 패턴의 구조를 파악하여 자신이 구한 식에 대하여 정당화 하였다. 이는 자신의 식이 맞는지 확인하고 더 나아가 엄밀하지는 않지만 증명을 시도하였다고 볼 수 있다. 따라서 규칙을 쉽게 발견할 수 있는 문항에 대해서는 간단히 한 개 또는 두 개의 수를 대입하여 정당화하는 경향을 보였고, 쉽게 규칙이 발견되지 않는 문항에 대해서는 비교적 논리적인 방법을 사용하여 정당화 한다는 것을 발견하였다. 각 문항별로 패턴의 일반화 전략을 살펴본 결과는 다음과 같다. 첫째, 상황적 전략이 가장 높은 빈도수를 나타내며, 두 번째로 높은 빈도수를 보이는 전략은 재귀적 전략이었다. 즉 이 두 전략은 패턴 문항을 해결하는데 있어 학생들에게 꽤 매력적인 전략으로 생각된다. 또한 이 전략 중 상황적 전략은 매우 높은 정답률을 보였으므로 문항에 따라 차이는 있겠지만 효과적인 전략으로 볼 수 있다. 둘째, 그리거나 세기 전략과 추측과 확인 전략에 주목해 볼 필요가 있다. 이 두 전략은 성공한 빈도수보다 실패한 빈도수가 많다는 것을 발견할 수 있었다. 먼저 그리거나 세기 전략을 사용하는 학생들은 주로 시작단계에 머무는 학생들로 추측된다. 이 학생들은 그림을 그려서 패턴의 규칙을 찾으려고 시도하였으나 실패하였다. 다음으로 추측과 확인 전략을 사용한 많은 학생들이 일반식을 세우는데 실패한 이유는 이 전략을 사용한 학생들은 자신이 발견한 식이 왜 그런지에 대한 고려 없이 오직 직관에 의해 식을 찾아내려고 했기 때문으로 사료된다. 즉, 시행착오를 통해 식을 찾아 낼 수도 있지만 찾지 못하는 경우가 더 많기 때문이다. 결론적으로 본 연구를 통하여 학생들이 패턴의 규칙을 찾기 위해 여러 가지 전략으로 접근해 보는 것이 도움이 된다는 것을 알았다. 이때 패턴의 수학적 규칙을 찾아내는 것이 일반화된 식을 이끌어내는데 중요한 역할을 하므로 패턴의 규칙을 찾을 때에는 패턴의 구조적으로 접근하는 것이 도움이 되며 이는 일반식을 만드는데 도움을 준다. 문항을 제시할 때에는 되도록 쉬운 문항부터 제시하는 것이 좋으므로 an, n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c,an^(2)+bn+c 순으로 제시하며 학생의 수준보다 약간 높은 수준의 패턴 문항을 제시할 것을 제안한다. 이는 또한 학생의 사고력 향상에도 도움이 될 것이다. 또한 검산해보는 습관을 길러 실수 하지 않도록 하는 것도 중요할 것이다.;In the algebra curriculum of each country such as USA, UK, and Australia, the Pattern Generalization learning where the learner takes the lead in creating the basis of thinking breaking away from the traditional algebraic learning method is emphasized(Kim Sung-joon). As a pattern provides a chance to find a certain rule in the surrounding environment and express it mathematically, it can be a good subject that can recognize the value and usefulness of mathematics. Also, it can be a good tool to improve the mathematical thinking skills such as inductive inference and deductive inference(Kim Soo-hwan et al. 2009). In spite of such an advantage of pattern, it has not yet settled down as a core subject in the mathematics curriculum, and, in most of the cases, pattern learning is regarded as an activity of finding simple sequence or regularity or a recreation activity(Zazkis and Liljedahl, 2002). For this reason, it is required to analyze the students' level and actual state of Pattern Generalization to present the implications of Pattern Generalization for algebraic education. Accordingly, in this study, we intend to look into the high rank second year middle school students' stage and strategy of Pattern Generalization. In accordance with such a necessity and an objective of study, we have established the following research issues in this study: 1. What is the high rank second year middle school students' stage of Pattern Generalization depending on the Forms of Expressions? a. What is the stage of Pattern Generalization depending on the Forms of Expressions? b. What is the justification type of the stage of Pattern Generalization? 2. What is the high rank second year middle school students' strategy of Pattern Generalization depending on the Forms of Expressions? a. What is the strategy and the success rate of Pattern Generalization depending on the Forms of Expressions and the success rate? b. What change has taken place when a student who has failed in Pattern Generalization is induced to approach it with another strategy? In this study, in order to grasp the Pattern Generalization of second year middle school students depending on the Forms of Expressions, preliminary tests were conducted twice. Based on the result, a study was carried out through convenience sampling of 82 second year students of C Middle School located in Seoul who belong to the high rank group26). The objects of the study were the 78 students excluding the 4 students whose response to the test questions was insufficient. In order to produce the questionnaire to be used for this study, the visual patterns which appeared in preceding studies were analyzed first. The attributes of pattern were classified into‘Form of Expression, Shape of Pattern, Material of Pattern, Linearity, Increase/Decrease, and other’, and ‘Form of Expression’was adopted as the major variable of this study. Accordingly, efforts were made to control the remaining variables. The Forms of Expressions used here were ‘an, n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c, and an^(2)+bn+c’. In order to look into the stage of Pattern Generalization depending on the Forms of Expressions, correction and supplementation were carried out based on the stages of Pattern Generalization of Stacy(1989) and Kim Sung-joon(2003), and, in order to look into the justification type at the stage of Pattern Generalization, the justification types of Balacheff(1987) and Tall(1995) were reorganized. In this study, the justification types were classified into‘Empirical Justification through Examples, Inductive Empirical Justification, Visual Logical Justification, and Logical Justification through Induction Principle.’Also, in order to investigate the strategy of Pattern Generalization, correction and supplementation were carried out on the basis of the generalization strategy of Lannin(2003). In order to enhance the reliability in solving the research issues, another teacher participated in this study in addition to this researcher as a coder. Also, in order to carry out a deeper analysis on the basis of the written test, individual interviews with the students selected among those who participated in this test were conducted. In order to observe the learning environment of the students and to closely observe the thoughts of the students at the same time, the context of the interview was recorded and filmed. The video files and recorded contents were copied and used for analysis. The result of analyzing the stage of Pattern Generalization is as follows: First, as a result of analyzing the stage of Pattern Generalization, it could be seen that the high rank second year middle school students are distributed much over the‘Starting Stage’and‘Disambiguation Stage’. The students at the Starting Stage are the students who are unable to well obtain the number of patterns of 10th stage though they can well draw the figure of the next stage of the given pattern, and the students at the Disambiguation stage are the students who can solve the expression of Pattern Generalization. The fact that most of the students are distributed over the‘Starting Stage’and the‘Disambiguation Stage’like this can be interpreted to mean that‘though they can easily derive the expression of generalization if they once find the mathematical rule of the pattern, it is not easy for them to move from the Starting Stage to the next stage if they fail to find the rule’. Accordingly, it can be seen that finding the mathematical rule of the pattern is important to the extent that it determines the success and fail in deriving the generalized expression. Second, when we look into the distribution of the students who have succeeded in generalization by question, the frequency of success drops as we move from Question No. 1 to Question No. 6. That is to say, it means that the question becomes more difficult as we mover from an, to n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c, and an^(2)+bn+c. Third, it can be seen that ‘Empirical Justification through Examples’and ‘Visual Logical Justification methods’are most widely used among the justification types. As Question No. 1 and Question No. 2 were of simple linear expression, the obtained expressions were justified by the method of easily checking whether the expression obtained was right by substituting the relevant part of the obtained expression with an appropriate value. As Questions No. 4 to 6 were of quadratic expression, the obtained expressions were justified by grasping the structure of the given pattern rather than substituting the relevant part of the obtained expression with an appropriate value. This means that they checked whether their expressions were right or not, and attempted verification, though not strict. Accordingly, it was found that, as to the questions for which the rule could be easily found, a tendency of justifying them by substituting the relevant parts with one or two values was shown, and, as to the questions for which the rule could not be easily found, the justification was carried out using a relatively logical method. The result of looking into the strategy of pattern generation by question is as follows: First, Contextual Strategy showed the highest frequency, and was followed by Recursive Strategy. That is to say, these two strategies were thought to be quite attractive strategies to the students in solving the pattern questions. Also, among these strategies, as Contextual Strategy has shown a very high correct answer rate, it can be regarded as an effective strategy, though there may be a difference depending on the question. Second, we need to pay attention to Counting Strategy and Guess and Check Strategy. These two strategies showed higher frequencies of failure than success. First, the students who use Counting Strategy are presumed to be mostly the students who remain at the starting stage. These students attempted to find the rule of the pattern by drawing a picture only to fail. Next, the reason why many students who used Guess and Check Strategy failed in establishing a general expression was thought to be because the students who used this strategy only tried to find the expression using only their intuition without considering why the expressions they found were like that. That is to say, though they can find the expressions through trials and errors, they fail more frequently. In conclusion, it is found through this study that it is helpful for the students to approach the questions with different strategies to find the rule of the pattern. As finding the mathematical rule of the pattern plays an important role in deriving the generalized expression at this time, it will be helpful to structurally approach the pattern when finding the rule of the pattern, and this will also help in creating the general expression. As it is better to present easier questions first when presenting the questions, it is recommended to present them in the order of an, n+c, an+c, an^(2), n^(2)+c and an^(2)+bn+c and to present the pattern questions of the level a little higher than that of the student. This will be also helpful for improvement in the thinking skills of students. Also, it is important to develop the habit of re-checking the result of calculation to prevent mistakes.
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