다이어그램 활용을 통한 수학 문제해결 과정의 기호학적 분석

Abstract

In the modern society, Korean students spend a lot of time on studying. For entering the high-level school, even after entering the high-level school, to get good grades, they exercise to solve the math problem more exactly. Because of this, they don’t understand the true meaning and usefulness of the mathematical knowledge adapted on the problem before solving problem, but they just solve problem simply and only check the correctness of result and exercise the algorithm for the process of solving problem. And also, as considering the environment of the education given to the students, it is difficult that teachers or mathematical educators guide the student to understand the meaning of the mathematical knowledge and solve the problem structurally. In school mathematics, the solving problem is to grasp the mathematical concept connoted in the problem and select the strategies for applying that concept and then perform the systematic process for the problem. Therefore, it needs to draw up measures for learner to recognize the problem structurally and construct the meaning of the mathematical knowledge and then solve the problem smoothly in the process. Futhermore, the student use many mathematical expression in mathematical word problem-solving, but some students who have difficulty solving the problem, they don’t know how to access the problem. So, it might be good to let them know the way to set up a equation for solving problem easily, but if they feel difficult to set up a equation, it needs more and more to guide them to find another way for solving problem. So, it needs to suggest the model of solving problem to guide strategy using diagram explicitly for the students who have difficulty setting up a equation in the process of solving problem to set up a equation well. And also, it needs to check specifically what mathematical thinking process the students who solved the problem by using the diagram did through in each step of problem-solving process, which part they had difficulty solving problem in. For this, it was needed analysis method for the process of problem-solving that the student did, so this study used semiotic analysis method modified for the purpose. Through this analysis, to help the students who have difficulty solving mathematical word problem and setting up a equation in the process, this study suggests specific method for them to solve the problem well by using the diagram and understanding the problem structurally. To achieve the purpose, this study sets up three study questions as follows: Firstly, How do the students who have difficulty solving mathematical word problem use the diagram to set up a equation? Secondly, What is the model of problem-solving to help the students who have difficulty solving mathematical word problem understand it structurally? Thirdly, What does semiotic analysis mean for the process of solving mathematical word problem that students did by using the diagram through the model of problem-solving that this study made? There are methods to solve these study questions in the following : In the first question, After using the coding method in pre-list based on type of diagram categorized from reference research, this study checked how 86~100 students used the diagram to solve mathematical word problem. Based on this, in the second question, the study analyzed and compared previous researches for the process of solving mathematical word problem and Bransford & Stein(1984)’s IDEAL model and then made N-IDEAL model. Futhermore, in the third question, applying N-IDEAL model obtained from the second question, the study chose three of the students who were positive to use the diagram by intended sampling method for semiotic analysis about the progress of problem-solving. And the study chose the case study method interviewing the students for analyzing the process of solving three modified problems which were selected in exercises and synthesis problems of four textbooks according to revised curriculum in 2007. The results and the conclusion from these questions are as follows : Firstly, in the first question, The students who had difficulty solving problem experienced trouble to set up a equation and some students gave up the process of problem-solving, but the others tried to understand the structure of problem by using the diagram to set up a equation for solving problem. This time, they utilized the diagram like cognitive and analytical tool, but some students were unaccomplished in using the diagram, and also others drew the diagram well but failed to set up a equation. And also, there were difference aspects that the students used the diagram in each test tasks. Secondly, in the second question, the N-IDEAL model was designed to understand the problem structurally and use the diagram in the process of problem-solving for this study. And the study designed the N-IDEAL problem-solving model that suggested the name of each steps and the problem-solving behavior that was suitable for utilization of equation and inequality, and added a process that the student never gave up the process of problem-solving, even they had difficulty setting up a equation to solve the problem, and searched for a way using the diagram and solved problem structurally. Also, this study schematized the problem-solving behavior and the semiosis of each steps and an overall process of problem-solving, and analyzed the semiosis by providing code about the semiosis, and identified the students’ difficulties. Thirdly, in the third question, the problem-solving model obtained from the second question was applied to three subjects of case study. Most of them who had difficulty in the process that transition from object to interpretant also had difficulty reaching representament, even they did it, because the process that transition to representament is to use schematic representation of the structure like equation or diagram, so they often had difficulty in the progress. There were differences between week points of the students in each steps, and each students had other difficulty. And also, according to recent curriculum that emphasizes personalized mathematics learning, based on the result from semiotic analysis for the progress of problem-solving, the study grasped which part the students had difficulty was and suggested the way that they would be doing well. The significance obtained from the research’s result, are as follows ; Firstly, This study examined the diagram used in school mathematics. And the study defined that the diagram is not just picture or drawing but it’s a visual reference(or tool) meaning geometrical representation about structure of the problem and concept, and introduced four types of diagram: Matrix, Network, Hierarchy, Part-Whole. And also, through previous researches, the study considered using the diagram in the progress of problem-solving divided as aspect of cognitive tool and analytical tool. Secondly, N-IDEAL problem-solving model was designed for the students who had difficulty solving problem to solve mathematical word problem structurally. It guided the students who had difficulty setting up equation in the progress of solving mathematical word problem to set up equation by using the diagram in the progress of searching other solving strategy. Some students who had difficulty setting up equation didn’t use the diagram well, so to let them make various efforts to set up equation, the study suggested N-IDEAL problem-solving model to make the students represent proper equation. Thirdly, The semiosis that appeared in each steps of N-IDEAL problem-solving model was analyzed semiotically. The study analyzed a series of the progress that interpreting the problem and representing as equation or diagram, and grasped difficulty of the students and checked closely what difficulty the students had individually in problem-solving and then identified them to get over difficulty. In this study, focusing that the students who had difficulty in the process of problem-solving used the diagram to solve the problem structurally, the study examined how they used the diagram and suggested the problem-solving model to help them solve the problem structurally, and added the semiosis that appeared in each steps of model and then analyzed a series of the progresses that appeared when the students solve the problem. Futhermore, analyzing the progress of problem-solving, the study checked what difficulty the students had in the progress of problem-solving. Through this, to resolve this problem, the students create a diagram to solve the problem by taking advantage of the ability to set up equation so equip teachers or mathematics educators suggest that the efforts will be required.;현대사회를 살아가는 우리나라 학생들은 학습에 할애하는 시간이 상당히 많다. 이들은 상급학교 진학을 위해서 혹은 상급학교에 진학한 이후에도 좋은 성적을 얻기 위하여, 수학 문제를 보다 정확하게 풀기 위하여 훈련을 한다. 그렇기 때문에 학생들은 문제에 반영된 수학적 지식의 참된 의미와 유용성을 이해한 후 문제의 구조를 파악하여 문제를 해결하려는 것이 아니라, 단순하게 문제를 해결하고 해결한 문제의 결과가 옳은지만 확인하고, 문제의 해결 과정을 알고리즘화 하여 훈련하는 실정이다. 또한 학생들에게 주어진 교육 환경의 측면에 대하여 교사나 수학교육자들은 수학적 지식의 의미 파악과 문제를 구조적으로 해결할 수 있도록 안내하는 것이 어렵다고 말한다. 즉, 교사나 수학교육자들은 이러한 현실적인 어려움에 부딪혀 학생들이 어려움을 느끼는 문제를 구조적으로 해결할 수 있도록 안내하는 것이 쉽지 않다고 말한다. 학교수학에서 문제를 해결한다는 것은 그 문제에 내포된 수학적 개념을 파악하고 그 개념을 적용시킬 수 있는 문제해결 전략을 선택하여 체계적인 과정을 수행하는 것이다. 이에 학습자가 문제를 구조적으로 인식하고, 그 과정에서 수학적 지식의 의미를 구성하여 원활하게 문제를 해결할 수 있는 방안을 마련하는 것이 필요하다. 더욱이 학생들은 문장제를 해결하면서 많은 수학적 표현을 활용하는데, 이때 문제를 해결하는데 어려움을 겪는 학생들은 문제에 어떻게 접근해야 할지 모르는 경우가 있다. 이들에게는 식을 세워서 문제를 쉽게 해결하는 방법을 알려주는 것도 좋겠지만, 식을 세우는 것을 어려워하는 경우, 문제를 해결할 수 있는 다른 대안을 탐색할 수 있도록 안내하는 것이 더욱 필요할 것이다. 따라서 문제를 해결하는 과정에서 식을 세우는 것을 어려워하는 학생들에게 식을 잘 세울 수 있도록 다이어그램을 활용하는 전략을 명시적으로 안내하는 문제해결 모형을 만들어 제시하는 것이 필요하다. 또한 다이어그램을 활용하여 문제를 해결한 학생들이 문제해결 과정의 각 단계에서 어떠한 사고 과정을 통해 문제를 해결하였는지, 어떠한 부분에서 어려움을 겪어 문제를 원활하게 해결하지 못하였는지 등 그 과정을 구체적으로 확인할 필요가 있다. 그러기 위해서는 학생들의 문제해결 과정을 상세하게 분석할 수 있는 방법이 필요하며 본 연구에서는 그 방법의 일환으로 기호학적 분석 방법을 본 연구의 의도에 맞게 변형시켜 활용하였다. 이러한 분석을 통해 학생들이 문장제를 해결하는데 어려움을 겪지 않도록 본 연구에서는 문장제를 해결하는 과정에서 식을 작성하는 것에 어려움을 느끼는 학생들에게 다이어그램을 활용하여 문제를 구조적으로 파악한 후, 원활하게 문제를 해결할 수 있는 구체적인 방안을 마련해주고자 한다. 이에 본 연구는 세 가지 연구 문제를 설정하였다. 연구 문제 1. 문장제 해결에 어려움을 겪는 학생들은 문장제 해결을 위한 식을 세우는 데 다이어그램을 어떻게 활용하고 있는가? 연구 문제 2. 문장제 해결에 어려움을 겪는 학생들이 문장제를 구조적으로 파악하고 해결할 수 있는 문제해결 모형은 무엇인가? 연구 문제 3. 본 연구에서 고안한 문제해결 모형을 통해 학생들이 다이어그램을 활용하여 문장제를 해결하는 과정에 대한 기호학적 분석이 시사하는 바가 무엇인가? 이상의 연구 문제를 해결하기 위한 방법은 다음과 같다. 첫 번째 연구 문제를 해결하기 위하여 문헌 연구를 통해 범주화한 다이어그램의 유형을 토대로 사전 목록에 의한 코딩 방법을 사용한 후, 86~100명의 학생들이 문장제를 해결하면서 다이어그램을 어떻게 활용하는지 그 양상을 살펴보았다. 이를 바탕으로 두 번째 연구 문제를 해결하기 위하여 문제해결 과정과 관련된 선행 연구들과 Bransford와 Stein(1984)의 IDEAL 모형을 비교, 분석하여 N-IDEAL 모형을 고안하였다. 나아가 세 번째 연구 문제를 해결하기 위하여, 두 번째 연구 문제로부터 얻은 문제해결 모형인 N-IDEAL 문제해결 모형을 적용시켜 기호학적으로 학생들의 문제해결 과정을 분석하기 위하여 본 연구자가 다이어그램을 활용하는 것에 대하여 긍정적으로 생각하는 3명의 학생을 의도된 표집 방법으로 추출하였다. 2007 개정 교육과정에 따른 4종 교과서의 연습문제와 종합문제 중에서 선택하여 일부 수정한 3개의 과제를 중심으로 이들의 문제해결 과정을 면밀히 분석하기 위해 면담을 진행하는 등 사례 연구 방법을 택하였다. 본 연구 문제에 따른 연구 결과 및 결론을 간략히 요약하면 다음과 같다. 첫 번째 연구 문제의 결과를 살펴보면, 문제해결에 어려움을 겪은 학생들은 식을 작성하는데 많은 시행착오를 경험하며 문제해결 과정을 포기하는 학생들도 있지만, 문제를 해결하기 위한 식을 세우기 위하여 다이어그램을 활용하여 문제의 구조를 파악하고자 노력하는 학생들도 있었다. 이때 다이어그램을 인지적 ․ 분석적 도구의 측면에서 활용하는데, 다이어그램 활용이 미숙하거나 다이어그램을 잘 그렸지만 이를 활용하여 식을 세우는 것에 실패하는 경우도 있었다. 또한 검사 과제별로 학생들의 다이어그램 활용 양상에 차이가 있었다. 두 번째 연구 문제의 결과를 살펴보면, 본 연구에 알맞도록 문제해결 과정에서 문제를 구조적으로 파악하는 것과 다이어그램을 활용하는 것을 강조한 N-IDEAL 모형을 고안하였다. 각 단계의 명칭과 기대되는 문제해결 행동을 방정식 ․ 부등식 활용에 알맞게 제시하였고, 문장제를 해결하면서 식을 세우기 어려운 경우 문제해결 과정을 포기하지 않고, 다이어그램 활용이라는 다른 해결 전략을 탐색하는 과정을 추가하여 구조적으로 문제를 해결할 수 있는 N-IDEAL 문제해결 모형을 설계하였다. 또한 이 모형에 학생들의 문제해결 과정을 각 단계별 문제해결 행동과 기호화 과정 그리고 전체적인 문제해결 과정을 도식화하고 기호화 과정에 대한 코드를 부여하여 기호학적으로 분석하였으며, 학생들이 문제를 구조적으로 해결할 수 있도록 도움을 주고자 학생들이 겪는 어려움을 파악하였다. 세 번째 연구 문제의 결과를 살펴보면, 앞서 두 번째 연구 문제로부터 얻은 문제해결 모형을 3명의 사례 연구 대상자들에게 적용시켰다. 대부분 대상체에서 해석체로 이행되는 과정에서 어려움을 겪은 학생은 표현체까지 도달하는데 어려움을 겪었으며, 대상체에서 해석체로의 과정이 원활하게 이행되었더라도 표현체에 도달하는 과정은 식이나 다이어그램과 같은 구조 표현 도식을 활용해야 하므로 이 과정 또한 어려워하는 학생들이 종종 있었다. 각 과제별로 학생들이 나타낸 미흡한 부분이 다르며 학생들마다 어려움을 느끼는 부분이 같지 않았다. 또한 맞춤형 수학학습을 강조하는 최근의 교육과정에 부합하여 학생들의 문제해결 과정을 기호학적으로 분석한 결과를 토대로 학생들이 어려움을 겪은 부분이 무엇인지 파악하고 이후에 문제를 해결할 때 같은 어려움을 느끼지 않도록 방안을 제시할 수 있었다. 이상의 연구결과를 종합하여 볼 때, 본 연구는 다음과 같은 의의를 갖는다. 첫째, 학교수학에서 활용되는 다이어그램에 대하여 살펴보았다. 다이어그램을 ‘그림(picture)이나 그리기(drawing)와는 달리, 문제와 개념의 구조에 대한 기하적 표현을 의미하는 시각적 참조물(또는 도구)이다.’로 정의하고, 매트릭스, 네트워크, 계층, part-whole(부분-전체) 다이어그램 등 4가지 다이어그램 유형을 소개하였다. 또한 선행 연구를 통해 문제해결 과정에서 다이어그램을 활용하는 것에 대하여 인지적 도구의 측면, 분석적 도구의 측면으로 나누어 고려할 수 있었다. 둘째, 문장제 해결에 어려움을 겪는 학생들이 문장제를 구조적으로 해결할 수 있도록 N-IDEAL 문제해결 모형을 설계하였다. 문장제를 해결하는 과정에서 식을 세우는 데 어려움을 겪는 학생들에게 문제해결을 위한 식을 세울 수 있도록 다른 해결 전략을 탐색하는 과정에서 다이어그램을 활용하도록 안내하였다. 식을 세우는 데 어려움을 겪은 일부 학생들은 다이어그램을 잘 활용하지는 못하였지만, 학생들이 식을 잘 세울 수 있도록 N-IDEAL 문제해결 모형을 제시하였다. 셋째, N-IDEAL 문제해결 모형의 각 단계에서 나타나는 기호화 과정을 기호학적으로 분석하였다. 문장제를 해결하는 과정에서 문제를 해석하고 식이나 다이어그램으로 표현하는 일련의 과정을 분석하여 분석 과정 중에 학생들이 보여준 어려움을 파악하고, 그 학생들에게 개별적으로 문제해결에 어떠한 어려움을 느꼈는지 그 원인을 면밀히 확인하였다. 본 연구에서는 문제해결 과정에서 어려움을 겪는 학생들이 문제를 구조적으로 해결할 수 있도록 다이어그램을 활용하는데 초점을 두고, 학생들이 다이어그램을 어떻게 활용하는지 그 양상을 살펴보았으며, 문제해결에 어려움을 느끼는 학생들에게 문제를 구조적으로 해결할 수 있도록 도움을 주는 문제해결 모형을 제시하고 이 모형의 각 단계에서 나타나는 기호화 과정을 추가하여, 문제해결 시 학생들의 머릿속에서 일어나는 일련의 과정들을 분석하였다. 나아가 학생들의 문제해결 과정을 분석하여 학생들이 문제해결 과정에서 겪는 어려움이 무엇인지 알아보았다. 이를 통해 학생들이 문제를 해결하면서 생성했던 다이어그램을 활용하여 문제해결을 위한 식을 세우는 능력을 갖출 수 있도록 교사나 수학교육자들의 노력이 요구됨을 시사한다.