초등학교 수학교실에서 나타나는 사회수학적 규범의 형성과 교사의 수학적 신념 연구

Abstract

2007 개정 수학교육과정에서는 학생들은 수학 수업에서 동료들과 함께 사고하고 협동하여 문제를 풀며 자신의 생각을 설득력 있게 설명하고, 다른 사람의 생각을 경청하며 이해하여 활발한 토론을 해 봄으로써 학습 주제에 대해 더 깊이 이해하고 자신의 사고를 명확히 하며 세련되게 발전시켜갈 수 있어야 한다고 언급하였다. 그러나 2007 개정 수학교육과정에 따른 수업을 분석한 연구자들은 자신들이 관찰한 수학수업이 여전히 교과서와 교사중심의 수업이라고 언급했다(강흥규 외, 2010; 김상룡, 2012; 홍선주 외, 2009). 또한 Kamii와 Joseph(2004)은 전통적인 체제의 수학교과서로는 구성주의를 지지하는 교실문화를 형성할 수 없다고 하였다. 이에 대한 대안으로 사회문화적 관점에서 학생들의 적극적 참여와 상호작용이 이루어지는 수학교실문화를 고려해볼 수 있다. Wood와 Seller(1996)는 학생들이 협동에 의한 상호작용이 권장되는 수학 교실에서 전통적인 수업으로 수학을 배우는 것보다 더 잘 이해하며 사고력도 신장된다고 하였다. Silver(1994)는 수학교실이 수학적 아이디어에 대한 의사소통이 풍부하게 일어나는 곳이어야 한다고 언급했다. 즉 수학교실은 질문과 논의를 통하여 다양한 아이디어가 교환될 수 있는 교실문화가 조성된 곳이어야 한다(박성선, 2004). 이러한 수학교실문화를 들여다보고 설명하기 위해 Cobb과 Yackel(1996)은 교실사회규범과 사회수학적 규범을 소개하였다. 수학적인 의사소통을 가능하게 하는 수학교실에서 이러한 사회수학적 규범의 형성은 교실 수준에서 수학교육의 질 향상에 많은 도움이 된다(송경화․임재훈, 2007). 그러나 교실사회규범과 사회수학적 규범에 관한 선행연구는 규범을 이루는 특정한 예나 구성요소가 사례를 통해 단편적으로 소개되어 나열되는 수준에서 그치는 경우가 많았다(김효미, 2009; 박성선, 2007; 방정숙, 2001a, 2001b, 2002a, 2004; 송경화·조완영, 2006; 조영미, 2002; McClain & Cobb, 2001; Yackel, 2001). 이에 따라 초등 수학 시간에 교사와 학생들에 의해 형성되어, 다양한 규범이 나타나는 수학 수업에서, 상호작용을 통해 교실사회규범과 사회수학적 규범이 어떻게 형성되는지 교실 현장에 기초하여 상세하게 살펴보려는 노력이 필요하다고 볼 수 있다. 이에 본 연구는 초등학교 수학교실에서 나타나는 교실사회규범, 사회수학적 규범의 형성을 알아보고, 독특하게 수학 교과에서 볼 수 있는 사회수학적 규범의 형성에 있어서 교사의 수학적 신념이 관련되는지 살펴보는 것을 목적으로 하였다. 본 연구의 구체적인 연구문제는 다음과 같다. 1. 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타난 두 가지 규범(교실사회규범, 사회수학적 규범)의 어떻게 형성되었는가? 1-1. 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타난 교실사회규범은 어떻게 형성되었는가? 1-2. 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타난 사회수학적 규범은 어떻게 형성되었는가? 2. 초등학교 수학교실에서 사회수학적 규범이 형성되는 데 있어서 두 교사의 수학적 신념은 어떻게 관련되었는가? 2-1. 초등학교 두 교사의 수학적 신념은 어떠하였는가? 2-2. 초등학교 두 교사의 수학적 신념과 교실에서 나타난 사회수학적 규범은 어떻게 관련되었는가? 본 논문에서는 다음의 절차에 따라 연구를 수행하였다. 첫째 초등학교 수업에서 나타나는 교실사회규범, 사회수학적 규범의 특징과 관련된 선행연구를 검토하였다. 둘째 서울시에 소재한 초등학교 중에서 두 개 학교를 선정하여 4학년 두 개 학급에서 1학기 6차시, 2학기 7차시 각각 13차시 수학수업을 관찰하였다. 셋째 수학교실문화의 교실사회규범을 <표 Ⅲ-10>의 코딩스킴에 따라, 사회수학적 규범을 <표 Ⅲ-13>의 코딩스킴에 따라 사례연구로 살펴보았고 1차시에서 13차시까지 차시별로 수업을 분석하였다. 또한 교사 면담 및 학생 인터뷰를 실시했다. 넷째 초등학교 4학년 수학교실의 사회수학적 규범과 교사의 수학적 신념에 대한 시사점을 수업 관찰 및 K교사, P교사와 인터뷰를 통해 TEDS-M(2008)의 분석틀에 의거해서 도출하였다. 연구문제 1에 대한 결과로서, 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타나는 교실사회규범과 사회수학적 규범의 형성에 대해서 비슷한 점도 있었으나, 교사가 수업 상황에서 교수·학습 및 구체적으로 수업의 목표, 내용, 방법에 대해 교실사회규범, 사회수학적 규범 등에서 어떤 유형과 의미를 선택하여 수업하느냐에 따라서 초등학교 교실의 전반적인 학습 분위기, 교사와 학생의 상호작용 패턴, 규범에 의한 수학활동의 모습이 달라졌다. 연구문제 1-1에 대한 결과로서 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타나는 교실사회규범은 ‘학생들의 해결방법을 설명하고 정당화하기(EJ)’, ‘다른 사람의 설명을 듣고 이해하기(LM)’, ‘동의나 반대 나타내기(IA)’, ‘다른 학생의 설명을 들을 때 이해되지 않는 것을 질문하여 표현하기(AU)’, ‘조 점수’, ‘수신호’, ‘주의집중 구호’ 규범으로 사례를 통해 볼 수 있었다. 학생의 EJ 규범이 P교사의 교실에서 나타나는 것보다 높았고, 전반적으로 연구 후반으로 갈수록 학생들의 IA 규범이 나타나는 빈도가 높아졌는데, 이는 학생들이 해결방법을 설명하고 교사나 동료의 문제해결전략이 이해되지 않을 때 자율적으로 질문하여 표현할 수 있는 분위기 즉 수학적 의견을 자발적으로 표현할 수 있는 환경이 좀 더 점진적으로 조성되었다고 할 수 있다. P교실에서 P교사의 EJ 규범은 학생보다, K교사보다 많이 나타났고 학생은 LM, AU 규범은 전반적으로 높은 빈도를 나타냈다. 또한 교사는 말하고 학생은 들으며, 또다시 교사는 말하고 학생은 듣는 패턴이 보였으며, P교사의 교실에서 학생들이 수학적 아이디어를 나타낼 때 반드시 손을 들고 교사가 지목을 하면 발표할 수 있었다. 즉 학생들의 수학적 의견 교환에 있어 다소 수동적인 분위기가 형성되었다고 볼 수 있다. 연구문제 1-2에 대한 결과로서 초등학교 두 교사의 수학교실에서 나타나는 사회수학적 규범은 ‘수용가능한 수학적 설명(AE)’, ‘수학적 차이점(MD)’, ‘수학적으로 쉽다/어렵다(EC)’, ‘수학적 효율성(ME)’으로 수학 교과에 반복적인 교사와 학생의 상호작용 패턴이 나타났다. K교사의 수학 수업 마지막 차시에서 MI가 한번 보였다. 이는 초등 수준에서 기본적인 수학적 개념, 원리를 다루기 때문이라고 볼 수 있다. 또한 K교사가 교실사회규범의 AE, EJ 규범에서 전반적으로 안정적인 빈도를 보였다. 교실사회규범에서 살펴보았듯이 개방적이고 역동적인 학습 분위기 아래에서 학생의 AE, 교사와 학생의 MD, ME, ED 규범의 빈도는 점차 높아졌다고 볼 수 있다. 또한 P교사의 수학교실도 교사와 학생의 AE가 나타나는 빈도가 안정적이었다고 볼 수 있다. 사회수학적 규범의 의미에 대해서 K교사, P교사의 수학교실에서 AE는 교사나 교과서의 권위에 대한 판단, 논리적 설명, MD는 다양한 문제해결방법으로 공통적으로 이해되었다. K교사의 교실에서 ME는 문제해결에 사용되는 숫자를 작게 하는 것이고 P교사의 교실에서 ME는 문제해결에 사용되는 숫자를 작게, 과정을 적게 하는 것을 의미했다. 연구문제 2에 관해서 교사의 수학적 신념이 매순간 수학 수업에서 의사결정에 반영되고, 이것은 실제 수업의 흐름, 수학적 개념이나 원리, 가르치는 방법의 전반에 걸쳐 영향을 주어 교사와 학생 사이에서 나타나는 사회수학적 규범이 형성되는 과정에서도 교사의 수학적 신념이 관련되었다. 연구문제 2-1에 대한 결과로서, K교사는 수학의 본질에 대한 여러 가지 신념들 중에서 수학은 논리적 사고가 필요하다는 형식적 관점과, 수학 문제는 다양한 방법으로 해결될 수 있다는 절차적 관점을 강하게 드러냈다. P교사는 수학의 본질에 대한 여러 가지 신념들 중에서 수학은 논리적이라는 형식적 관점과 수학은 일상생활의 문제를 해결하는데 유용하다는 응용적 관점을 강하게 보였다. 연구문제 2-2에 대한 결과로서, K교사의 형식적 관점은 AE의 논리적 정당화와 관련되어 교사는 학생들이 해결방법을 찾도록 격려해야 한다는 신념으로 이어졌다. 또한 AE의 알고리즘 진술과 관련되어 학생들은 교사의 설명을 주의 깊게 들음으로써 수학을 배운다는 신념과 연결되었다. 형식적 관점은 MD의 다양한 문제해결방법과 연결되었고, AE의 논리적 정당화는 MD와 연관되어, 수학 문제는 논리적 해결방법이 다양하다는 신념과 관련되었다. AE의 논리적 정당화에서 수학적 설명은 문제에 대한 탐구과정을 경험하게 되면서 일반화의 MI가 나타났다고 할 수 있다. 절차적 관점은 MD와 연결되어 실생활 문제가 다양한 방식으로 해결될 수 있다는 신념과 이어졌다. MD에서 어떤 해결방법이 수학 문제에 왜 효과가 있는지 연구하는데 쓴 시간이 가치 있다고 보면서 ME에서 문제해결에 사용되는 숫자를 간단히 하는 것이 효율적이라는 신념과 관련되었다. P교사의 형식적 관점은 AE에서 교사, 교과서의 권위에 대한 판단과 논리적 설명 등 두 가지 의미와 연결되었다. 답의 판단은 교사, 교과서가 한다는 신념과 교사나 교과서의 권위에 대한 확인으로 이어졌다. 또한 학생은 논리적 수학을 정당화할 수 있다는 신념은 논리적 설명이라는 AE의 의미로 이어졌다. AE의 교사, 교과서 권위에 대한 확인은, 수학을 잘 하려면 문제를 빨리 풀어야 한다는 신념과 함께 ME에서 문제해결에 사용되는 숫자를 적게 만드는 것이 효율적이라는 의미와 이어졌다. 형식적 관점은 수학 문제가 논리적 해결방법이 다양하다는 신념과 함께 MD에서 새로운 전략은 문제해결의 또다른 방법이라는 의미와 연결되었다. MD에서 다양한 문제해결전략 중 쉽고 간단한 것을 선택한다는 신념과 연결되어 ME에서 문제해결에 사용되는 과정을 간단하게 만드는 것이 효율적이라는 의미와 관련되었다. 이와 같은 연구 결과들을 바탕으로 다음과 같은 점들을 논의할 수 있다. 교사가 가지는 수학적 신념을 바탕으로 교실에서 사회수학적 규범의 형성을 살펴볼 수 있었다. Cobb과 연구팀들(Bowers, Cobb, & McClain, 1999; Cobb & Bowers, 1999; Cobb, Stephan, McClain, & Gravemeiger, 2011; Cobb & Yackel, 1996; McClain & Cobb, 2001; Yackel, 2001)은 교사가 교실사회규범이나 사회수학적 규범이 어떻게 수학수업에서 형성되는지를 직접적으로 제시하지 않고 학생들이 수학적 설명, 의미, 차이점, 효율성 등을 협상하도록 함으로써 학생 스스로 규범을 형성하도록 격려했다. 이에 비해 본 연구에서는 교사가 가지는 수학적 신념을 바탕으로 의사결정하여 생각한 바를 규범으로 형성하는 것을 살펴볼 수 있었다. 즉 초등학교 수학교실에서 나타나는 두 가지 규범 즉 교실사회규범과 사회수학적 규범을 형성하는데 있어서 교사의 역할에 대해 보다 세심한 논의가 필요하다. 초등학교 수학교실에서 상호작용의 패턴, 교실활동의 규칙을 의미하는 교실사회규범 중에서 국내외 이론적 고찰에서 언급되지 않았던 규범들을 볼 수 있었다. K교사, P교사의 교실 모두 학생 수가 30명이 넘었는데, OECD 교육지표(2011)에서 언급한 우리나라 평균 학급당 학생 수 21.2명보다 많은 다인수학급에서 교사가 ‘조 점수’, ‘수신호’, ‘주의집중 구호’를 통해 원활하게 수업을 진행하기 위함으로 보여 진다. 교사들의 사후인터뷰에서도 언급되었듯이 수학적 아이디어를 표현하고 공유할 수 있도록 다양한 사회수학적 규범의 형성에 대해 논의할 필요가 있다. 본 연구 결과를 기초로 교육 환경의 개선을 통해 교육 현장에서 실제 적용하기 위해 살펴본 한계점과 후속연구에 대한 제언은 다음과 같다. 수학교실문화를 구성하는 세 가지 측면 중 교실사회규범, 사회수학적 규범 이외의 수학적 실행을 보다 심층적으로 분석하는 후속연구가 필요하다. 또한 수학교실에서 나타나는 사회수학적 신념이 형성되는 데 있어 교사의 수학적 신념 외 또 다른 요인 즉 학생들의 수학적 신념 및 다양한 특성에 관한 연구가 필요하다. 수학교실에서 사회수학적 신념이 형성되는 데 있어 교사가 가지고 있는 수학적 신념 외, 교사의 지식 즉 교사의 교과 내용 지식, 교수학적 지식 요인에 관한 연구를 고려하는 후속연구가 필요하다. 그리고 교실사회규범, 사회수학적 규범이 포함된 발문유형이나 수업진행 방법이 수록된 자료집을 제공하는 연구를 제안하고자 한다. 또한 초등학교 교실에서 수학교실문화에 대한 장기적인 연구가 필요하다.;There has been an increasing concern of how mathematical idea indicates and shares in a way to promote students’ mathematical development. Such ideas highlighting need of the culture of mathematics classroom in mathematical education. The culture of mathematics classroom was constructed classroom social norms, sociomathematical norms, and classroom mathematical practics. This paper explores how sociomathematical norms were constructed in the two elementary mathematics classrooms. Also this paper deals with constructing of sociomathematical norms and teachers’ beliefs which can be used in classroom mathematical culture. This paper first reviews the theoretical foundations of the construct such as emergent perspectives and symbolic interactionism. This paper first provides a theoretical foundations and practical foundations of sociomathematical norms in mathematics classroom microculture. And researcher flows classroom social norms, sociomathematical norms, and classroom mathematical practice in order to explore how the students have established sociomathematical norms and the teachers’ mathematical beliefs. This paper describes the actual classroom contexts in which classroom social norms, sociomathematical norms and classroom mathematical practices were originally identified. They evolved out of a classroom teaching experiment in which Cobb and his colleagues attempted to account for students’ mathematical learning as it occurred in the social context of an mathematics classroom. This paper describes the actual classroom context. This paper was situated at 4th urban elementary school students. This paper examined classroom social norms, sociomathematical norms of two forth-grade classrooms. This study is an qualitative case study. Primary data sources were classroom observation, video recording, transcripts, document collection, and interviews with the teachers and the students. Their classrooms orchestrated individual, small group or whole group discussion. The data were analyzed by characterizing classroom social norms, sociomathematical norms and exploring the teachers’ beliefs in the mathematics classroom. Three elementary mathematics classroom was analyzed to understand their own classroom social norms, sociomathematical norms through 26 classroom episodes. A study over one years in detail explore classroom contexts and teacher-student performance. The research findings on classroom social norms, sociomathematical norms were as follows. There were four classroom social norms. It was four types of classroom social norms. It was explaining and justifying solutions, listening to and making sense of explanations given by others, indicating agreement and disagreement, asking a clarifying if an explanation is unclear. There were five different types of sociomathematical norms. It was acceptable Explanations, mathematical difference, mathematical easiness/complication, mathematical effectiveness, and mathematical insight which can support meaningful mathematical discourse. The students can explore their mathematical idea, communication with other students and then elaborate their own thinking, solving methods. Teachers asked to students to Explanations their own idea and justify why they think those strategies. And they continuously pressed the students to think their own idea and strategies. The beliefs of the teachers and learning in Mathematics in related with culture of mathematics classroom especially sociomathematical norms. The teacher has mathematical beliefs on teaching and learning. The beliefs of teachers is important to make desirable culture of mathematics classroom. So this paper suggested the teachers’ beliefs in the microculture of mathematics classroom. Teachers try classroom discourse activity to nurture students’ development toward mathematical ways of thinking and communicating as well as their understanding of mathematical concepts. By growing an elementary teachers’ mathematical teaching and learning beliefs in their classroom episodes, students can have a lot of opportunities to develop conceptual understanding. It would search for sociomathematical norms which affects to teachers’ mathematical beliefs on teaching and learning in microculture of mathematical classroom. Recently higher discussion are made up on the culture of mathematics classrooms. These discussion are mostly about desirable microculture in mathematics education. This paper is to offer a views point of seeing the microculture of mathematics classroom. This paper recommend classroom social norms, sociomathematical norms to explanations classroom microculture. It was apparent from this study that sociomathematical norms are an important construct reflecting the quality of students’ mathematical engagement in Mathematics class. This paper suggests the possibility of positioning the sociomathematical norms construct as more fostering the quality of students’ mathematical engagement in mathematical discourse activity. This notion reflects the fact that the construct to sociomathematical norms is intended to capture the essence of the mathematical classroom microculture. The notion also allows us to see teachers’ beliefs as promoting sociomathematical norms in mathematics classroom.