Polya의 문제해결 4단계에 따른 발문 및 권고가 학생들의 문제해결 과정에 작용하는 변화 분석

Abstract

In math education, enhancement of problem-solving competence has been emphasized in both 2007 and 2009 revised curriculum as stated specifically as for the aim, instruction-learning method and evaluation of the math subject. Enhancement of problem-solving competence may be promoted by a process students solve a problem directly and teachers have to give aid to their enhancement of problem-solving competence through encouragement when they have difficulty in such a process. Polya(1957) asserted that problem-solving competence may be expanded through a process to consider and examine such a process and its result, and reflect on whether a problem was solved completely. So, he suggested questioning and recommendation by a teacher fitting for each step of the problem-solving. This study aims at examining about a change of students' problem-solving process occurred when a teacher provides them with questioning and recommendation according to Polya's 4 problem-solving steps. So, for achieving such a purpose, research topics were set as follows. 1. What change is there for students' problem-solving process when a teacher offers questioning and recommendation fitting for the problem-solving situation according to Polya's 4 problem-solving steps? 2. What effect of teacher's questioning and recommendation on individual students' problem-solving process? For the research aim, case study was conducted for 8 high school 1st graders, located at Gyeonggi-Do. Prior to the regular test, 5 times' preliminary test was done for 24 students, and the regular was conducted after correcting and completing a worksheet through the preliminary test. The regular test was administered 8 times and the final analysis was done for 8 students who weren't absent during 8 sessions. This study used a worksheet produced by a teacher. Also, questioning and recommendation fitting for the problem-solving situation were provided after analysing students' problem-solving process through worksheets they submitted. Problem-solving cases were divided into the ones completed and not completed. Cases failed in problem-solving were divided into ones a problem was not understood and error occurred at the steps of planing or implementing a plan. Cases succeeding in problem-solving were divided into ones right or wrong answer was gotten, offering adequate questioning and recommendation according to the problem-solving situation. Furthermore, this study analyzed what change teacher's questioning and recommendation may cause to individual students' problem-solving process. So, conclusions were derived as follows. Firstly, classification of problem-solving situations showed that students have difficulty in charting a problem condition on a graph or a figure in case of not understanding a problem. They also had difficulty in establishing an expression while seeing the graph. So, questioning or recommendation, making them read a problem and show on a graph or a figure, was provided continually. As the result, students who couldn't draw a graph with fewer items an expression was established came to see increase of items they could solve using a graph or a figure. Through the whole problem-solving process, it's regarded that teacher's continual questioning and recommendation for understanding were proven to be helpful. In the case error occurred at the steps of planing or implementing a plan or wrong answer was gotten, teacher provided students with continual questioning and recommendation in order for them to check the solving process and correct the error by themselves. As the result, students could solve the problem again through finding out a misconception or a clue for solving, showing a tendency increasingly that they can solve a problem through correcting the misconception with fewer errors. Through the whole problem-solving process, it's thought that teacher's continual questioning and recommendation are helpful for their error finding at the steps of planing or implementing a plan. In case of completing a problem-solving process and getting a right answer, most students didn't feel the need to resolve or frame related knowledge but reached the reflection step through teacher's questioning and recommendation. They had difficulty in reaching such a step by themselves. However, it showed that teacher's continual questioning and recommendation were beneficial, including about whether it is possible to solve alternatively, find out an answer of a similar other problem, frame and expand related concepts. Secondly, as the result of analyzing a change by teacher's questioning and recommendation on individual students' problem-solving process, it showed that teacher's constant questioning and recommendation make students participate in the whole process initiatively with increased items they can solve for themselves. Students who couldn't chart a problem condition on a graph or a figure came to see increase of items they could as time passed. In addition, it showed increasingly decreased errors by students who committed many errors owing to mistakes in their calculations at the steps of planing or implementing a plan. Even in the case of students it was uncertain whether teacher's questioning and recommendation had a great effect, it was possible to identify their problematic step, or problem-understanding, planning or implementing step in the problem-solving process. So, their vulnerable parts needing for more instruction could be identified. Accordingly, it's regarded that using learning materials considering student's vulnerability will be beneficial along with teacher's ongoing questioning and recommendation. Based on the analytic findings of this study, it's expected that it will have a positive effect on students' problem-solving process if teacher gives questioning and recommendation according to Polya's 4 steps considering their problem-solving process. Also, it will give aid to guidance to identify students' vulnerable step and consider parts to be complemented. This study was conducted for 8 high school 1st graders with a view to analyzing what change students have in their problem-solving process when teacher provides them with questioning and recommendation according to Polya's 4 steps. As the limited research, it has difficulty in generalizing. Therefore, this study gives several suggestions for follow-up studies to supplement its limitations. Firstly, this study was done for 8 high school 1st graders in the lower under ability-based class, getting significant findings. However, research is required to identify the positive effect on students in the average and higher classes. Secondly, this study was conducted for the problem-solving process only including quadratic, rational and irrational functions, so mainly using questioning and recommendation to draw a graph and establish a resulting expression. So, research is required to identify the positive effect of teacher's questioning and recommendation on students' problem-solving process in situations to solve different types of problems or in learning requiring for other competence including conceptual learning. Thirdly, it's thought that instruction through questioning and recommendation will have a greater effect when matching with other learning materials, for instance, instructional material attracting interest, worksheet considering students' level and vulnerability than when functioning independently. Therefore, research is needed for various instructional materials to maximize the effect along with teacher's questioning and recommendation.;수학교육에서 문재해결 능력의 신장은 2007 개정 수학과 교육과정에 이어 2009개정 수학과 교육과정에서도 수학과 목표에서 뿐만 아니라 교수-학습 방법, 평가에서도 구체적으로 명시되어 있을 만큼 수학 교육에서 중요하게 다루어지고 있다. 문제해결 능력의 신장은 학생들이 실제로 문제를 해결해 나가는 과정 속에서 촉진될 수 있으며, 교사는 학생들이 문제를 해결해 나가는 과정 속에서 어려움을 겪을 때 도움을 제공해 주고 격려해 줌으로써 학생 스스로 문제해결력을 신장시킬 수 있도록 해주어야 한다. Polya(1957)는 문제를 해결하는 과정과 결과에 대해 생각해보고, 검토하고. 완벽하게 문제가 해결되었는지 반성해 보는 과정을 통해 문제해결력을 신장시킬 수 있다고 주장하였으며, 이를 위해 문제해결의 각 단계에서 적절한 교사의 발문 및 권고를 제시하였다. 본 연구는 교사가 Polya의 문제해결 4단계에 따른 발문 및 권고를 제공하였을 때 학생들의 문제해결 과정에 작용하는 변화를 알아보는데 그 목적이 있으며, 이러한 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 교사가 Polya의 문제해결 4단계에 맞춰 문제해결 상황에 적절한 발문 및 권고를 제공하였을 때, 학생들의 문제해결 과정에 작용하는 변화는 어떠한가? 2. 교사의 발문 및 권고가 학생 개개인의 문제해결 과정에 작용하는 변화는 어떠한가? 본 연구의 목적을 달성하기 위해 경기도 소재의 고등학교 1학년 학생 8명을 대상으로 사례연구를 실시하였다. 본검사를 시작하기에 앞서 학생 24명을 대상으로 총 5차시에 걸쳐 예비검사를 실시하였으며, 예비검사를 통해 학습지를 수정 및 완성한 후 본 검사를 실시하였다. 본검사는 총 8차시에 걸쳐 실시하였고 8차시 동안 결시가 없는 학생 8명을 대상으로 최종 분석하였다. 본 연구는 교사가 직접 제작한 학습지를 사용하였으며, 학생들로부터 제출받은 학습지를 통해 학생들의 문제해결 과정을 분석한 뒤 문제해결 상황별로 적절한 발문 및 권고를 제공하였다. 문제해결 상황은 문제해결을 완성한 경우와 문제해결을 완성하지 못한 경우로 분류하였으며, 문제해결을 완성하지 못한 경우는 문제를 이해하지 못한 경우와 계획수립 또는 계획실행 단계에서 오류가 발생한 경우로 분류하였다. 문제해결을 완성한 경우는 답을 틀리게 구한경우와 답을 옳게 구한 경우로 분류하였으며, 문제해결 상황별로 적절한 발문 및 권고를 제공하였다. 또한 교사의 발문 및 권고가 학생 개개인의 문제해결 과정에 작용하는 변화는 무엇인지 분석하였고 그 결과 다음과 같은 결론을 내릴 수 있었다. 첫째, 문제해결 상황을 분류하여 살펴보면 문제를 이해하지 못한 경우에는 문제의 조건을 그래프와 그림으로 나타내는데 어려움을 겪었으며, 그래프를 보고 구체적인 식을 세우는 것에서도 어려움을 겪는 것을 발견할 수 있었다. 따라서 문제를 읽고 그래프와 식으로 나타내도록 하는 발문이나 권고를 지속해서 제공하였다. 그 결과, 처음에는 스스로 그래프를 그리거나 식을 세울 수 있는 문항이 거의 없었던 학생도 뒤로 갈수록 그래프와 식을 이용하여 해결할 수 있는 문항이 늘어나는 것을 확인할 수 있었다. 이는 문제해결의 전반적인 과정동안 교사가 이해단계의 발문 및 권고를 지속해서 제공한 것이 도움이 된 것이라 생각된다. 계획수립 또는 계획실행 단계에서 오류가 발생하였거나, 답을 틀리게 구한 경우에는 학생 스스로 풀이과정을 점검하면서 오류를 수정할 수 있도록 교사가 지속해서 발문 및 권고를 제공하였다. 그 결과 학생들 스스로 오 개념을 찾거나 문제 해결의 실마리를 찾아내어 문제를 다시 해결하는 것을 발견할 수 있었으며, 뒤로 갈수록 오류가 줄어들거나 스스로 오 개념을 수정하여 문제를 해결하는 것이 나타났다. 이는 문제해결의 전반적인 과정동안 교사가 학생 스스로 오류를 발견할 수 있도록 계획수립 또는 계획실행 단계의 발문 및 권고를 지속적으로 제공한 것이 도움이 된 것이라 생각된다. 문제해결을 완성하여 답을 옳게 구한 경우 대부분의 학생들은 그 문제를 다시 풀어보거나 관련 지식을 정리하는 것에 대한 필요성을 느끼지 못하였지만, 교사의 발문 및 권고를 통해 반성단계가 이루어짐을 확인할 수 있었다. 이는 스스로 반성단계를 실행하기 어려웠지만 교사가 다른 방법으로 해결할 수 있는지, 비슷한 다른 문제를 해결할 수 있는지 또는 관련된 개념을 정리하고 확장할 수 있는지에 대한 발문 및 권고를 지속적으로 제공한 것이 도움이 된 것이라 생각된다. 둘째, 교사의 발문 및 권고가 학생 개개인의 문제해결 과정에 작용하는 변화를 분석한 결과 지속적인 교사의 발문 및 권고를 통해 학생들이 문제해결의 전반적인 과정에 주도적으로 참여하고 스스로 해결할 수 있는 문항이 늘어남을 발견할 수 있었다. 문제의 조건을 그림이나 그래프로 나타내지 못했던 학생들도 뒤로 갈수록 그림이나 그래프로 나태나는 문항 수가 늘어나는 것을 발견할 수 있었다. 또한 계획실행 또는 계획수립 단계에서 계산실수로 인한 오류가 많이 발생했던 학생들도 뒤로 갈수록 오류가 점점 줄어드는 것을 발견할 수 있었다. 교사의 발문 및 권고가 크게 영향을 주었다고 판단하기 힘든 학생의 경우라도 그 학생이 문제해결 과정 중 문제이해 단계에서 어려움이 있는지 또는 계획을 수립하고 실행하는 단계에서 어려움이 있는지를 확인할 수 있었다. 이를 통해 취약부분 또는 더 지도가 필요한 부분이 어느 단계인지를 알 수 있었으며, 지속적인 교사의 발문 및 권고와 함께 학생의 취약부분을 고려한 학습 자료를 활용하는 것이 도움이 될 것이라 생각한다. 본 연구의 분석결과를 토대로 교사가 학생의 문제해결 과정을 고려하여 Polya의 문제해결 4단계에 따른 발문 및 권고를 제공하는 것이 학생들의 문제해결 과정에 긍정적인 영향을 줄 것이라 기대된다. 또한 학생 개개인의 취약단계를 파악하고 지도가 더 필요한 부분이 어느 단계인지 고려하여 지도해 나가는데 도움을 줄 것이라 기대된다. 본 연구는 고등학교 1학년 학생들 8명을 대상으로 교사가 Polya의 문제해결 4단계에 따른 발문 및 권고를 제공하였을 때, 학생들의 문제해결 과정에 작용하는 변화가 무엇인지 분석하는 것이었으며, 제한적인 연구에 해당하는 것이므로 일반화하기에는 무리가 따른다고 생각한다. 따라서 본 연구의 과정에서 나타난 결과와 제한점을 보완하고 후속 연구를 위해 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구는 고등학교 1학년 수준별 이동수업의 하위권 반 학생 8명을 대상으로 연구를 진행하였고 나름대로 의미 있는 연구결과를 얻었으나, 중위권 반과 상위권 반 학생들에게도 긍정적인 영향을 미칠 수 있는지에 대한 연구가 필요하다고 생각한다. 둘째, 본 연구는 이차함수와 유리함수, 무리함수와 관련된 문제해결에 대해서만 연구를 진행한 것이므로 주로 그래프를 그리고 이를 이용하여 식을 세우도록 하는 발문 및 권고가 사용되었다. 이밖에도 개념 학습 등의 다른 능력의 학습이나 다른 유형의 문제를 해결하는 상황에서도 교사의 발문 및 권고를 통한 지도가 학생들의 문제해결 과정에 긍정적인 영향을 미치는지에 관한 연구도 필요하다고 생각한다. 셋째, 발문 및 권고를 통한 지도는 독자적으로 기능할 때보다 다른 학습 자료, 예를 들면 흥미를 유발하는 수업 자료, 학생의 수준과 취약점을 고려한 활동지 등과 잘 조화되어 기능할 때 보다 큰 효과가 있을 것이라고 생각된다. 따라서 교사의 발문 및 권고와 더불어 그 효과를 극대화 시킬 수 있는 다양한 수업 자료에 대한 연구가 필요하다고 생각한다.