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초등학생의 수학적 모델링 적용과정에서 나타나는 정당화와 의사소통에 관한 연구

초등학생의 수학적 모델링 적용과정에서 나타나는 정당화와 의사소통에 관한 연구
Other Titles
A Study on justification and communication in process of applying mathematical modeling to elementary students : with priority given to 5th grades’number and operation
Issue Date
대학원 초등교육학과
이화여자대학교 대학원
As modern society changes, the capabilities required as human are also changes. Today, higher capabilities are demanded. What modern society wants is not just calculating skills, but mathematical problem solving abilities. Furthermore, Modern society asks people to be more active. As one of the ways to meet this kind of demand, mathematical modeling study can be applied in the field of education. Mathematical knowledge and strength had been emphasized constantly in curriculums, on the contrary, PISA and TIMSS report showed that Korean students have difficulties in solving problems intended to test higher mathematical abilities. Therefore, it is urgently needed that to provide opportunities for Korean students to think deeply, as the way to do so mathematical modeling can be considered because it presents problems contextualized in real-life. However, there are needs for studies about mathematical modeling at the elementary education level because schools are not in conditions to apply mathematical modeling problems easily, and there are concerns that mathematical modeling is difficult to be done at the elementary education level. Thus, this study is intended to analyze mathematical justification, mathematical communication levels and forms, characteristics that appeared by applying mathematical modeling to 5th grade’s mathematical education. To achieve this purpose, the following research questions were set up. First, what are the levels of the mathematical justification while students are in mathematical modeling education? Second, what are the levels of the mathematical communication while students are in mathematical modeling education? Based on these questions, this study examined various references for mathematical modeling, justification, communication, and 2007 and 2009 revised curriculums. This study was conducted in one class of 5th grade in C elementary school under jurisdiction of Seoul Gangdong District Office of Education. During the study of mathematical modeling education, this study analyzed the process of the students’ communication and justification with their activity sheets and outputs, observation records, and interviews. And it also analyzed the level of their mathematical justification in the pre- and post-test with their detailed response cases. Additionally, by analyzing the activity cases of Group 3 and Group 6 this study researched justification level according to the communication level of change that changes. The research findings on mathematical justification and communication in the process of mathematical modeling problem solving were as follows. For the first research question, Group 3 showed varying levels of justification, and Group 6 has changed a bit. This finding suggests that thinking and expressing a given problem or situation in a mathematical manner do not come easily to elementary school students who usually think through concrete and visible objects. Meanwhile, the students did not show mathematical justification in the preparatory stage in solving the traffic light problem and the marathon course problem, but showed this in model inducement activity. During question inducement activity, mathematical justification level did not appeared to be high enough because when one student who has a high level of achievement led the discussion to solve problems, it ended with lack of mathematical reasoning and delicacy. On the other hand, mathematical justification level was appeared to be high when all group members were participated in the process of solving problem and talked about their thought together, even if the students had different levels of achievement. Mostly in model exploration activity, when the students heard presentations of other groups and took time for self-reflection in group presentations, justification level appeared to be advanced more than before. This result was caused by the students’ effort to review their methods during questioning and answering activities between groups in model exploration activity. As for the second research question, Group 3 showed varying levels of communication, and Group 6 has changed a bit. In second modeling activity, communication level improved by level 1 to 2 compared to first modeling activity, one group (Group 3) showed a higher level of communication with level 2 to 3 in all-round activities. These findings imply that the students were practiced to calculate by text books in the mathematics class, rather than to solve problems in small groups they were used to solve problems on their own individually, so as the result, they find hard to have communication and moreover, to have high standards of communication. While the students solves the traffic light problem and the marathon course problem, there were not much of conversation to obtain information in the preparatory stage, but in model inducement activity as discussion to solve problem began in earnest, conversation also began. On the traffic light problem, for example, the students used divisor and multiple to find the way to divide time, measured some in their own way. On the marathon problem, the students thought various courses to discover the course that meets given conditions, and discussed to build efficient courses. In model inducement activity, first the student had difficulties in communication, could not respond properly to other students’ opinion, but in second trial they made use of their experience and responded others opinion in the course of finding solutions. Similar to mathematical justification, mathematical communication tended to be more active after model exploration activity when model applying activity occurred. This phenomenon occurred when the students found out problems of their methods cognitively. Communication levels were different in each group, but as the students were getting used to give their opinions and refute other opinions, they started to be interested generally. The analysis results of the two groups’ cases of mathematical justification and communication showed that the students of “Group 3” exhibited a moderate level of mathematical justification and communication in the first modeling but in the second modeling they exhibited a high level of mathematical justification and communication. The students of “Group 6” showed some improvement in mathematical justification and communication in the first and second modeling. As a result of analyzing the two groups’ cases, mathematical communication levels had an effect on mathematical justification, and “Group 3” who communicated actively on four areas of communication showed significant advance in the level of justification, “Group 6” who communicated actively on speaking area but not on every areas showed lack of reasoning, and it affected mathematical justification. This means, from now on mathematical education should provide the students with mathematical justification and communication learning, and to do this, a class which contains mathematical communication experiences will be needed. Based on those findings, several suggestions were made. First, it is required to present problem situations that can be applied in school mathematics class, and to examine different aspects of mathematical thinking ability other than mathematical justification and communication in mathematical modeling problem solving process. Second, on account of a big role of the students’ communication in activities, it is needed that studies on communication levels and forms with their high level of abilities. Third, elementary mathematical text book must have problem situations related to real-life, to make the students think mathematically not to just calculate by route. Fourth, the school should utilize descriptive assessments by changing the methods of assessment in current education fields, to use these assessments to following learning. Finally, it is necessary to consider how to apply phased modeling that has affect on low level students. This study was effective to mid-upper level students, not to all students. Low level students tended to have difficulties in basic calculation therefore methods of teaching and learning for low level students should be thought as well.;변화하는 현대 사회는 사람에게 요구되는 능력도 함께 변하고 있으며, 보다 고차적인 능력을 요구하고 있다. 현대 사회는 계산만 하는 사람을 원하는 것이 아니라 수학적 문제 해결 능력을 지닌 사람을 필요로 한다. 수동적인 인간이 아닌 능동적인 인간을 원하는 현대 사회의 요구에 부응하기 위한 방안의 하나로서 교육현장에 수학적 모델링 학습을 적용하는 방안을 생각해볼 수 있다. 교육과정에서 수학적 소양과 수학적 힘을 지속해서 강조해오고 있는 것과는 달리 PISA와 TIMSS 보고서를 보면 학생들이 고차적인 수학 능력을 측정하는 문항에서 어려움을 보인다는 결과가 나타났다(김도한 외, 2009; 김경희, 2010a; 박경미, 2004; 박경미, 김동원, 2011; 한국교육과정평가원, 2004, 2007). 이러한 결과를 살펴볼 때, 우리나라 학생들에게 고차적인 사고를 할 수 있는 기회가 절실히 요구되며 이러한 기회를 제공하는 방법으로서 실생활 문제 상황을 수학적 문제로 제시하는 수학적 모델링을 생각해볼 수 있다. 그러나 현재 학교 현장에서는 이러한 수학적 모델링 문제가 쉽게 적용될 수 있는 여건이 조성되어 있지 않다. 또한 수학적 모델링이 초등학교 수준에서 이루어지기 어렵다는 인식으로 인해 연구도 중등에 비해 잘 이루어지지 않아 초등학교 수준에서 수학적 모델링을 다룬 여러 연구들이 요구되는 실정이다. 이에 본 연구에서는 초등학교 5학년 수학 학습에 수학적 모델링을 적용하여 문제 해결 과정에서 나타나는 초등학생의 수학적 정당화와 수학적 의사소통 수준과 양상을 분석하였다. 본 연구의 목적을 위해 설정한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 수학적 모델링 수업 과정에서 학생들의 수학적 정당화는 어떻게 나타나는가? 둘째, 수학적 모델링 수업 과정에서 학생들의 수학적 의사소통은 어떻게 나타나는가? 이상의 연구 문제를 토대로 본 연구에서는 수학적 모델링, 수학적 정당화, 수학적 의사소통, 2007개정교육과정과 2009개정교육과정과 관련된 참고 문헌 및 선행연구 고찰을 토대로 서울특별시 강동교육청에 위치한 C초등학교 5학년 1개 학급을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 수학적 모델링 학습이 이루어지는 동안 나타나는 학생들의 활동지와 활동 결과물, 관찰 기록, 학생 인터뷰 등으로 연구 대상 학생들의 정당화와 의사소통 과정을 분석하였고, 사전 검사 및 사후 검사 문항에 대한 연구 대상 학생들의 구체적인 반응 사례들을 통해 사전ㆍ사후 검사에 나타난 수학적 정당화 수준을 분석하였다. 또한 <모둠 3>과 <모둠 6>의 활동 사례를 분석하여 의사소통 변화에 따른 정당화 수준을 알아보았다. 수학적 모델링 문제의 해결 과정에 나타난 수학적 정당화와 수학적 의사소통에 관한 연구 결과를 종합해 볼 때, 첫 번째 연구 문제와 관련하여 여섯 모둠 중 한 모둠이 두 번의 모델링 과정에서 정당화 수준의 변화를 보였고, 한 모둠 학생들은 변화가 크게 없었다. 모델링 과정에서 구체적인 조작물이나 눈에 보이는 것으로서 사고하는 초등학교 학생들에게 주어진 문제 상황을 수학적인 사고를 통해 남을 설득할 수 있는 근거를 논리적으로 제시한다는 것이 쉽지 않았음이 나타났다. 한편 학생들은 교통 신호등 문제와 마라톤 코스 문제를 해결함에 있어 준비단계에서는 정당화를 보이지 않았고, 모델유도활동에서부터 정당화를 하였다. 문제유도활동에서는 문제 해결 과정을 본격적으로 논의를 하면서 성취도가 높은 한명의 학생 주도로 문제 해결이 이루어지는 경우 나름의 수학적 논리의 정교성이 떨어지는 결과를 낳았기 때문에 정당화 수준이 높게 나타나지는 않았다. 반면, 성취도 수준이 다르더라도 모든 모둠원들이 문제 해결에 참여하여 서로의 생각에 대해 질문하고 답할 때 정당화 수준도 높게 나타났다. 대부분 모델탐색활동에서 모둠별 발표를 거치면서 다른 모둠의 발표를 듣고 자신들의 방법에 대해 반성이 일어나면 모델적용활동에서 정당화 수준이 이전보다는 높아지는 것을 볼 수 있었다. 이는 학생들이 모델탐색활동에서 모둠 간 질문과 대답을 하면서 스스로의 방법을 반성해야 한다는 자각을 하고 그 과정에서 나름의 수학적 논리를 더 확고히 하려는 움직임이 마지막 활동의 정당화 수준을 높이게 되었다고 보여진다. 두 번째 연구 문제에 관하여 두 번의 모델링 활동 과정에서 여섯 모둠 중 한 모둠이 의사소통의 수준 변화를 가장 크게 보였고, 한 모둠은 변화가 크게 없었다. 두 번째 모델링 활동에서는 의사소통 수준이 첫 번째 모델링 활동과 비교했을 때 1수준에서 2수준 정도 향상되었고, 1개 모둠(<모둠 3>)의 경우 활동 전반에서 2~3수준의 높은 의사소통을 보여주었다. 이는 학생들이 지금까지 수학 학습에서 교과서 위주의 계산 학습과 소집단으로 문제를 해결하는 과정보다 개인적으로 문제를 해결하는 학습 환경에 익숙해져 있기 때문이다. 학생들은 서로 의사소통을 하는 것 자체를 어려워하는 것으로 나타났으며, 높은 수준으로 의사소통 하는 것이 쉽지 않았음을 보였다. 학생들은 교통신호등 문제와 마라톤 문제를 해결하면서 준비활동에서는 문제에 필요한 정보를 파악하고 해결해야 할 사항을 인식하기 위해 의사소통이 활발히 일어나지 않았다. 모델유도활동에서는 문제 해결을 위한 방법 논의가 본격적으로 시작되면서 의사소통도 활성화되기 시작되었다. 학생들은 교통신호등 문제의 경우 신호등 시간을 배분하기 위한 나름의 방법을 찾기 위해 약수와 배수를 활용하기도 하고, 학생들 나름의 측정을 하기도 하였다. 마라톤 문제의 경우 문제에서 주어진 조건을 만족하는 코스를 찾아내기 위해 여러 가지 코스를 고려해보고, 효율적인 코스를 만드는 방법도 논의를 통해 찾아나갔다. 모델유도활동에서 첫 번째 모델링의 경우 학생들은 의사소통에 어려움이 많고 다른 사람의 의견을 듣고 적절한 반응을 하지 못했으나 두 번째 모델링에서는 이전 활동 경험을 반영하여 다른 학생들의 의견에 조금씩 반응하면서 해결 방법을 찾아나갔다. 정당화와 마찬가지로 의사소통도 모델탐색활동 이후 모델적용활동에서 학생들의 의사소통이 더 활발해지는 경향이 있었으며 이는 학생들이 인지적으로 자신들의 해결방법에 대해 문제점을 깨달았을 때 나타났다. 의사소통의 수준은 각 모둠별로 다른 수준을 나타내면서 모둠별 의사소통 수준의 차이를 드러내었으나 전반적으로 학생들이 활동에 익숙해질수록 자신들의 의견을 말하고 반박하는 활동에 흥미를 느끼기 시작했다. <모둠 3>과 <모둠 6>의 정당화와 의사소통 사례를 분석한 결과, <모둠 3>의 학생들은 첫 번째 모델링에서는 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 높지는 않았으나 두 번째 모델링에서는 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 높게 나타났으며, <모둠 6>의 학생들은 첫 번째 모델링과 두 번째 모델링에서 수학적 정당화와 수학적 의사소통이 조금 향상되었다. 두 모둠의 사례를 보았을 때, 의사소통 수준이 정당화에 영향을 미쳤다. 의사소통의 4개 영역에서 의사소통이 활발히 진행된 <모둠 3>의 경우 정당화 수준도 높게 향상되었으나 <모둠 6>의 경우 의사소통이 4개 영역 고루 이루어지지 않고 말하기 하나의 영역에 집중되어 나타났기 때문에 결과적으로 타인에게 수학적인 설득력이 부족하였고, 이것이 정당화에도 영향을 미친 것으로 나타났다. 이는 앞으로의 수학 학습이 학생들에게 정당화와 의사소통에 대한 학습을 충실히 하도록 할 필요가 있으며, 이는 의사소통을 경험할 수 있는 수업을 통해 정당화 수준을 함께 발전시켜야 함을 의미한다. 이와 같은 본 연구의 결과를 바탕으로 몇 가지 제언을 하면, 첫째, 학교 수학 수업에서 수학적 모델링을 적용할 수 있는 문제 상황을 제시하고 수학적 모델링 과제 해결 과정에서 나타나는 학생들의 정당화 및 의사소통 외에 또 다른 측면의 수학적 사고 능력을 분석할 수 있는 연구가 필요하다. 둘째, 학생들의 의사소통이 활동에서 차지하는 역할이 매우 크기 때문에, 의사소통의 수준과 양상을 더욱 연구하여 학생들의 고차적 능력과 어떻게 연관될 수 있는지 의사소통 수준과 양상에 대한 후속 연구가 요구된다. 셋째, 초등학교 수학 교과서에 실생활과 관련한 문제 상황이 포함되어 학생들이 교과서에서 무의식적으로 문제를 보고 계산을 수행하는 것이 아니라 실생활과 관련된 문제를 수학적으로 사고할 수 있도록 해야 한다. 넷째, 현재 학교 현장에서 이루어지고 있는 평가 형태의 변화를 통해 학생들의 수학적 사고 수준을 보다 면밀하게 평가하여 학생들 개인의 능력을 평가하고 후속 학습에 활용할 필요가 있다. 다섯째, 하위권 수준의 학생들에게도 효과가 있는 단계적 모델링 적용 방안을 생각해 볼 필요가 있다. 본 연구는 모든 학생들에게 효과가 있는 것은 아니었고, 중~상위권 학생들에게 영향이 있었다. 하위권 수준의 학생들은 기초적인 계산 단계를 어려워하는 경향이 있었으므로 하위권 학생들을 위한 지도방안도 고려해야 할 것이다.
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