비구조화된 문제의 해결 과정에 나타난 초등학생의 수학적 추상화 및 비례적 추론 연구

Abstract

실생활 문제에 대한 수학적 문제 해결 능력을 필요로 하는 현 사회의 요구에 부응하기 위한 방안의 하나로 학교수학교육 현장의 교수ㆍ학습에 비구조화된(ill-structured) 문제를 적용하는 방안을 생각해볼 수 있다. PISA나 TIMSS에 나타난 결과에 따르면, 우리나라 학생들에게 실생활 상황을 반영한 비구조화된 여러 문제들을 경험하도록 하는 것에 대한 연구가 절실히 요구된다. 그러나 현재 우리나라의 학교수학교육 현장에서는 이와 같은 비구조화된 문제가 쉽게 적용되고 있지 못하고 있을 뿐만 아니라, 이에 관한 선행연구도 많이 부족한 상황으로 교수ㆍ학습에의 비구조화된 문제의 적용과 관련된 여러 연구들이 요구되는 실정이다. 이에 본 연구에서는 초등학교 5학년의 수학 학습에 비구조화된 문제를 적용하여 비구조화된 문제의 해결 과정에서 나타나는 초등학생의 수학적 추상화와 비례적 추론 모습을 분석하고 학생들이 나타내는 수학적 추상화 및 비례적 추론의 수준과 형태의 특징을 알아보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 첫째, 비구조화된 문제의 해결 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 추상화 수준과 형태는 어떠한가? 둘째, 비구조화된 문제의 해결 과정에서 나타나는 학생들의 비례적 추론 수준과 형태는 어떠한가? 셋째, 비구조화된 문제의 해결과정에서 수학적 추상화와 비례적 추론은 어떻게 관련되어 있는가? 이상의 연구 문제를 기반으로 본 연구에서는 비구조화된 문제와 수학적 추상화, 비례적 추론, 2007 개정 교육과정, 2009 개정 교육과정과 관련된 여러 문헌들을 고찰하였다. 그리고 서울특별시 남부교육청 소속의 D 초등학교 6학년 1개 학급을 선정하여 예비 연구를 실시하고, 같은 학교의 5학년 1개 학급을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 본 연구에서는 비구조화된 문제의 해결 학습이 이루어지는 동안 나타나는 학생들의 활동지와 산출물 등의 활동 결과물과 관찰기록, 학생 인터뷰 내용 등을 통해 연구 대상 학생들의 수학적 추상화 및 비례적 추론 과정을 분석하였고, 사전 검사 및 사후 검사 문항에 대한 연구 대상 학생들의 구체적인 반응 사례들을 통해 사전ㆍ사후 검사에 나타난 수학적 추상화 및 비례적 추론의 수준과 형태의 특징을 분석하였다. 또 <모둠 5>와 <모둠 3>의 활동 사례를 분석하여 비구조화된 문제의 해결 과정에서 비례적 추론과 수학적 추상화는 어떻게 관련되어 있는지 알아보았다. 비구조화된 문제의 해결 과정에 나타난 수학적 추상화 및 비례적 추론에 관한 연구 결과를 종합해 보면, 첫 번째 연구 문제에 관하여 6개 모둠의 학생들은 비구조화된 <건축설계도> 문제를 해결하는 동안 2개 모둠만이 수학적 추상화의 마지막 수준인 3수준[내면화(interiorization)를 통한 새로운 수학적 구조 구성]으로 활동을 마무리하였다. 이러한 모습은 주로 구체적인 조작물을 통해 사고하게 되는 초등학교 학생들에게 주어진 문제나 상황을 상징적이고 추상적으로 사고하고 표현하는 것이 쉽지 않았음을 나타낸다. 한편 학생들은 <건축설계도> 문제를 해결함에 있어 [문제 이해하기] 과정에서는 수학적 구조의 필요를 인식하고, 수학적 속성을 인식함으로써 수학적 추상화를 나타내었다. 다음으로 [해 구하기] 과정에서 학생들은 문제 상황에 나타난 수학적 구조를 적용하고 활용함으로써 문제 상황에 알맞은 해를 구하고 수학적 결론을 도출하였다. 단 이 과정에서는 각각의 모둠이 수학적 추상화를 1, 2, 3 수준으로 달리 나타냄으로써 비구조화된 문제 해결 과정에서의 수학적 추상화 수준 차이를 드러내었다. 마지막으로 [적용하기] 과정에서는 학생들이 자신들의 문제 해결 방법을 다른 모둠의 문제 해결 상황에 일반화함으로써 각 모둠의 문제 해결 방법을 평가하고 가장 좋은 방법을 선택하였다. 두 번째 연구 문제에 관하여 학생들은 6개의 모둠 중 2개 모둠만이 비례적 추론의 마지막 수준인 4수준[함수적(functional) 접근]으로 활동을 마무리하였다. 이는 교육과정상 5학년 2학기 7.비와 비율 1개 단원만을 학습하여 6학년 과정에 편성된 내용들(비례식이나 연비, 비례배분, 정비례 등)을 접해보지 못한 5학년 학생들이 가장 높은 수준인 4수준으로 비례적 추론을 하는 것이 쉽지 않았음을 나타낸다. 학생들은 비구조화된 <건축설계도> 문제의 해결에 있어 [문제 이해하기] 과정에서는 문제에 제시된 양들에 대한 인식만을 나타내었을 뿐, 비례적 추론의 모습을 거의 나타내지 않았다. 이어진 [해 구하기] 과정에서 학생들은 문제에 포함된 여러 가지 양들 사이의 비례적 관계를 찾아내고 이를 활용하여 4절 도화지에 그려질 설계도상의 길이를 구하였다. 다만, 이 과정에서는 6개 모둠이 비례적 추론의 모습을 1, 3, 4수준으로 다르게 나타냄으로써 모둠별 비례적 추론 수준의 차이를 드러내었다. 마지막으로 [적용하기] 과정에서 학생들은 비례적 추론을 거의 나타내지 않았다. 단 가장 높은 수준의 비례적 추론을 나타내었던 2개의 모둠만이 문제 상의 비례적 관계를 다른 상황들에까지 확장시켜 적용하는 모습을 나타내었다. 즉, 학생들은 비구조화된 문제를 해결하면서 [문제 이해하기] 과정에서는 문제에 제시된 여러 가지 양들을 인식함으로써 이들 양들과 관련된 수학적 구조의 필요를 인식하였다. 학생들은 이어진 [해 구하기] 과정에서 문제 상황에 내포되어 있는 양들 사이의 관계를 찾아내고 비례적 관계의 수학적 구조를 적용하고 활용하여 문제에 알맞은 해를 구하였다. 그리고 마지막으로 학생들은 [적용하기] 과정에서 자신들이 문제 해결에 사용했던 비례적 관계 구조를 또 다른 상황으로 확장시키고 일반화시킴으로써 여러 모둠의 해결 방법을 평가하고 가장 좋은 방법을 선택하였다. 이러한 모습은 비구조화된 문제의 해결 과정에서 수학적 추상화와 비례적 추론이 관련되어 있음을 나타내며, 이에 대한 구체적인 모습은 세 번째 연구 문제의 결과에서 볼 수 있다. 세 번째 연구 문제에 관해서는 수학적 추상화 및 비례적 추론이 가장 낮은 수준으로 이루어졌던 1개 모둠과 가장 높은 수준으로 이루어졌던 1개 모둠의 활동 사례를 분석함으로써 알아보았다. 이들 두 모둠의 수학적 추상화 및 비례적 추론 사례를 분석한 결과, <모둠 3>의 학생들은 비례적 추론과 관련된 개념들에 대한 이해 부족으로 낮은 단계의 비례적 추론 관련 핵심 이해를 나타내었고, 이로 인해 비례적 추론의 수준과 형태 및 전환이 낮은 수준으로 이루어지게 됨으로써 수학적 추상화의 수준과 형태 역시 낮은 수준으로 이루어졌다. 한편 <모둠 5>의 경우, 높은 단계의 비례적 추론 관련 핵심 이해를 바탕으로 높은 수준의 비례적 추론 수준과 형태, 전환을 나타내며 문제를 해결하고, 나아가 이러한 문제 해결 방법을 다른 상황으로 확장하고 일반화함으로써 높은 수준의 수학적 추상화 수준과 형태 및 프로세스가 이루어졌다. 즉, 학생들은 비구조화된 <건축설계도> 문제를 해결하는 과정에서 비례적 추론 관련 수학적 개념과 원리를 비롯한 핵심 이해(essential understandings)의 수준을 바탕으로 비례적 추론 수준과 형태, 그리고 비례적 추론 발달에서의 전환(shift) 수준을 나타내었고, 또 이러한 비례적 추론의 수준에 따라 수학적 추상화의 수준과 형태 및 추상화 프로세스를 나타내었다고 볼 수 있다. 이는 앞으로의 수학 학습이 학생들로 하여금 비례적 추론과 관련된 수학적 개념과 원리에 대한 학습을 충실히 하도록 하여 보다 높은 수준의 비례적 추론 관련 핵심 이해(essential understandings)가 학습되도록 하고, 이를 통해 비례적 추론 수준과 형태 및 전환(shift)의 수준을 향상시키며, 수학적 추상화의 수준과 형태 및 추상화 프로세스 단계를 발전시키도록 해야 함을 함의한다. 이와 같은 본 연구의 결과를 바탕으로 몇 가지 제언을 하면, 첫째, 학교 수학 수업에서 비구조화된 문제의 해결 활동을 늘리고, 비구조화된 문제 해결 과정에서 나타나는 학생들 개개인의 수학적 추상화 과정 및 비례적 추론 과정과 더불어 이들 두 가지 외의 또 다른 측면의 수학적 사고 과정을 보다 심층적으로 분석하는 후속 연구가 필요하다. 둘째, 비구조화된 문제의 해결 학습에서 일어나는 학생들 사이 및 교사와 학생들 사이의 상호작용에 관한 후속 연구를 통해 비구조화된 문제의 해결에서 나타나는 의사결정 과정을 구체적으로 살펴보고, 여기에서 나타나는 교사와 또래의 비계(scaffolding)의 영향에 대하여 보다 깊이 있게 살펴볼 필요가 있다. 셋째, 비, 비율, 비례와 관련된 내용의 교수ㆍ학습 운영에 비례적 추론 관련 핵심 이해(essential understandings)를 반영하여 학생들의 비례적 추론 관련 수학적 개념과 원리의 이해 수준을 높이고, 비례적 추론 및 수학적 추상화의 수준을 향상시키는 기초가 되도록 할 필요가 있다. 넷째, 초등학교 수학 교과서에 실생활 상황과 관련된 비구조화된 문제들이 포함되도록 하여 학생들로 하여금 현실 맥락의 문제들을 기계적으로 해결하는 대신 다양한 수학적 사고 과정을 통해 해결할 수 있도록 해야 하며, 다섯째, 학교수학교육 현장에서는 서술형 평가의 활용을 통하여 학생들의 수학적 추상화 및 비례적 추론 수준 상태를 진단하고, 이에 따라 수학 교수ㆍ학습 활동을 계획하고 운영함으로써 학생들의 수학적 사고력 및 성취도에 향상에 도움이 되도록 해야 할 것이다.;Modern society asks the moderns to have capability to address various phenomena and problematic situations in daily life reasonably. Such demand is highlighting need of mathematical problem solving capability in mathematical education. As one of methods to meet up with the demand that requires mathematical problem solving ability for real-life problems, application of ill-structured problem to teaching-learning system can be considered. According to PISA or TIMSS results, Korean students have difficulties in solving the problems contextualized in real-life, which implies that more opportunities to experience ill-structured problems related to everyday life are required and that for this, it is necessary to implement researches that provide experience of ill-structured problems to students. However, in reality of current Korean school mathematics, such ill-structured problems are not only easily applicable but also precedent researches related to ill-structured problems are not sufficient. Therefore, it is needed that such various researches related to ill-structured problems should be conducted in teaching-learning system. Against this backdrop, this study aimed to analyze elementary school students’ mathematical abstraction and proportional reasoning process in problem solving by applying ill-structured problems to 5th grade’s mathematical education. Also it examined their level and form of mathematical abstraction and proportional reasoning. For those purposes, the following research questions were set up. What are the levels and forms of the students' mathematical abstraction in the process of solving ill-structured problems? Second, what are the levels and forms of the students' proportional reasoning in the process of solving ill-structured problems? Third, what sort of relation is there between the students' mathematical abstraction and proportional reasoning in the process of solving ill-structured problems? Based on the questions, this study examined various references for ill-structured problems, mathematical problem solving, mathematical abstraction, proportion reasoning, and 2007 and 2009 revised curriculums. Pilot study was conducted in one class of 6th grade in D elementary school under jurisdiction of Seoul Nambu District Office of Education, and this study was conducted in one class of 5th grade in same school. During the study of ill-structured problem solving, this study analyzed the process of the students' mathematical abstraction and proportional reasoning with their activity results such as their activity sheets and outputs, observation records, and interviews. And it analyzed the level and form characteristics of their mathematical abstraction and proportional reasoning in the pre- and post-test with their specific response cases to the pre- and post-test items. In addition, the activity cases of Group 3 and Group 5 were also analyzed to figure out connections between mathematical abstraction and proportional reasoning in the process of solving ill-structured problems. The research findings on mathematical abstraction and proportional reasoning in the process of solving ill-structured problems were as follows. For the first research question, only two of the six student groups finished the process of solving an ill-structured "architectural drawing" problem with the third and last level of mathematical abstraction "constructing a new mathematical structure through interiorization." The findings suggest that thinking and expressing a given problem or situation in a symbolic and abstract manner does not come easily to elementary school students who usually think through concrete operational materials. While solving an "architectural drawing" problem, first, the students perceived a need for mathematical structures and mathematical attributes and accordingly demonstrated mathematical abstraction in the process of "understanding a problem." In the process of "obtaining an answer," they obtained answers fit for the problem situation and reached a mathematical conclusion by applying and utilizing the mathematical structures in the problem situation. In this process, the student groups exhibited different levels of mathematical abstraction from Level 1 to Level 3 and thus showed level differences in mathematical abstraction in the process of solving the ill-structured problem. Finally in the process of "applying," they generalized their problem-solving methods to the problem-solving situations of other groups, thus evaluating the problem-solving methods of each group and choosing the best ones. As for the second research question, only two of the six student groups finished their activities with the fourth and last level of proportional reasoning, the "functional approach." This indicates it is difficult for the 5th graders to do proportional reasoning at the highest level (Level 4) since they only studied one related unit, Unit 7. Ratio and Proportion took place in the second semester of the fifth grade and the students were not exposed to the sixth-grade content (e.g. proportional expression, continued ratio, proportional distribution, and direct proportion) according to the curriculum. In solving the ill-structured "architectural drawing" problem, the students only displayed a perception of quantities in the problem and hardly exhibited proportional reasoning in the process of "understanding a problem." In the following process of "obtaining an answer," they were able to find a proportional relation among various types of quantities in the problem and obtain dimensions for a drawing to be made on a piece of quarto drawing paper by using it. In the process, the six student groups exhibited different levels of proportional reasoning from Level 1 to Level 3 and 4 and thus showed level differences in proportional reasoning. Finally in the process of "applying," the students hardly showed proportional reasoning with the exception of two groups, which showed the highest level of proportional reasoning and expanded and applied proportional relations in problems to other situations. That is, the students perceived various types of quantities in the problem and then a need for mathematical structures related to the quantities in the process of "understanding a problem," while trying to solve the ill-structured problem. In the following process of "obtaining an answer," they found relations among quantities contained in the problem situations and applied and utilized the mathematical structures of proportional relation, then they obtained answers fit for a problem. In the last process of "applying," they expanded and generalized the proportional relation structures they used to solve a problem to other situations. Then, they assessed the solution methods of different groups and chose the best ones. Those findings reveal a connection between mathematical abstraction and proportional reasoning in the process of solving an ill-structured problem. Its specific aspects are presented in the findings of Research Question 3. As for the third research question, this study analyzed the activity cases of one group whose mathematical abstraction and proportional reasoning level was the lowest and one group whose mathematical abstraction and proportional reasoning level was the highest. The analysis results of the two groups' cases of mathematical abstraction and proportional reasoning show that the students of "Group 3" exhibited low-level essential understandings related to proportional reasoning due to the shortage of their understanding of proportional reasoning concepts and thus recorded a low degree in the level, form, and shift of proportional reasoning, which led to a low degree in the level and form of mathematical abstraction. On the other hand, "Group 5" exhibited a high degree in the level, form, and shift of proportional reasoning based on high-level essential understandings related to proportional reasoning, solving a problem. And they further expanded and generalized such problem-solving methods to other situations, then demonstrated a high degree in the level, form and process of mathematical abstraction. In other words, they showed a level and form of proportional reasoning and a level shift in the development of proportional reasoning based on their essential understandings including mathematical concepts and principles related to proportional reasoning in the process of solving an ill-structured "architectural drawing" problem. They further showed a level and form of mathematical abstraction and an abstraction process according to such levels of proportional reasoning. Those findings imply that mathematics education should help the students learn essential understandings related to high-level proportional reasoning by studying the mathematical concepts and principles related to proportional reasoning more fully. Accordingly it should help improve the level and form of proportional reasoning and the level of shift, and develop the level and form of mathematical abstraction and the process of abstraction. Based on those findings, several suggestions were made. First, the activities of ill-sturctured problem solving should be increased in math classes in school, and it should be conducted that many follow-up studies to analyze more profoundly the mathematical abstraction and proportional reasoning processes of individual students in the process of solving ill-structured problems and other aspects of mathematical thinking process. Second, it is needed to examine the decision-making processes specifically and the influence of the scaffolding of teachers and peers more profoundly in the solution of ill-structured problems through a follow-up study on interactions among students and between teachers and students during the learning activities of ill-structured problem solving. Third, the essential understandings related to proportional reasoning should be reflected in the teaching-learning operation of content related to ratio, rate, and proportion in order to increase the students' understanding level of mathematical concepts and principles related to proportional reasoning and to utilize them as the foundation for the heightened level of proportional reasoning and mathematical abstraction. Fourth, ill-structured problems related to real-life situations should be included in elementary math textbooks so that the students can solve a real-world problem with a variety of mathematical thinking processes instead of a routine approach. Finally, the field of math education should utilize descriptive assessments to diagnose the level of the students' mathematical abstraction and proportional reasoning, plan and run mathematical teaching-learning activities accordingly, and make a contribution to their improved level of mathematical thinking and achievement.