대수영역 학습에서 문자 사용시 나타나는 오류유형과 지도방안

Abstract

Algebra is a type of systematical language that uses symbols in idea-developing and problem-solving. The aspect of systematical use of language in Algebra starts from the substitution of expressions consisting of symbols; and algebra can be explained by manipulation of those symbol expressions. The level of students' understanding can be evaluated based upon the errors that they make in their manipulations, for the errors do not occur in random but they are results of systematical correlations that they believe in. In that sense, their errors not only degrade their problem-solving ability but also bring about attainment of incorrect concepts. Considering that such errors provide useful information on causes of failure in learning and offer remedy to correct them, efforts must be made to figure out cognitive causes and to correct them rather by putting more emphasis on such errors that come out of problem-solving process rather than on the result of manipulation. This study finds and evaluates the types of errors that occur when first, second, and third-year middle school students manipulate symbols. The purpose of this research is to study and analyze characteristics of errors according to students' accomplishment levels, and to ultimately help teacher's curriculum to enhance students' problem-solving ability. In order to achieve this purpose, we have conceived the following three questions. 1. Can errors that middle school students make in their use of symbols be classified by different types? 2. How is student's level of understanding on the use of symbols related to his accomplishment level (high, middle, low) and year? 3. Can the error-correcting process in the use of symbols be clarified? We have selected a middle school in Kwacheon City in Kyungki-do to carry out this research and also selected a total of 258 students (88 first-year, 83 second-year, and 87 third-year students) grouped in upper, middle, and low-achiving groups based on their grades in their first-semester's mathematics class. The research paper for error types consisted of 15 questions. We analyzed the types and causes of errors that students make in their use of symbols as shown in their solving process. With the help of Pippig error model and error models that Kim Ok-kyung and Cha Eun-joo suggested, we classified errors into concept-related and procedure-related errors. Conceptual knowledge-related errors fall into three groups: error of conceptual understanding, error of letter-manipulation law, and error of technical skills; procedure-related errors fall into two groups: error of manipulation and inappropriate answer for the question. We presents students' ratio of correct and incorrect answers in percentage according to their years and accomplishment levels. In addition, we selected two first-year students that showed a typical error and carried out the correction process. The analysis of the results revealed the following facts. Firstly, errors that the first-year students made had high percentage of conceptual knowledge-related errors . Upper level students had relatively high percentage of interruption errors. This kind of errors result from confusion between the already-learned knowledge and just-learned contents and can be deemed as a result of lack of conceptual knowledge. Lower-level students correctly solved problems in simplifying the equations, but their final answers were incorrect probably because their lack of skill in symbol manipulation. Secondly, errors that the second-year students made had higher percentage of formal operation errors than students in other years. They wrote down only the answers and skipped the writing part of the solving process, making mistakes as a result. This shows that they lack in skills in systematical narration. Like the first-year students, upper-level students had higher percentage of interruption errors than other types of errors. Thridly, the third-year students made small number of errors but the distribution of types of errors that they made was similar with students in other years. Upper-level students had a small number of process knowledge-related errors and a high number of interruption errors. Lower-level students made more frequent mistakes than the first-year and the second-year students; this is because while the lower-level of first and second-year students did not answer at all many times, third-year students mader meaningless answers or gave up on the problem in the middle of solving. Moreover, since incorrect concepts in already-learned knowledge result in errors, we made up an error-correction sheet based on principle-discovery model and congnitive-complication study model with the purpose to change the concepts. Students could succesfully solve a problem with teacher's guide when they were guided to approach the solving process with an active attitude. Interviews with the students reveal that they think that solving symbolic equations is hard and that not only do they not fully understand the definitions and principles that they learned, but also lack in the ability to apply. Students must receive help in establishing a step-by-step systematical algorithm to deal with this problem. In other words, teachers should present a learning activity so students can fully understand a new concept or definition and help students grow a habit to examine to see if their solving-process is correct and if their answer is what the problem is asking for. In addition, the research should be done to find out where students easily make mistakes, and the result should be included in study materials so that they can present counter-examples so as to minimize students' errors. Study materials should emphasize the concept-learning so that new ideas will be well-established within students and students can apply these. The use of symbols in mathematics simplfy mathematical sentences and helps smooth communication. The symbolic meaning of letters makes meaningful representation of an idea possible. Therefore, in mathematical communication and problem-solving, substitution of letters and the use of symbolic equations is essential and fundamental in mathematics. In other words, it is critical in middle school education to cultivate the ability to fluently use symbols and letters so to mathematically approach and solve problems students can face in their daily lives. Therefore, teachers are highly recommended to analyze the causes of students' errors because the understanding of the types of errors will help them to understand students better and to plan out their curriculum.

; 대수는 일종의 형식적인 언어체계로서 그 내용 전개나 문제 해결 과정에 있어서 문자를 사용한 식을 주로 다루고 있다. 문자를 사용한 식의 도입은 대수의 형식적 언어 사용의 출발로서 대수는 이러한 문자식의 조작으로 설명될 수 있다. 문제 해결 과정에서 일어나는 학생들의 이해 수준은 그들의 오류 정도로 알 수 있으며, 수학 문제 해결 과정에서 학생들이 범하는 오류는 무작위로 아무렇게나 행하여지는 것이 아니라 그들이 믿고 있는 의미 있는 체계적 관계 속에서 오류가 진행되고 있는바 이러한 오류는 학습자로 하여금 문제 해결을 저해시키는 것은 물론 잘못된 개념의 획득을 가져오게 한다. 따라서 학습하는 과정에서 발생하는 오류가 학습의 실패 원인에 대한 가치 있는 정보를 제공해 주고 그 대안을 제시한다는 점에서 효과적인 수학 교육을 위해서는 문제의 결과보다는 문제를 풀어 나가는 과정에서 발생하는 오류에 더 많은 관심을 두어 그 인지적 원인을 파악하고 교정해 나가는 노력이 이루어져야 한다. 따라서 본 연구는 위와 같은 필요성 아래 중학교 1, 2, 3학년 학생들을 대상으로 문자 사용시 나타나는 오류 유형을 탐구하여 범주화 하였다. 또한 성취수준별 특징을 조사하여 분석하고 그 교정과정을 밝힘으로써 문제해결능력을 함양시키기 위한 교사의 수업 계획안에 참고가 되고자 하는데 있다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 세 가지 문제를 설정하였다. 1. 중학교 학생들이 문자 사용시 나타나는 오류의 유형은 어떤 것인가? 또, 오류 유형별 발생빈도분포는 어떠한가? 2. 성취수준(상, 중, 하)과 학년에 따른 학생들의 문항에 대한 성취도는 어떠한가? 3. 문자 사용시 나타나는 오류의 교정과정을 밝혀낼 수 있는가? 본 연구를 수행하기 위하여 경기도 과천시에 소재하는 중학교를 선정하였으며 오류 유형검사를 위하여 1학기 학기말 수학성적과 수학평균을 기초로 상, 중, 하위집단으로 분류하여 총 258명(1학년 88명, 2학년 83명, 3학년 87명)을 연구대상으로 선정하였다. 오류검사지는 총 15문항으로 구성되었으며, 학생들이 제시한 문제풀이과정을 통해서 문자 사용시 나타나는 오류 유형을 분류하였다. 각 문항에 포함된 오류들은 문헌연구에서 살펴보았던 Pippig의 오류 모델과 김옥경이 제시한 오류 유형과 채은주가 제시한 오류유형을 참고로 하여 개념적 지식과 관련된 오류, 절차적 지식과 관련된 오류로 분류하였다. 개념적 지식과 관련된 오류는 개념적 이해의 오류, 대수조작 규칙의 오류, 방해의 오류, 절차적 지식과 관련된 오류는 형식적 조작의 오류, 문제에 적합하지 않은 해로 다시 분류될 수 있다. 학생들의 학년별, 성취수준(상, 중, 하)별로 정답율과 오류를 백분율로 나타내었다. 또한 오류교정과정을 수행하기 위해 오류검사지를 통해 대표적인 오류를 나타내는 1학년 2명의 학생을 선정하여 교정을 실시하였다. 이와 같은 분석 결과로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 연구문제 1에 대한 결과를 살펴보면, 첫째, 1학년 학생들의 오류의 특징은 개념적 지식과 관련된 오류의 비율이 높았다. 상위수준의 학생들은 다른 학생들에 비하여 방해의 오류가 높았다. 이는 선수학습을 통하여 학습한 내용과 기존지식과 혼동하여 생기는 것으로 개념적 지식의 부족 결과라 볼 수 있다. 하위수준의 학생들은 식을 간단히 하는 과정에서 풀이과정은 맞게 풀어 썼지만 대수적 기호를 다루는 기술이 많이 서툴러서 그런지 답을 내는 데에서 실수를 하였다. 둘째, 2학년 학생들의 오류의 특징은 문자의 형식적 조작의 오류가 타학년에 비하여 비율이 높았다. 문제를 푸는 데 있어 풀이과정 없이 답만 적어 놓아 체계적으로 서술하는 능력이 부족해 암산으로 인한 실수가 많았다. 1학년 학생들과 마찬가지로 상위수준의 학생일수록 다른 오류에 비하여 방해의 오류가 더 높은 것을 알 수 있다. 셋째, 3학년 학생들의 오류의 특징은 오류의 수는 적지만 오류의 분포는 타학년과 비슷하게 나타났다. 상위수준의 학생 경우엔 절차적 지식과 관련된 오류가 적게 나타났으며 방해의 오류가 수준이 높을수록 다른 오류에 대한 비율이 높게 나타났다. 하위수준의 학생은 1,2학년에 비하여 오류의 횟수가 높게 나타났는데 이것은 1,2학년의 하위수준 학생들은 무응답인 경우가 많았지만 3학년 하위수준의 학생들은 임의의 답만을 제시하거나 풀이과정을 중도에 포기한 경우가 많았기 때문이다. 연구문제 2에 대한 결과를 보면, 학년이 오를수록 대체적으로 문제를 잘 해결하는 편이었으나 3학년 하위수준 학생들의 경우는 1학년 중, 하위수준 학생들에 비하여 오류가 많이 나타났다. 이는 수학에서 선수학습의 결손이 지속적으로 학업성취에 영향을 미친다는 것을 알 수 있다. 학생들이 대수적 표현을 이해하는가를 알아보기 위한 문항은 학년에 따른 뚜렷한 차이는 볼 수 없고 성취수준에 따른 차이를 알 수 있었다. 또한 수학적 관계를 문자로 사용하여 나타낼 수 있는 가를 알아보기 위한 문항은 총 검사문항 중 가장 낮은 정답율을 보였다. 연구문제 3에 대한 결과를 보면, 학생들은 구성되어진 개념 중에서 오개념이 많은 것은 오류를 유발하므로 이를 수정하기 위해 개념에 대한 변화를 목적으로 하게 되는데, 그 학습방법인 원리발견 학습모형, 인지갈등 학습모형을 통해 교정지를 구성하였다. 원리발견 학습모형을 통하여 개념적 지식과 관련된 오류 중 개념적 이해의 오류교정에 가장 쉽게 적용할 수 있었다. 보충자료 제시를 통하여 학생 스스로 원리를 깨닫고 일반화를 시키며 다른 문제에 적용할 수 있었다. 인지갈등 학습모형은 개념적 지식과 관련된 오류 중 대수조작 규칙의 오류, 예를 들어 분배법칙이나 동류항 계산 미숙 등이 나타날 때 교정효과를 볼 수 있었다. 방해의 오류도 학생이 잘못 알고 있는 개념들을 교정하는데 효과가 있었다. 또한 절차적 지식과 관련된 오류에서 형식적 조작의 오류교정에도 좋은 지도방안이 될 것으로 생각된다. 학생들은 오류를 나타낼 때, 교사의 안내를 받아 가면서 학생 스스로 능동적으로 올바른 문제의 풀이과정에 다가가도록 유도한 결과 문제에 대한 개념 이해를 바탕으로 교정해 나감으로써 성공적으로 문제를 해결할 수 있었다. 면담을 통해 학생들의 오류 교정과정을 살펴본 결과 학생들은 문자식의 계산을 접하고 해결함에 있어서 복잡하다는 마음을 가지고 있으며 학생들은 그들이 배운 정리나 정의를 확실하게 이해하지 못하고 이를 활용할 수 있는 능력이 부족했다. 이를 해결하기 위해서는 단계적이고 체계적인 알고리즘을 확립하게 해주어야 할 것이다. 즉, 새로운 개념이나 용어를 학생들에게 지도할 때는 그 의미를 충분히 이해할 수 있도록 학습활동을 제시하여야 하며 자신의 풀이과정이 올바른지, 자신의 답이 문제에서 요구하는 것과 일치하는지 검토하는 습관을 길러주어야 한다. 또한 교재연구시 학생들이 오류를 범하기 쉬운 내용들을 충분히 연구하여 미리 학생들에게 반례를 들어 보임으로써 학생들의 오류를 최소화해야 하며, 올바른 개념의 정립이 되도록 충분한 개념학습을 강조하여 이를 활용할 수 있는 지도에 중점을 두어야 한다. 수학에서 문자의 사용은 수학적인 문장을 간결이 표현하고 의사소통을 원활히 할 수 있게 해 준다. 또, 문자에 상징성을 부여하여 의미 있는 내용 표현을 가능하게 해 준다. 따라서, 수학적 의사소통이나 문제해결을 위해서 문자의 도입이나 식의 활용의 취급은 수학의 기초로 대단히 중요하다. 즉, 문자와 기호를 능숙하게 사용하여 일상생활 속에서 접하는 문제를 수학적으로 해결하는 능력을 배양하는 것은 중학교 수학 교육에서 매우 중요한 일이므로 현장에서 학생들을 지도하는 교사에게는 오류원인의 분석을 통해 오류 유형에 대한 연구 및 결과가 학생을 이해하는데 도움이 되고 다음 지도계획을 적절히 구성할 수 있으므로 필수적으로 요구된다.