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초등학교 아동의 입체도형 개념 이해 : 직육면체를 중심으로

Title
초등학교 아동의 입체도형 개념 이해 : 직육면체를 중심으로
Authors
김지숙
Issue Date
2001
Department/Major
대학원 초등교육학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Master
Abstract
The main goal of education on geometry is to form the concept of geometric shape. To build up the concept of geometric shape is based on student s concept on it. Therefore the study of students understanding about the geometric shape is needed to accomplish a effective teaching-learning. In addition, spatial sense is stressed in geometry of current mathematics curriculum, three dimensional space and solid geometry have become more important. The rectangular solid is the most basic factor and learning of solid geometric shape is first subject to be dealt in Korean elementary mathematics curriculum. Therefore, the purpose of this study is to know the understanding of elementary students concept on the rectangular solid in the field of solid geometric shape. First of all, the previous studies on educational curriculum, psychology and teaching-learning principle, etc., were studied. They utilized two methodology in understanding student s rectangular solid as follows: 1. The examination of student s drawing of solid geometry objects on the two dimensional plane by the elementary school students. 2. The examination of student s counting of the numbers of arrays of cubes or student s finding the characteristics of rectangular solid on the two dimensional plane. The present study adopted the latter one. The reason is because almost all elementary school students live in the three-dimensional space and they get their mathematical experience from the two dimensional shapes. Therefore, they need to study handling the two dimensional representation in their living world. The main purposes of the present study are as follows: 1. To categorize the types of students problem solving strategies. 2. To make clear the progress of students understanding of the rectangular solid. 3. Finally, to know the apriori concept of the elementary school students in our country. Therefore questions in the present study are as follows: 1. How can be the types of students solutions strategies categorized? 2. Do these types have unique characteristics and differences by grade? 3. What is the rate of right and wrong answers by grade? The present study was approached with the following method: The subjects were 435 students, ranging from the first grades to the sixth grade, in E elementary school located in Seoul. Two classes from every grade were chosen and 80 students out of 435 students were closely interviewed. The test instrument developed in a Battista & Clements Study (1996) was used. The picture of a set of cubes was shown to the students. Students were asked questions. The questions were to know how many cubes would be needed when the cubes were stacked in order to make a set of cubes. A set of cubes consists of 4 cubes in length, 4 cubes in width and 3 cubes in height with the shape of rectangular arrays of cubes. The "wooden cubes" were used to get a detailed results during the interview. After all data were gathered, they were analyzed inductively. For this, all kinds of students language, picture, and symbols were analyzed. Therefore, 5 types were found after integrating the similar strategies. The main results of the study were as follows: 1. Students solution strategies could be categorized. The students conceptualizes the set of cubes as its faces(31%), as its columns/rows(18%), as forming a rectangular array organized into layer(33%), formula(16%), and others(2%). The types could be subdivided; In the case of conceptualizing as its faces, there were one face counting(A1), two faces counting(A2), three faces counting(A3), four faces counting(A4), five faces counting(A5), six faces counting(A6), seven faces counting(A7), and eight faces counting(A8). In the case of conceptualizing as its columns/rows, there were unit cube counting in twelve or sixteen columns (B1), unit cube counting in the column of two faces(B2), unit cube counting in the column of three faces or interior unit cube counting(B3), unit cube counting in the column of four faces or interior unit cube counting(B4), unit cube counting in the column of five faces or interior unit cube counting(B5), unit cube counting in column of the six faces or interior unit cube counting(B6), irregular unit counting(B7), unit cube counting in every way(B8). In the case of conceptualizing as forming a rectangular array organized into layer, there were every counting subunits of layers(C1), layer adding/iteration(C2), layer multiplying(C3). 2. There was a remarkable difference in strategies among various grade students. Sixty-five percent of the 1st grade students conceptualized a set of cubes in terms of its faces. However, 45 percent of the 2nd grade students used faces concept(37% - columns/rows concept). Forty-three percent of the 3rd grade students used layering strategies(39% - face strategies, 14% - columns/rows). Especially, 64 percent of the 4th grade students conceptualized the set of cubes as forming a rectangular array organized into layer. It means these students are already accustomed to using this concept. Twenty-five percent of 5th grade students used the formula. The students above the 4th grade started to solve the problems by structuring the problems, even though they did not learn the formula at school, yet. Sixty-eight percent of the 6th grade students used the mathematical formula(L x W x H). It means that they have a cognitive construction, which leads to organize the basic scheme of rectangular solid by analyzing face, column and layer. 3. Regarding the rate of correct answers, the 1st grade students had 9%, 2nd grade 16%, 3rd grade 40%, 4th grade 61%, 5th grade 64%, and the 6th grade 96%. It means almost over half of the 4th grade students and older can understand the concept of rectangular arrays of cubes apriori. Regarding the rate of incorrect answers, it was decreased as grade increased. Generally, the students who conceptualized a set of cubes in terms of faces, could not find the correct answers. They could not understand the face from the front side, but understood 3 faces from the rectangular array of cubes. Even though they had an incomplete concept of rectangular solid, they could understand it and have their own strategies to solve the problem. There was also conceptional confusion of invisible space, volume and four side area, volume and surface area, and so on and so forth among the incorrect type answers. Consequently, elementary school students had approached to solve the problems. These approaches could be categorized by the conceptualization the set of cubes as its faces, as its columns/rows, as forming a rectangular array organized into layer, formula, and etc. Recommendations as a result of the present study are as follows: 1. The students of the 1st grade stay in the visible stage (level I) by van-Hiele. The students of the 2nd grade were transferred from the visible stage (level I) to the understanding of analytical stage (level II). The students of the 3rd grade reached the understanding of analytical stage (level II) incompletely. The students of the 4th, 5th, 6th grades had the understanding of analytical stage (level II). The students of the 6th grade were in the analytical (level II) and theoretical array stage (level III). When the students reach the 4th grade, they can get the psychological and learning preparation. However in our 6th educational curriculum, the concept and the nature of rectangular solid are taught for the 5th grade students at the 2nd semester, and it is also taught for the 5th and 6th grade students in the 7th educational curriculum. This is why this concept of rectangular solid needs to be taught to the 4th grade students. 2. Since there is no learning about the solid geometric shape for the 3rd and 4th grade students in the 6th curriculum as well as in the 7th curriculum, no useful educational effect could be expected. This is why this concept of solid geometric shape needs to be taught to the 3rd and 4th grade students. 3. Finally, our curriculum should include the learning of solid geometric shape to the whole grade students, and teachers should have the teaching-learning method with the appropriate understanding of students solid geometric shape and their developmental level. ; 수학교육에서 도형영역의 주요한 교육목표는 도형의 개념형성이다. 이러한 도형의 개념 형성은 개개의 도형에 대해 아동이 어떠한 자생적 개념을 가지고 있는가를 바탕으로 한다. 따라서 바람직한 교수 학습이 이루어지려면 아동이 도형을 어떻게 이해하고 있는 지 고찰할 필요가 있다. 그런데 최근 제 7 차 교육과정에서는 도형 영역에서 공간 감각이 강조됨으로써 특히 3차원 공간 및 입체도형에 대한 중요성이 더해지고 있다. 이러한 입체도형의 개념 중 가장 기초가 되는 것은 직육면체이고 실제로 교육과정에서도 직육면체가 가장 먼저 다루어지고 있다. 그러므로 본 연구에서는 입체도형 중 직육면체에 대한 초등학교 아동의 개념 이해가 어떠한 지를 알아보려는데 목적이 있다. 이러한 아동의 직육면체에 대한 이해를 알아보기 위해 먼저 국내·외 수학 교육과정의 도형 영역과 아동의 입체도형 이해의 기초가 되는 심리학, 교수학적 이론을 고찰하였다. 아동의 입체도형과 관련된 선행 연구들은 두 가지 방법을 사용하고 있었다. 그 하나는 아동이 입체도형들의 구체물을 보고 2차원 평면 위에 그려보는 활동을 통하여 아동의 입체도형의 이해에 관하여 접근하는 경우이며 다른 하나는 2차원 평면 위에 나타난 입체도형의 여러 가지 속성이나 단위 정육면체(cube)의 배열된 수를 알아보는 활동을 통하여 아동의 입체도형의 이해에 관하여 접근하는 경우이다. 본 연구는 후자의 입장에서 접근하였다. 그 이유는 대부분의 아동이 생활하는 세계는 3차원 공간이고 아동이 갖는 수학 교육적 경험은 2차원적 그림으로부터 얻기 때문에, 아동의 실세계의 2차원적 표상은 수학 학습에서 필요하다고 보았기 때문이다. 이러한 접근에 따라 아동이 직육면체 문제를 해결하기 위해 시도하는 전략의 유형을 범주화하여 학년별 초등학교 아동의 직육면체에 대한 이해의 특성을 밝힘으로써 우리나라 초등학교 아동의 직육면체의 자생적 개념이 무엇인지 알아보고자 하였다. 이에 따른 연구 문제는 다음과 같다. 1. 초등학교 아동이 직육면체 문제를 해결하기 위해 시도하는 전략들은 어떻게 범주화 될 수 있는가? 2. 이러한 전략들은 학년별로 어떠한 특성과 차이를 보이는가? 3. 각 학년 아동의 직육면체 문제에 대한 정·오답률은 어떠한가? 이를 위한 연구방법은 다음과 같다. 본 연구 대상은 서울에 위치한 E 초등학교 1, 2, 3, 4, 5, 6학년 아동 435명으로 각 학년 당 두 학급을 선정하여 문제를 제시한 후, 아동의 문제 해결 전략을 분류하고 분석하였다. 또한 연구대상자 435명 중 80명과의 일 대 일 면담을 통하여 분석을 보다 구체화하였다. 본 연구에서 사용된 검사도구는 Battista & Clements(1996)의 연구에서 사용된 것으로 단위 정육면체가 가로 4개, 세로 4개, 높이 3개로 쌓여진 직육면체의 그림을 제시하고 단위 정육면체의 개수를 묻는 문제였다. 단위 정육면체의 개수를 묻는 이유는 아동이 직육면체에 배열된 단위 정육면체의 개수를 세어보는 것이 그 아동이 직육면체의 전체적인 모양을 어떻게 인식하는지, 그리고 내부의 공간을 어떻게 파악하는지를 나타내주기 때문이다. 면담에서는 분석의 정확성을 알아보고자 실제 쌓기 나무를 준비하여 아동이 원할 경우 이를 가지고 자신의 문제 해결방법을 설명하도록 하였다. 수집된 자료는 Battista & Clements(1996)의 연구를 참조로 귀납적으로 분석하였다. 즉, 아동이 사용한 글, 그림, 그리고 수식 등의 모든 문제 해결 전략을 분석의 대상으로 하여 각 아동의 문제 해결 결과를 하나씩 세밀하게 확인하는 과정을 거쳤다. 전략들이 가지는 유사성에 따라 각 전략을 통합함으로 각 유형의 범주화가 전체적으로 5 가지 형태로 나타났다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 1. 초등학교 아동이 직육면체 문제를 해결하기 위해 시도하는 전략들은 분석한 결과, 5가지로 범주화 될 수 있었다. 즉, 1학년에서 6학년까지 아동 435명이 직육면체 이해와 관련하여 문제를 해결하는 과정 중에 시도한 전략의 범주는 면으로 세기(A)가 31%, 열로 세기(B)가 18%, 층으로 세기(C)가 33%, 공식(D)인 (밑면의 가로)×(밑면의 세로)×(높이)의 사용이 16%, 그리고 기타(E)가 2%로 구분되었다. 또한 각 유형은 다시 하위유형으로 세분화되었다. 면으로 세기(A)에서는 한 면 세기(A1), 두 면 세기(A2), 세 면 세기(A3), 네 면 세기(A4), 다섯 면 세기(A5), 여섯 면 세기(A6), 일곱 면 세기(A7), 여덟 면 세기(A8)로 세분화되었다. 열로 세기(B)에서는 12개의 열 혹은 16개의 열에 있는 단위 정육면체 세기(B1), 두 면에 있는 열의 단위 정육면체 세기(B2), 세 면에 있는 열 또는 내부에 있는 단위 정육면체 세기(B3), 네 면에 있는 열 또는 내부에 있는 단위 정육면체 세기(B4), 다섯 면에 있는 열 또는 내부에 있는 단위 정육면체 세기(B5), 여섯 면에 있는 열 또는 내부에 있는 단위 정육면체 세기(B6), 단위 정육면체를 비체계적으로 세기(B7), 단위 정육면체를 층·열·낱개의 모든 방법으로 세기(B8)로 세분화되었다. 또한 층으로 세기(C)에서는 각 층에 있는 단위 정육면체를 낱개로 세기(C1), 각 층에 있는 단위 정육면체를 더해서 세기(C2), 각 층에 있는 단위 정육면체를 곱해서 세기(C3)로 세분화되었으며 공식(D)과 기타(E)는 더 이상 세분화되지 않았다. 2. 직육면체에 대한 이해를 각 학년별로 보면 다음과 같은 특징이 있었다. 1학년 중 65%가 면으로 세기를 통한 문제 해결을 시도하였다. 그리고 2학년 중에는 45%가 면으로 세기를, 37%가 열로 세기를 시도하였다. 3학년은 39%가 면으로 세기를, 14%가 열로 세기를, 43%가 층으로 세기를 통하여 문제 해결을 시도하였다. 특히, 4학년 중 64%가 층으로 세기를 통한 문제 해결을 시도하여 직육면체의 공간을 구조화하여 사고하며 인지적 조작을 할 수 있음을 확인할 수 있었다. 이는 현행 수학 교육과정에서 3학년과 4학년에 입체도형과 관련된 지도내용이 전혀 제시되어 있지 않음에도 불구하고 4학년 아동이 직육면체에 대한 자생적 개념을 가지고 있다는데 의의가 있다. 5학년 중 36%가 층으로 세기를 시도하였고, 25%가 공식을 이용함으로 공식의 사용이 현저하게 늘어난 것을 알 수 있었다. 이는 교육과정 상에서 아직 공식에 대하여 배우지 않았음을 고려할 때 구조화된 방법으로 문제를 해결하려는 시도가 4학년에 비해 더욱 적극적으로 나타난다는 것을 의미한다. 6학년 중 68%가 공식을 이용하는 것을 통해 가로와 세로, 그리고 높이를 알아냄으로 직육면체의 기본 골격을 구조화하여 인지적 조작을 할 수 있음을 볼 수 있었다. 3. 각 학년 아동의 직육면체 문제에 대한 정·오답률 중 정답의 비율은 1학년이 9%, 2학년이 16%, 3학년이 39%, 4학년이 61%, 5학년이 64%, 6학년이 96%로 나타났다. 과반수 이상이 정답자인 학년은 4학년부터 였다. 이는 4학년 아동이 직육면체의 개념을 충분히 이해할 수 있는 것을 의미한다. 또한 오답과 관련하여 1학년과 2학년의 오답자는 직육면체에 대한 이해에 있어 면을 중심으로 지각하나 정면에서 바라보는 관점인 한 면만을 이해하는 것이 아니라, 보이는 세 면을 이해하고 있었다. 이를 통해 직육면체의 개념이해에 있어서 불완전하지만 입체적인 이해를 하고 있음을 확인할 수 있었다. 아동의 오답은 또한 입체도형의 보이지 않는 부분에 대한 공간 이해의 부족과, 부피와 겉넓이 혹은 부피와 옆넓이에 대한 개념의 혼란을 주된 원인으로 하고 있었다. 결론적으로, 이상의 연구에서와 같이 아동들은 자신의 전략이 구조화되거나 세련되지 못할 지라도 자신이 가지고 있는 이해의 수준을 바탕으로 직육면체의 문제 해결을 시도하였으며 이러한 시도는 면 개념, 열 개념, 층 개념, 공식, 그리고 기타의 유형으로 범주화될 수 있었다. 따라서 본 연구 결과는 다음과 같은 제언을 할 수 있다. 첫째, 1학년의 경우는 van-Hiele의 제 1 수준인 시각적 인식 수준, 2학년은 제 1수준에서 제 2수준인 도형의 분석적 수준으로 넘어가는 과도기, 3학년은 불완전한 도형의 분석적 수준인 제 2수준, 그리고 4학년부터는 제 2 수준인 도형의 분석적 수준의 이해가 충분히 가능하였다. 따라서 입체도형 개념 문제 해결을 위한 심리적인 준비와 학습에 대한 준비는 이미 4학년 아동부터 갖추고 있다고 볼 수 있다. 그러나 우리나라의 경우 입체도형에 대한 개념과 성질을 현행 제 6 차 교육과정은 5학년 2학기에서 제시하고 있고, 제 7 차 교육과정에서는 5학년과 6학년에 걸쳐 다루고 있다. 따라서 입체도형 내용의 기본이 되는 직육면체 개념의 이해를 4학년으로 하향 조정하는 것에 대해 고려해 볼 수 있을 것이다. 둘째, 제 6 차 교육과정과 제 7 차 교육과정 모두 3학년과 4학년에서는 입체도형과 관련된 지도내용이 전혀 제시되어 있지 않음으로써, 4학년에서 직육면체의 이해가 가능함에도 불구하고 학습의 전후 수준의 연결이 이루어지지 않고 있는 실정이다. van-Hiele에 의하면 이러한 중간 과정이 없으면 아동은 자신의 학습 수준에 알맞은 내용이 제시되더라도 어려움을 겪는다고 하였다. 그렇다면 3학년과 4학년에 입체도형 내용이 제시된다면 5학년과 6학년 아동은 입체도형을 학습하는데 있어 자신의 자생적 개념을 확장시킬 수 있고 이를 통하여 학습의 효과는 증대될 것으로 기대된다. 따라서 초등학교 수학 교육과정의 도형 영역을 구성함에 있어 여러 가지 입체도형에 대한 경험을 전학년에 걸쳐 제시하는 것이 바람직하다고 볼 수 있겠다. 그리고 이러한 교육과정을 통한 교수 학습과정에서, 교사는 학습자의 전반적인 발달 수준 뿐 만 아니라 학습자가 가지고 있는 입체도형의 이해과정을 구체적으로 파악하여 아동으로부터 적절한 교수학습 방법을 유도하는 것이 필요할 것이다.
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