함수와 방정식, 부등식 사이의 연결 능력 향상을 위한 Computer Algebra System의 활용 효과

Abstract

NCTM(2000)은 21세기를 살아가야 할 학생들은 일상 생활에서든 직업 생활에서든 수학적 지식을 자신 있게 사용할 수 있어야 한다는 점을 강조하면서 수학적 문제 해결력, 증명과 추론능력, 의사소통능력, 수학적 연결성과 표현력의 신장을 위한 다양한 교수 학습 방법과 테크놀로지의 활용을 강조하였다. 과거의 단편적인 사실이나 절차의 암기나 지필 기능의 효율성을 강조하는 것에서 개념적 이해, 다양한 표상이나 연결성, 수학적 모델링, 수학적 문제해결을 강조하는 쪽으로 방향이 전환되어야 한다. 특히, 대수와 기하 영역간 수학적 개념의 통합은 중요한 연결 역할을 하는 그래프와 함께 특히 중요하다고 강조한다. 컴퓨터 그래픽 기술은 이러한 연결성의 탐구를 가능하게 한다. 이 접근은 대수적 조작 기능을 선행 조건으로 요구하지 않기 때문에 모든 학생들로 하여금 흥미있는 문제를 해결하며 중요한 수학적 아이디어를 탐구할 수 있게 한다. 수학적 개념망을 중시하는 수업은 학생들로 하여금 수학적 힘과 아름다움을 음미하고 이해하게 한다. 수학을 통합된 전체로 보는 것은 수학적 개념의 기억 및 전이를 위한 잠재력을 증가시키며 수학을 다른 과목이나 일상생활과 연결시키는 것은 그 유용성을 강조한다. 본 연구는 그래픽 기능과 수치 계산, 대수적 계산, 프로그래밍 등의 다양한 환경을 제공하고 있는 Computer Algebra System(CAS)의 일종인 컴퓨터 소프트웨어 Maple을 활용하여 이차함수와 이차방정식·이차부등식 사이의 수학적 개념 연결 능력 향상에 어떠한 효과가 있는지 살펴보고자 한다. 본 연구에서는 고등학교 1학년 이차함수의 활용 단원에서 Maple을 활용하여 그래프를 시각화하여 제시하고, 대수적 계산을 통해서 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계를 보다 더 쉽게 이해할 수 있도록 한다. 본 단원의 학습을 위하여 자료를 개발하고 학생들에게 적용한 후 개념 학습과 계산 기능 학습에서의 학업성취도와 학습태도에 대한 효과와 반응을 분석함으로서 효율적인 지도 방안을 모색하는데 목적이 있다. 위에서 살펴본 연구의 필요성과 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 세 가지 연구 문제를 설정하였다. 1. Maple을 활용한 실험집단과 전통적인 지필 방식으로 학습한 통제집단 사이의 이차함수와 이차방정식·부등식의 관계에 대한 학습에서 개념 이해에 차이가 있는가? 2. Maple을 활용한 실험집단과 전통적인 지필 방식으로 학습한 통제집단 사이의 이차함수와 이차방정식·부등식의 관계에 대한 학습에서 계산 능력에 차이가 있는가? 3. Maple을 활용한 실험집단과 전통적인 지필 방식으로 학습한 통제집단 사이의 수학 학습 태도에서 차이가 있는가? 이러한 연구 문제의 해결을 위하여 경기도 부천시 소재 인문계 S고등학교 두 반(65명)을 연구 대상으로 하였으며, 한 반은 실험집단으로 한 반은 통제집단으로 선정하였다. 연구를 위한 실험처치로 실험집단의 학생들에게는 주로 컴퓨터실에서 Maple을 활용한 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계에 대하여 학습하였고 통제집단의 학생들에게는 컴퓨터를 사용하지 않은 교실환경에서 전통적인 지필 방법으로 학습을 하였다. 본 연구에서 설정한 연구문제를 해결하기 위해서 개념 학습과 계산 기능 학습에서의 학업성취도와 수학 학습에 대한 태도검사가 실시되었다. 학업성취도에 대한 검사는 개념 학습과 계산 기능 학습으로 나누어 사전-사후 동형 검사지를 제작하여 실시되었다. 수학 학습에 대한 태도 검사는 학습 태도, 자아 개념, 수학의 유용성, 문제 해결의 융통성, 컴퓨터 활용 인식 5개 영역으로 범주화하여 제작된 검사지로 사전-사후 동일한 것으로 실시되었다. 본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다. 첫째, 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계 이해에 대한 학습에서 Maple을 활용한 실험집단의 학생들과 지필식의 전통적인 학습을 한 통제집단의 학생들 사이에 개념 학습 면에서 유의한 차이는 나타나지 않았다. 둘째, 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계 이해에 대한 학습에서 Maple을 활용한 실험집단의 학생들과 지필식의 전통적인 학습을 한 통제집단의 학생들 사이에 계산 기능 학습 면에서 유의한 차이는 나타나지 않았다. 셋째, 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계 이해에 대한 학습에서 Maple을 활용한 실험집단의 학생들은 지필식의 전통적인 학습을 한 통제집단의 학생들과 비교하여 수학 학습에 대한 태도에서 유의수준 .05에서 유의한 차이를 보였다. 특히, 실험집단 학생들은 통제집단 학생들보다 자아개념, 수학의 유용성, 문제해결의 융통성 영역에서 유의수준 .05에서 유의한 차이를 보였다. 실험집단의 사전-사후 태도 변화를 비교해 보면, 수학적 유용성과 문제해결의 융통성에서 유의수준 .05에서 유의한 향상이 나타났다. 결론적으로 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계 이해에 대한 학습에서 Maple을 활용한 실험집단의 학생들과 전통적인 지필식 수업을 한 통제집단의 학생들과 비교하여 개념 이해와 계산 기능 학습에서 유의한 차이가 나타나지 않았다. 실험집단은 정규 수업시간이 아닌 방과후에 수업이 이루진 점이 수학 학습 태도면에서 나타난 긍정적인 학습 동기의 측면이 학업성취도로 연결되어 나타나지 않은 것으로 보인다. 실험집단 학생들은 정규 교과 시간을 통해서 수업과 검사를 실시한 통제집단과 비교하여 진지함이 부족했던 것으로 보인다. 그럼에도 불구하고 계산 기능 학습보다 개념 학습에서 집단간의 실제적인 평균차이가 더 크게 나타난 것을 통해서 컴퓨터를 활용한 수업이 계산 기능 학습보다 개념 학습에 좀 더 효과적이라는 것을 알 수 있다. 또한 수학 학습 태도면에서 지필 수업과 달리 컴퓨터를 도구로 사용한 수업은 학생들의 활동을 적극적으로 유도하였고, 수학에 대한 유용성과 문제 해결에서 여러 가지 방법이 있다는 융통성을 인식할 수 있었다는 점에서 수학적 영역간의 연결 능력을 향상하는데 긍정적이라고 할 수 있다. CAS를 활용한 이차함수와 이차방정식·이차부등식의 관계 지도에서 다음과 같은 제한점과 제언이 있다. 본 연구의 실험기간은 약 6-8차시로서 매우 짧은 기간동안 이루어졌다. 짧은 기간동안 처음 대하는 프로그램의 습득과 이를 활용하여 수학적 개념의 습득으로 연결하기에는 충분한 시간이 부족하였다고 생각된다. Maple 사용에 대한 충분한 이해를 가지고 있었다면 본 단원의 특성과 Maple의 장점을 활용한 수업을 통해서 보다 긍정적인 학습 효과를 기대할 수 있으리라고 생각된다. 본 연구에서 제작된 학업성취도 검사지의 난이도가 높게 제작되어 학생들의 향상 정도를 비교하는데 어려움이 있었다. 다양한 수준의 문항들로 구성된 검사지 제작의 중요성이 요구된다. 마지막으로 테크놀로지를 활용한 수업이 효과적으로 이루어지기 위해서는 적절한 교수 환경이 뒷받침되어야 한다. 컴퓨터실을 컴퓨터 교과뿐만 아니라 여러 교과에서 사용이 가능하도록 시설의 확충과 지원이 절실히 요구된다. ; NCTM(2000) emphasizes that students who will live in the 21st century should be able to use mathematical knowledge in everyday life or in their jobs. In addition, they emphasizes various mathematical teaching methodology and the application of technology in order to improve ability of mathematical problem solving, proving, reasoning, communicating, and expressing. They focus on changing direction to the conceptual understanding, various representation, connection, mathematical modeling, and mathematical problem solving from the fragmentary knowledge, procedure memorizing, and paper and pencil skill. Integration of ideas of algebra and geometry is also heavily important with graphs as an connection. Computer graphic technology make the investigation of the connection possible. This approach does not require the algebraic manipulation as a precedent condition. That is why all of the students are able to solve interesting problems and to search more important mathematical ideas. Due to the application of computer, the root of equation will be obtained through numerical analysis unlike the past. This strengthens the connection between function and equation. This study aims to examine the effect of the use of Maple, a kind of CAS, for the purpose of improvement of the connection ability on the understanding of the relationship among function, equation, and inequality equation. For this study, three research questions follow: 1. there are two groups; experimental group who use Maple and control group with pen-based learning traditionally. Does the achievement test in conceptual learning show any difference of the two group? 2. Is there any difference in calculation learning achievement of the two group? 3. Is there any difference in the attitude of the two groups? For this study, the two match classes numbered 65 high school students of "S" high school in Buchon had been taught. The experimental group students had been taught in computer lab. And the control group students had been taught in traditional classroom without computers. The main results of this study are as following: First, there is little difference of conceptual learning achievement between the experimental group and control group. Second, there is little difference of calculation learning achievement. between the experimental group and control group. Third, there is a significant difference in students attitude between the experimental group and control group in 5% meaningful levels. Implementation of Maple improved students attitude toward mathematics. Experimental group students showed the positive for the usefulness of mathematics and flexibility of the method in problem solving after the implementation. In the light of these results, it seems to have some following expectations on the learning with Maple. First, CAS affect positively on mathematical learning attitude because student take part in learning actively. Second, CAS can motivate the modeling for the various situation in real world showing two more expressions at the same time. Third, CAS motivates the graph activities, which is one of powerful tools in function learning and helps to try to approach to the function graphically not any more than symbolically.