중학생의 확률 직관에 의한 오개념 유형 분석

Abstract

본 논문은 실생활과 밀접한 관련을 지니며, 다른 학문 분야에 널리 이용되는 확률 개념에 관한 것이다. 확률은 계산 다음으로 가장 직접적으로 인간 생활에 적용되는 수학의 한 분야이며, 최근 수학교육의 초점이 되고 있는 문제 해결력 향상을 위한 교육과도 그 맥락을 같이 한다. 그러나 학생들은 확률 개념의 학습에서 여러 가지 유형의 어려움에 직면하며, 이러한 어려움은 확률에 대한 자연스런 직관과 확률 이론 사이의 불일치에 기인한 것이다. 그러나 확률의 교수 학습에 관한 연구는 아직도 미흡한 실정이다. 따라서 본 연구는 앞서 Borovcnik, Bentz, Kahneman, Tversky, Shaughnessy, Bergman 등의 연구에서 밝혀진 판단 전략(대표성, 유용성), 결과접근, 최근효과, 인과성, 접속의 법칙, 조건부 과제 등을 확인·수정·보완하여 학생들이 가지고 있는 확률 직관에 의한 오개념의 유형과 원인을 분석하여 현장의 교사에게 오개념의 교정 지도의 실시를 위한 참고자료을 제공하는 것을 목적으로 하였으며, 이를 위하여 선행연구에서 사용되어진 오개념 검사 문항에 대한 학생들의 반응을 조사하고, 그동안 사용되어왔던 검사문항 자체에는 문제점이 없는지 분석하였다. 본 논문은 확률 개념의 역사적 고찰, 심리학적 고찰 등을 통하여 이론적 배경을 마련하였다. 우선, 확률 개념의 역사적 고찰을 통해서 첫째, 역사 속의 수학자들과 마찬가지로 현재의 학생들도 확률 개념 형성이 그리 쉽지 않을 것이라는 것과 둘째, 확률의 수학화 과정에서 발생한 여러 패러독스들을 통하여 학생들의 오개념의 유형을 간접적으로 살펴볼 수 있었다. 또한 확률 개념은 어느 하나의 관점만으로 확률 현상의 의미를 규정할 수 없으며, 현상의 특징에 따라 각각의 관점을 도입하지 않을 수 없음을 확인하였다. 즉, 확률 개념 또는 현상은 하나의 관점에 입각하여 다룰 수 없으며 여러 관점이 통합되어야 비로소 올바르게 논의될 수 있다. 따라서 학생이 확률 개념을 이해하는 것이 그리 쉽지 않음을 알 수 있었다. 한편, 확률 개념의 심리학적 고찰에서는 확률 직관과 확률 개념 발달에 관한 연구들을 살펴보았으며, 이를 통하여 오개념이 확률적 판단 상황에서의 부적절한 연역적 절차의 사용으로 인해 생긴다는 것을 확인할 수 있었다. 이와 같은 이론적 배경을 바탕으로 하여 외국의 선행연구에서 사용되어진 문항들을 중심으로 제작된 17개의 검사문항을 77명의 표본 학생들에게 투입하여 그 결과를 여러 가지 판단 전략에 주목하여 분석하였다. 그 결과 외국의 선행 연구에서 그랬던 것처럼 우리 나라의 중학생들에게도 확률 직관으로 인한 여러 가지 유형의 오개념이 존재함을 확인할 수 있었다. 그 구체적인 내용은 다음과 같다. 첫째, 최근효과로 인하여 오류를 범한다. 최근 효과란, 예를 들어 두 가지 사건이 가능할 때 여러번 시행한 결과가 한 가지 사건에만 치우쳐 있을 경우에 일어나는 주체의 반응을 설명한 것이다. 그러나 긍정적 최근효과를 일으키는 전략은 다른 수학 교육에서 다루기 어려운 귀납적 분석과 맥을 같이 한다고 볼 수 있으므로 무조건 거부되어서는 안된다고 생각한다. 둘째, 학생들은 아무리 작은 표본이라고 하더라도 표본이 모집단과 아주 흡사하기를 기대하며, 또한 표본의 표출 과정이 체계적인 패턴을 가지지 않는 무작위성을 대변하기를 기대하는 대표성 전략을 사용함으로써 오류를 범한다. 또한 표본의 크기에 대한 효과에 대해선 무지하다. 셋째, 학생들은 즉각적인 확률적 판단을 요구하는 상황에서 문제를 단순화시켜 비례 전략을 사용함으로써 오류를 범한다. 넷째, 학생들은 대칭성이 가정되지 않는 사건의 확률을 구할 때조차 대칭성을 가정해버리거나 상당히 어려워하며, 심지어 구할 수 없다고 말한다. 이는 현재의 확률 교육이 수학적 확률 위주로 구성되었기에 비롯된 문제점이라 할 수도 있겠다. 다섯째, 학생들은 두 시행이 서로 영향을 미치지 않는 독립시행임에도 불구하고 차례로 일어나는 두 시행은 항상 연관이 있다고 생각하는 경향이 있음을 알 수 있다. 여섯째, 학생들은 두 사건의 경우의 수 또는 확률을 비교하는 문제 상황에서 즉각적인 해결을 위해 수학적으로 계산하려하지 않고 직관적으로 그 예를 상상해 봄으로써 판단을 내린다. 일곱째, 학생들은 두 가지 사건이 동시에 일어날 확률을 계산할 때, 두 사건 간의 관련성에 집중하여 수학적인 아이디어―동시에 일어날 사건의 확률은 각각의 확률값을 곱하는 것이므로 확률값이 작아진다―가 간과되어 오류를 범한다. 이는 우리말 자체가 가지는 애매함으로 인한 영향이 크다는 것도 확인할 수 있었다. 또한 이러한 오개념은 교육과정 상에 "사건 A가 사건 B의 부분 집합이면 사건 B가 일어날 확률은 사건 A가 일어날 확률보다 크거나 같다"라는 확률의 성질을 추가한다면 이러한 오개념의 교정지도에 효과적이라고 생각한다. 여덟째, 학생들은 시간축에 따라 추론하기 때문에 시간적으로 나중에 일어난 사건에 관한 정보를 고려하지 않음으로써 오류를 범한다. 아홉째, 학생들은 항상 어떤 전략을 이용함으로써 오개념을 가지는 것은 아니다. 때론 주어진 조건에 대한 정보를 올바르게 해석하지 못함으로써 오류를 범하기도 한다. 한편, 본 연구시 사용되었던 검사 문항 중에서 최근 효과와 관련된 문항은 문항 자체가 학생들을 확률 교육의 목적과 맞지 않는 방향으로 유도하고 있어 문제가 되었다. 또한 어떻게 해석하는가에 따라서 전혀 다른 결과를 낳을 수도 있으므로 확률 오개념을 검사하기 위한 문항으로는 적당하지 않다고 생각되는 문항도 포함되어 있었다. 또한 문항 자체가 오개념 확인을 위하여 억지스럽게 꾸며져 있는 문항도 있었다. 이와같이 그동안의 선행연구에서 사용되어졌던 문항들 중 적지 않은 수가 검사 문항 자체로의 문제점을 가지고 있으므로 이러한 문항을 통해 얻어진 결과를 오개념이라고 단정짓기에는 의문이 남는다. 따라서 앞으로 오개념 확인을 위한 후속 연구에서는 검사 문항 자체로 인한 영향까지도 고려해야 할 것이며, 또한 그동안의 선행연구에서 사용된 기존 문항에 대한 보다 면밀하고 전문적인 분석 및 검토가 우선되어야 할 것이다. ; This study is intimately related to the real life, about the probability conception which is applied in other disciplines. Following calculation, the probability is one branch of mathematics which is applied to the human life, is consistent with the education of solving-problems improvement focused on mathematics education recently. But, students seem faced with the variety of difficulties in the study of the probability conception. These difficulties, also, result from the non-consistency between the natural intuition of the probability and the probability theory. So, the purpose of the study analyzes the forms of the misconception in the probability intuition and the reason for it, provides the teachers on the spot with the materials for the correct-instruction implementation of the misconception. To attain this goal, I made a survey of 17 questions for 77 students. This study offered the theoretical background through the historical, psychological, speculation of the probability conception. In the historical analysis of the probability conception, I can see indirectly that it is not easy for students to make a form of the probability conception as the mathematic scholars did, and they commit a variety of misconception through the paradox occurred in the process of mathematics. Injecting the 77 sample students with the 17 questions produced by these theoretical background, in the consequence of the analysis of the result paid attention to the several judgmental heuristics, I can check the existence of the various misconception originated from the probability intuition in the our middle school students as the precedent study did. Following as the details. First, they commit an error from a recency effect. Recency effect explains the subjects response to the case of the one event much more occurrence in the result of the several tests in the two possible occurrences. But, I think that we should not reject it without any reason, because the strategy of bringing about positive recency effect has much with the inductive analysis difficult to handle in the other mathematic education. Second, even though the least sample, students expect the sample to be as very likely as the mother group. Using the representativeness strategy of expectation of representing the randomness which does not systematic pattern in sampling process, they make an error. Also, they are ignorant of the effect on the samples size. Third, they commit an error by using proportional strategy to simplify the matters in the circumstances of demanding the immediate judgment. Fourth, students suppose the symmetry even where is not supposed, feel it difficult to solve the problem, even say they cannot catch the right answer. This can be said to result from structure of the mathematical probability in the current probability education primarily. Fifth, students always have tendency to relate the one to the other subsequent implementation, even though they are independent implementations which have no effect on each other. Sixth, students make a judgment by imagining the example intuitionally without calculating the problem in comparing two events case or the probability. Seventh, when students calculate the probability which two events will occur concurrently, they so much pay attention to the relation between two events that they are neglect of mathematic idea-As the probability of the two concurrent event is answered by multiplying one and the other- the answer decreases. So, they commit an error. I can check that the ambiguity of our language itself much affects on it. Also, I think that we can overcome, to the extent of it, the misconception by including the trait of the probability of monotonic increasing function in the education process. Eighth, students commit an error by not considering the information of the following event in time schedule, because they induce it following time. Ninth, students do not always have the misconception by using a certain strategy. Sometimes, they commit an error by not interpreting the presupposed information correctly. By the way, some of the questions in the survey lead a direction that does not correspond to the purpose of the probability education, can produce an expected result according to the interpretation. As a result of it, we have to take the impact of the question itself into consideration when we intend to make a study of the misconception confirmation. Also, the delicate review makes sense, because some of the questions can lead a wrong direction according to the interpretation. So, I anticipate the subsequent study will continue.