탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 증명 학습

Abstract

중요한 수학 교육의 목표로 연역적 추론 능력과 같은 수학적 사고력의 신장을 강조하고 있음에도 불구하고 현장 교실에서는 사고의 과정보다는 결과를 중시하고, 암기하며 기계적으로 문제 상황에 적용하는 교육이 현실이다. 연역적 추론 능력의 신장을 목표로 하는 증명 학습에 있어서도 많은 시간을 할애하여 이루어지고 있지만, 학생들은 증명을 어려워하고 필요성을 느끼지 못하며 성취도 또한 극히 낮다. 또한, 증명의 패턴을 단순히 암기하여 사용하고 증명의 과정보다는 결과 이용에 치중하고 있는 실정이다. 이 연구에서는 탐구형 기하 소프트웨어의 하나인 Cabri II를 활용한 증명 학습이 증명에 대한 이해와 학생들의 수학에 대한 태도의 신장에 유용한지를 알아보기 위하여 구체적으로 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 탐구형 기하 소프트웨어(Cabri II)를 활용한 학습을 하기 전 전통적인 지필 환경에서 이미 증명 학습이 이루어진 중학교 3학년 학생들의 증명에 대한 이해도가 어느 정도인가? 2. 탐구형 기하 소프트웨어(Cabri II) 환경은 증명의 구성 요소에 대한 이해에 어떤 영향을 미치는가? 3. 탐구형 기하 소프트웨어(Cabri II) 환경은 기호화, 도형의 해석 능력 및 증명에의 이용, 가정과 결론의 구분에 어떤 영향을 미치는가? 4. 탐구형 기하 소프트웨어(Cabri II) 환경은 수학에 대한 태도에 어떤 영향을 미치는가? 이러한 연구 문제를 해결하고자 이 연구에서는 서울시 소재 J중학교 3학년을 대상으로 3월 셋째 주 증명의 구성 요소에 대한 지필 검사를 실시하였고, 동일 학교 3학년 학생 4명을 대상으로 6회에 걸친 활동 수업을 실시하였다. 활동 수업의 과제 구성은 연구 대상자들이 이미 증명 학습이 이루어진 점을 감안하여 교과서 밖의 문제 상황과 컴퓨터를 활용하여야 해결할 수 있는 문제 상황을 중심으로 제작되었다. 학생들의 활동 수업의 관찰과 지필 검사, 녹음, 녹화, 활동지, 비공식 면담, Cabri II에 저장된 내용을 바탕으로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 탐구형 기하 소프트웨어(Cabri II)를 활용한 학습을 하기 전 전통적인 지필 환경에서 이미 증명 학습이 이루어진 중학교 3학년 학생들의 증명에 대한 이해도가 어느 정도인지 알아보기 위하여 서동엽(1999)의 증명의 구성요소에 관련된 조사 문항을 가지고 지필 검사를 실시한 결과 추론의 구성과 관련된 지필 검사 1에서는 대부분 높은 성취를 보였지만, 그 중 몇 개 요소인 추론규칙 의 조건삼단논법 , 정의와 성질의 구분 , 기호화 , 문장화 의 요소에서는 많은 학생들의 이해가 이루어지지 못함을 알 수 있었다. 또, 증명의 의미와 관련된 요소에 있어서는 모든 문항에서 낮은 성취도를 보였다. 둘째, 탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 증명 수업 후 증명의 구성 요소에 관한 사후 검사를 실시한 결과 추론의 구성과 관련된 요소에 대해서는 맞꼭지각, 동위각, 엇각 과 삼각형의 합동 조건 을 이용한 기본적인 원리의 이용 과 도형의 해석 및 증명에의 이용 , 기호화 에 있어서는 긍정적인 변화를 확인할 수 있었고, 그 중 기호화 는 네 명의 학생에게 있어 공통적인 변화였다. 그러나, 정의와 성질의 구분 , 적절한 그림의 이용 에서는 긍정적인 변화를 확인할 수 없었다. 또, 증명의 의미와 관련된 요소에 있어서는 공통적으로 가정과 결론의 구분 과 추론의 연결관계 에 긍정적인 변화가 있음을 알 수 있었다. 그러나, 학생 A와 B에게서는 함의와 동치의 구분 에 긍정적인 변화를 확인할 수 없었고, 학생 C와 D에게서는 명백한 명제에 대한 증명의 필요성 과 증명의 일반성 에 긍정적인 변화를 확인할 수 없었다. 셋째, 탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 증명 수업은 기호화와 도형의 해석 및 증명에의 이용, 가정과 결론의 구분에 긍정적인 영향을 미쳤다. 기호화에 있어서는 탐구형 기하 소프트웨어 환경에서는 작도 과정 중 도형의 이름을 붙여주는데, 같은 성질을 나타내는데, 점과 선 등이 겹쳤을 때 구분하기 위해, 복잡한 상황에서, 증명 쓰기의 과정에서 기호화를 자주 사용하였다. 또한, 작도 문제 해결을 위하여 도형의 기본 개념에 주목하게 되고 도형의 성질을 추측하며 자신의 추측을 뒷받침하기 위하여 도형이나 도형들 사이의 관계에 주목하려는 생각을 하게 됨으로써 도형의 해석 능력 및 증명에의 이용에 도움이 되었다. 가정과 결론의 구분에 있어서는 증명해야 할 명제가 미리 주어지지 않고 학생들이 문제 상황을 이해하고 작도의 과정을 통하여 증명해야 할 명제나 도형의 성질을 스스로 탐구하여 발견하도록 함으로써 의도하지 않게 가정과 결론의 구분에 긍정적인 영향을 주었다. 넷째, Cabri II를 활용한 증명 학습 활동이 학생들의 수학에 대한 태도에 어떤 영향을 주었는지 학생 개개인별로 분석한 결과 탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 증명학습이 모든 영역에 긍정적인 영향을 미친다고는 할 수 없지만, 수학 학습에 대한 자신감 영역에서는 긍정적인 영향을 준다고 할 수 있고, 수학의 유용성과 수학 학습에 대한 동기성에서도 전반적으로 긍정적인 영향을 미침을 확인할 수 있었으며, 반면에 수학의 성공에 대한 태도에서는 오히려 부정적인 영향을 확인할 수 있었다. 이상의 연구 결과로부터 중학교 증명 학습에서 탐구형 기하 소프트웨어의 활용이 학생들의 증명활동에 긍정적임을 확인할 수 있었다. 탐구형 기하 소프트웨어를 교실 수업에 어떻게 통합하여 활용한 것인지를 좀 더 구체적으로 연구할 필요가 있고, 교과서와 평가 방식도 이에 발맞추어 변화될 필요가 있다. 또한, 활동 수업을 하면서 학생들의 개인차를 인정하고 극복할 수 있는 탐구형 기하 소프트웨어를 활용한 수준별 학습에 관한 연구의 필요성을 느꼈고, 탐구 활동에서 안내자로서의 교사의 역할 재정립이 중요함을 깨달았다.; Currently the development of mathematical thinking such as deductive reasoning has been emphasized as one of the important objectives of mathematical education. However, school mathematics still focus on the result rather than the process of thinking and ask the students to memorize it and solve the problem mechanically. We have spent a lot of time to teach proofs learning which aim the development of deductive reasoning ability, but a great deal of the students still not only feel it difficult and unnecessary, but also they get a very low achievement. Also, They simply memorize the patterns of proofs and focus on the use of the result rather than the process of the proof. The purpose of this study is to find out how helpful it would be for students to use one of exploratory geometry softwares, Cabri Geometry II for their proofs learning and their attitude for mathematics. The followings are questions regarding this study: First, how well the third year students in middle school, who already have learned proofs in traditional paper and pens classroom, understand about proofs before students use exploratory geometry softwares, Cabri Geometry II? Second, how does the exploratory geometry software affect the students understanding and acceptance of constituents of proofs? Third, how does the Cabri Geometry II affect students ability to symbolize, interpret, and use the basic components of geometric figures for proofs and separation of assumption and conclusion? Fourth, how does the software affect students attitude about mathematics? For these questions, the third year students in J middle school in Seoul were tested about constituents of proofs, and six times activity instructions were performed for four students among the same group. The activity instructions were composed of the problem solving situations which are beyond the textbook and should be solved by using computer, because the students who attended the research had already studied proofs. The following conclusions can be drawn through the observation of the activity instructions, test, recordings, video tapes, work sheets, informal interviews. First, after the students were tested with questionnaires which were based on Seo Dong Yeop s (1999) research to solve the first given question above, most of the students showed very good achievement in the test I about constituents related to the construction of reasoning. However, many students didn t show any evidence of understanding about the rule of reasoning , hypothetical syllogism , distinction between definition and property , symbolization , translating symbols into literary compositions . Also, they showed very low achievement in the all the constituents related to the meanings of proofs. Second, the students showed very affirmative change in the constituents related to the construction of reasoning such as utilization of basic rules like vertically opposite angles, the corresponding angle, alternate interior angles , the congruence conditions of triangles , interpret and using the basic components of geometric figures to prove , and symbolization . Especially four students showed common change in the field of symbolization . However, there was no evidence of change in the distinction between definition and property and using appropriate figures . In addition, even though the students showed a positive change in the separation of assumption and conclusion and relationship among reasoning regarding the constituents related to the meanings of proofs. But student A and B didn t show any positive change in the distinction between connotation and equivalence , and student C and D didn t show in the necessity of proofs about obvious thesis , and generalization of proofs . Third, the proofs class using the software had a affirmative influence on symbolization , interpret and using the basic components of geometric figures to prove , and separation of assumption and conclusion . In case of symbolization, the students often used the exploratory geometry software in the process of drawing figures when they had to name for figures, show common properties, distinguish dot and line or when they were in complex situation. Also, it was useful for the ability to interpret figures or use on the proof because they became to focus on the basic components of geometric figures, guess the properties of figures, and concentrate on the relationship between figures for the proving of their guess. In case of separation of assumption and conclusion , while theses which should be proved were not given and the students were asked to understand the problem solving situation and find out the properties of the figures through drawing figures for themselves. the students showed the affirmative changes incidentally. Fourth, after searching for the effect of using Cabri Geometry II software on the students attitudes about mathematics, the result showed that the proof learning using the geometry software didn t have positive effect on the all the areas of attitudes about mathematics. Nevertheless, the positive effect on the confidence about mathematics, utilization of mathematics, motivation on the mathematics was confirmed. On the other hand, there was negative effect on the attitude about the success of mathematics. These facts show that using exploratory geometry software in proof learning in middle school was very positive. However, the following statements after the above results can be suggested. - More research should be needed about how the software can be used in the classroom. - Textbook and the way of evaluation should be changed according to the change of mathematics education. - The necessity of research about leveling should be emphasized to overcome the difference of level between students - The importance of teacher s role as a guide in the activity should be considered.