Calculator-based ranger(CBR)을 활용한 그래프 능력의 변화 과정에 관한 연구 : 세 학생의 사례 연구

Abstract

함수 개념에서 그래프는 어떤 상황에서의 규칙성을 발견하고 분석하는데 효과적인 역할하며 학생들 사이의 수학적 의사소통에서 의미 있는 수단으로 사용되고 있다. 그러므로 그래프는 함수 개념을 표현하는 여러 가지 표상들 중에서 가장 함수의 성질과 특성을 쉽게 인식할 수 있도록 도와주며 변화 현상을 해석하는 강력한 시각적 도구로 제시되고 있다. 이러한 함수에서의 그래프의 중요한 역할에도 불구하고 그래프의 기울기나 기울기의 변화량에 관하여 정보를 분석하고 그래프를 실세계의 상황과 연결하는 문제나 그래프의 전체적인 모양을 파악하여 해석하고 분석해야 하는 문제, 그리고 그래프의 기울기의 의미. 양과 음의 기울기 값의 의미, 주어진 그래프를 보고 그에 해당되는 물리적 사건을 추측하는 문제에 있어서는 대부분의 학생이 많은 어려움을 겪고 있다. 그래프 학습에 있어서 이러한 문제점이 발생하는 이유로는 학교 수학에서 함수의 그래프를 학습할 때 주로 좌표값이나 함수값등을 사용하여 그래프를 그리고 기울기를 계산하거나 기울기와 좌표을 이용하여 그래프를 그리는 등의 점별 접근법만을 주로 사용하고 그래프 모양의 특징을 근거로 하여 그와 비슷하도록 그래프의 모양을 추측하고 만들어 가는 접근법인 질적인 접근법의 도입이 간과되고 있기 때문이다. 그러므로 본 연구에서는 CBR을 활용한 그래프 교수-학습을 통해 학생들의 그래프 능력이 어떠한 과정을 통해 변화되고 있는지를 조사하여 함수의 그래프 학습의 방향을 제시하고자 하였으며 구체적으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 함수의 그래프 개념의 선행 지식의 정도에 차이를 나타내고 있는 세 학생이 CBR을 활용한 과제 학습을 통해 그들의 그래프 능력이 어떠한 과정을 거치면서 변화하고 있는가? 2. 학생들이 과제 학습을 할 때 발생하고 있는 그래프 해석에 대한 오류에는 어떤 것이 있는가? 이러한 연구 문제를 해결하고자 본 연구는 질적 사례 연구방법을 택하여 서울에 있는 S중학교 학생 세 명을 대상으로 약 5주에 걸쳐서 5회에 걸친 과제 학습을 실시하였다. 학생들이 과제 학습을 하는 동안 그래프 해석의 접근법의 변화를 관찰하고 분석하기 위해서 공식면담과 그래프 능력 검사를 실시하였으며 학생들의 학습 내용은 연구자에 의해 관찰되었다. 그 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들은 CBR을 활용한 과제 학습 과정을 통해 그래프를 해석하는 방법의 변화를 관찰하면 학습의 초기에는 상황을 해석하고 이에 따른 활동을 예측하면서 그래프를 해석하는 질적인 해석법을 주로 사용하였으며 CBR을 통한 과제 학습을 거치면서 그래프의 수학적 개념인 기울기, y절편 등을 이용하여 그래프를 해석하는 변화율적 접근법으로 점차적으로 변화하고 있다. 또 그래프 능력의 변화 과정은 연구 대상 학생이 가지고 있는 함수의 그래프 개념의 선행 학습의 정도에 따라 차이를 보이고 있다. 함수의 그래프 개념에 대한 선행 학습이 전혀 이루어지지 않은 학생 A의 경우는 그래프를 해석하는 데 있어서 질적인 해석에 자연스럽게 접근하는 것이 가능하며 과제 학습을 통해 변화율적 접근으로 변화하고 있는 반면, 학교 교육을 통해 함수의 그래프 학습이 이루어져 있는 학생들은 점별 접근법을 통한 그래프 해석을 통해 식과 좌표에 매달려 그래프를 해석하려는 경향을 나타내고 있으며 이후 과제 학습을 통해 점차적으로 변화율적 접근법을 사용하고 있다. 세 학생의 과제 학습의 과정에서 나타난 그래프 해석 방법에서의 차이점은 그래프 능력 검사의 결과에서도 확인되고 있다. 학생 A의 경우 학생 B, C의 경우보다 사전 검사에 비해 사후 검사의 향상의 정도가 월등히 높았으며 사후 검사의 정답율 또한 세 학생 중 가장 높은 점수를 획득하였다. 즉, 함수의 그래프 학습에 있어서 질적인 해석과 변화율적인 해석의 조화로운 발전이 학생들의 그래프 능력의 향상에 많은 효과를 나타내고 있다는 것을 알 수 있다 둘째, 학생들이 그래프를 해석하는 과정에서 발생하는 오류는 그림으로서 그래프를 해석하고, 문제에 제시된 언어적 표현에 의해서만 그래프를 추측하고, 거리 개념과 속도 개념의 관계에 대해 잘못된 일반화를 이용하면서 주로 나타나고 있다. 이러한 오류는 학습 초반에는 기본적으로 학생이 지니고 있는 함수의 그래프 개념의 오류들을 나타내고 있으나 CBR을 통한 과제 학습을 거치면서 점차적으로 이러한 오류들은 그래프를 해석하는데 있어서 변화율적 접근법을 사용하는데 발생되는 오류로 변화, 관찰되고 있다. 즉 CBR은 함수의 그래프 학습에서 학생들은 그들 자신이 만든 이론을 실험할 수 있으며 과학적인 이론을 빠르고 쉽게 주어진 그래프에 제공할 수도 있고 전통적인 수학 수업의 한계를 극복할 수 있다는 점에서 그래프를 해석할 때 나타나는 이러한 오류들을 제거할 수 있는 유력한 환경을 제공하고 있다. 이러한 결과를 기반으로 학교 교육에서의 함수의 그래프 학습의 방향을 살펴 보면 함수의 그래프 교수-학습과정에 계산 알고리즘을 강조한 과정(process)으로서의 관점과 함께 그래프 전체를 해석하고 분석할 수 있는 대상(object)으로서의 관점을 함께 도입하여 학생들이 그래프를 해석하는데 질적인 접근법과 변화율적인 접근법을 적절히 사용할 수 있는 능력을 길러야 할 것이다. 또 이러한 그래프 능력을 향상시키는 효과적인 학습 도구로서 CBR등과 같은 테크놀로지를 활용한 교수·학습이 적용되어야 할 것이다. ; Students have difficulties making connections among graphs, physical concepts and the real world, and they often perceive graphs as just a picture. The purpose of this study was to explain how students change their understanding of graphing ability. Entirely, these research question are settled. 1. How three students-a students who does not have a knowledge of algebra, a student who studies in frist-year algebra course and a student who have already completed at least one course in algebra- change their understanding of graphing ability on the Calculator-Based Ranger(CBR)? 2. What do students have errors of interpreting and constructing graph? With the Qualitative case study , I took five task-based activity with three student who are in S Middle-school. Research device and software are CBR, Graphing Calculator, Motion Cars and MathWorld software. I also carried out interview and formal discussion and observation in order to analyze understanding of students. This is the result of this study. First, students used qualitative interpretation such as prediction that had been based on global features of graphs in an early stage of a tasked-based activity. And students moved toward variational interpretation such as approach that had been based on the students perception of the slope of a graph. Second, two major types of misconception is a graph as picture confusion and s indication of slop/height confusion. The CBR instructional strategy appears to extinguish the sets quite easily because CBR provides a real-time link between a concrete experience and the symbolic representation of that experience. Results indicated that we have to use the process-object model that can suggest perspective not tried before, such as the potential interplay between process and object approaches not only in the intial learning of a domain but also afterward when each approach is more fully developed in the individual. And Because the technology supported that the traditional route focused on the process approach is not the one that has to be followed if we want to encourage students to learn to read the global features of graphs, the CBR can engender conceptual change in students and improve students ability to interpret and use graph.