프랙탈 기하를 이용한 극한개념 학습 프로그램 개발 연구

Abstract

본 연구는 우리 나라 고등학교 수학 교육과정에 프랙탈 기하를 도입하기 위하여 프랙탈과 관련이 깊은 극한의 개념을 프랙탈 기하를 이용하여 학습하는 프로그램을 개발하는데 목적이 있다. 또한 학생들의 반응을 통하여 프랙탈의 수학교육과정에의 도입의 효율성을 분석하고자 한다. 현재 우리나라 교육과정상 중·고등학교 학생들이 학습하는 2000여년 전의 유클리드 기하로는 현재의 여러 자연 현상이나 사회적 상황들을 설명하기에는 부족한 면이 있다. 그래서 정보화 사회에 학생들이 창의적으로 대응하는데 한계점이 있다. 프랙탈은 19세기 후반부터 20세기 초반에 시작된 것으로 멘델브로우트 이후 현대 수학자들에게 많은 관심을 받고 있다. 이 새로운 기하는 간단히 말하면 자신을 복사하는 수를 무한 번 반복 시행한 극한의 결과라고 할 수 있다. 이런 원리를 수학교육에 도입하면 학생들이 수학적 원리에 쉽게 접근하게 하고, 수학과 다른 분야를 서로 연결할 수 있게 하며, 시각적인 아름다움을 느낄 수 있게 하며, 또한 함수 개념을 확고하게 학습할 수 있으며, 극한 개념을 적용할 수 있으며, 수학이란 변화하지 않고, 틀에 박힌 학문이라는 고정 관념에서 벗어나서 수학을 창조하고 수학에 대한 호기심을 유도할 수 있다는 장점이 있다. 본 연구는 경기도 J고등학교 2학년 수학반 학생 19명을 대상으로 하였다. Tyler의 프로그램 개발 모형으로 학습 프로그램을 개발하였다. Tyler의 프로그램 개발은 교육과정의 설정, 학습 경험의 선정, 학습 경험의 조직, 평가의 순으로 되어야 한다는 것이다. 학생 문헌 연구 교과전문가들의 요구조사를 바탕으로 교육목표는 프랙탈 기하의 여러 가지 현상을 직관과 수학적으로 고찰하는 경험을 통하여 극한의 기초적인 개념, 원리, 법칙들을 학습하고, 이들 사이의 관계를 이해하며, 극한에 대한 흥미와 관심을 지속적으로 가지도록 한다로 설정하였다. 학습 경험에는 극한의 기하적 이해, 극한의 수치적 이해, 극한의 통계적 이해로 선정되었다. 학습 경험의 조직은 계속성, 계열성, 통합성을 염두에 두었고, 평가는 프로그램 평가와 학생평가를 하였다. 개발된 프로그램은 6주간 격주로 총 6차시가 실시되었다. 평가는 학생의 신념의 변화에 관한 설문지를 사전·사후 비교 분석한 것과 학생들의 평가로 프로그램을 평가하였고, 학생반응 질문지와 교사의 관찰 기록지 둥을 이용하여 학생 평가를 하였다. 프로그램 평가로 극한의 신념에 대한 사전·사후 변화 분석 결과는 첫째, 극한 단원 학습하기 이전에 학생들은 극한은 고정된 수 또는 점의 작은 쪽에서 가까이 접근해 가는 것이라고 인식하고 있었으나 프로그램의 학습 이후에는 고정된 수 또는 점의 양쪽에서 움직이면서 그 수 또는 점으로 가까이 가는 것이라는 것으로 극한의 개념이 변화할 수 있었고, 둘째, 학생들이 프로그램 학습으로 습득한 극한 개념을 가지고 초보적인 극한 문제를 해결 할 수 있었다로 분석되었다. 학생들이 프로그램을 평가한 결과는 첫째, 프로그램이 극한의 기하적 이해의 내용 중 변의 길이의 합으로 무한 급수에 대한 이해와 축소 비율에 대한 변의 길이의 변화가 학생들의 극한 개념의 이해에 가장 큰 도움이 되었고, 둘째, 점점 더 가까이 다가가는 수렴, 진동하는 수렴, 한 숫자의 반복으로 인한 수렴 등을 프로그램을 통하여 학습할 수 있었고, 셋째, 프랙탈 기하는 고등학교 극한의 내용 요소모두와 밀접하게 관련이 있다는 것이다. 교사의 관찰과 학생반응 질문지 등의 분석 결과는 첫째, 학생들은 시각적 직관을 이용하여 극한 개념을 효율적으로 학습 할 수 있었고, 수학자들이 연구하는 것과 같은 경험을 할 수 있었고 둘째, 무한 단계의 그림을 추정해내는 것을 학습하기 위한 활동에서 유한 단계의 그림 또는 자료와 무한 단계의 그림 또는 자료를 함께 제시하는 것이 극한 개념을 형성하는데 효과적이었고, 셋째, 프랙탈은 학생들로 하여금 수학이 흥미롭고 가치 있는 교과임을 인식시킬 수 있었다는 것이다 본 연구의 주요 내용인 프랙탈 기하는 현재 교육과정의 정규 수업시간에 적용하기에는 어려움이 따르므로 비정규 시간인 특별 활동 시간에 실시되었다. 그래서 비교집단을 둘 수가 없었고, 프랙탈이 극한 개념 학습에 효율적으로 이용될 수 있는지에 대해서는 연구할 수 없었다. 본 연구는 프랙탈 기하를 극한 개념에 국한하여 적용하였다. 따라서 프래탈 기하의 고등학교 교육과정에의 다양한 접근을 위하여 본 연구에 이어 프랙탈 기하를 고등학교 수학교육과정에 적용할 수 있는 학습 단원의 심화과정에 포함시키는 방안에 대한 후속 연구가 필요하다. ; The purpose of this study is in developing program which is learning concept of limit by using Fractals Geometry in order to introduce Fractals Geometry to Mathematics curriculum of High school in Korea. Also, in this study, it has been analyzed that it is very essential to introduce Fractal to Mathematics curriculum through the reflection of students. It is not enough to explain various natural phenomena or social situations of today by Euclid Geometry which was made 2,000 years ago and studied by Middle and High school students at our times. It is difficult for students to adapt creatively to Information Society by learning Euclid Geometry only. Fractals began about in the late 19th century and early 20th century and has become the center of interest by present mathematicians. This new geometry is simply expressed with copying itself infinitely. In case this theory is introduced to Mathematics curriculum, the following effects can be expected.: Students can learn Mathematical theory more easily, correlate Math with other fields, feel visual beauty, learn the concept of Function certainly, apply the conception of Limit, get out of the fixed idea on Math as unchanged and conventional learning, have an interest in math. The object of this study is nineteen students in 2nd grade of J High school in Kyong-gi Province. The developed learning program is based on Tyler s Program Development Model. Educational target of this program is to learn basic concept, theory, rule of Limit by studying various phenomena of Fractal Geometry intuitionally and mathematically, understand the correlation between Fractal and Limit, have an interest in Limit continuously. Learning Experience is geometrical understanding on Limit, numerical understanding, and statistical understanding. This study by using developed program was operated for 6 times in every two weeks. After class, there were two kinds of evaluations.: One was evaluating Program through a questionnaire which students replied on the change of their belief, the other was evaluating students through students reactions questionnaire and teachers observation record. The change of belief on Limit has been analyzed through the feedback of Program as follows.: first, students got right concept on Limit after this program learning, second they can solve the primary questions of Limit. Students evaluated this program as follows.: first, Among the contents of geometrical understanding on Limit in this program, it was most helpful in students forming Limit concept to understand Infinite deries using the total of sides, and change in length of side according to scaling factor., second, students could learn more and more approaching converge, vibrating converge, converge by the repetition of one number, and so on through program learning, third, they could find the correlations between Limit in textbook and Fractal Geometry. As a result of analysis on teacher s observation and students reaction questionnaire, students can study the concept of Limit effectively through visual intuition, 2nd in learning to infer the shape of Infinite status it is effective in forming Limit concept to show both fundamental and supplementary data, 3rd, they can realize that Mathematics is very interesting and valuable subject. Fractals Geometry here was instructed to students in irregular class - club activity class, as it is difficult to teach in regular class. So there were difficulty to study if Fractals can be used effectively to the concept of Limit study. In this study, Fractals Geometry is applied to the cencept of Limit only. So it is necessary to find another subject which is applied by Fractal in present Mathematics curriculum of High school and to study the correlations between Fractals and other subject.