미분개념에 대한 오류와 오개념에 관한 연구 : 함수와 도함수 사이의 그래프 표현을 중심으로

Abstract

오늘날 미적분학의 중요성은 널리 인식되어 있고 강조된다. 그럼에도 불구하고 많은 연구 보고들이 현재 미적분학 교육의 위기에 대해 우려를 나타낸다. 우리나라 미적분 교육 역시 크게 다르지 않아서, 미적분 지도가 대수적 접근법을 지나치게 강조하여, 학생들은 그 개념을 이해하지 못하고 기계적으로 미분하고 적분하는 형식주의에 빠지고 있다는 문제를 갖는다. 현재의 미적분학 교육 환경이 처한 문제에 대한 인식에서 출발한 본 연구는 미적분학의 기본적인 개념을 발전시키고, 학생들의 미분개념 이해를 돕기 위한 기초를 마련하고자 시도되었다. 이러한 본 연구는 첫째, 함수와 도함수 사이의 그래프 표현을 중심으로 한 문제 상황에서 나타난 오류 조사, 둘째, 미분개념에 대하여 학생들이 가지고 있는 오개념의 확인, 마지막으로 함수와 도함수 사이의 그래프를 유추하는 과정에서 나타나는 접근 방법 파악 등을 연구문제로 정하여 진행되었다. 이상의 세 가지 연구문제 해결을 위해 본 연구는 설문조사와 학생들 대상 인터뷰를 실시하였다. 우선 C 여자 고등학교 3학년 자연계 2개 학급 98명을 대상으로 진행된 설문조사에서, 조사문제지는 14개의 문항으로 구성되어 있다. 문항 1~9번은 함수의 그래프에서 도함수의 그래프를 유도하는 과정에서 발생하는 오류와 오개념을, 문항 10~14번은 도함수의 그래프로부터 원함수의 그래프를 유도하면서 나타나는 오류와 오개념을 알아보기 위해 작성되었다. 다음으로 설문조사에서 나타난 오류의 원인, 즉 오개념을 파악하기 위해 설문조사에 응한 동일한 학생들을 대상으로 인터뷰를 진행하였다. 연구 분석은 백분율로 처리된 각 문항별 정답율과 각 문항별로 나타난 오류 및 오개념에 대한 분석을 중심으로 이루어졌다. 연구에 나타난 오개념을 살펴보면 우선, 함수의 그래프로부터 도함수의 그래프를 유도하는 과정에서 나타난 오개념이 있다. 첫째, 접선은 곡선과 한 점에서 만나고 자르지 않는 직선이라는 오개념, 둘째, 미분계수 f(a)와 함수값 f(a)는 관계가 있다는 인식, 셋째, 함수 그래프의 국소적 부분의 성질을 전체 범위로 일반화하는 것, 넷째, 함수가연속이면 미분가능하다고 인식하는 것, 다섯째. 첨점은 극점이 될 수 없다는 것, 마지막으로 도함수는 미분법에 의해 얻어지는 식 등이다. 다음으로 도함수 f(x)의 그래프로부터 원함수 f(x)의 그래프를 유추하는 과정에서 발생한 오개념이 있다. 첫째, 도함수의 증감이 원함수의 증감과 일치한다는 것, 또는 도함수의 증감이 함수의 증감과 정반대라는 것, 둘째, 도함수의 극점이 함수의 극점이 된다는 것, 셋째, 함수 y=f(x)는 f(x)=0인 x에서 극값을 갖는다는 것, 마지막으로 원함수는 적분법에 의해 얻어지는 식 등이다. 이러한 오개념으로 인하여 접선을 무수히 많이 그리거나 접선을 그을 수 없다고 생각하였으며, 함수식이 주어져 있지 않은 그래프 위의 임의의 점에서 미분가능인지 아닌지 알지 못하는 오류가 나타났다. 또한 1차 함수의 도함수를 포물선, 또는 점으로 나타내거나 도함수f(x)가 3차 함수일 때 원함수f(x)를 2차 함수, 즉 포물선으로 나타내는 오류 등이 나타났다. 또한 학생들은 함수와 도함수 사이의 그래프 관계에 대해 유사 가정의 경향, 변환적 접근 방법 또는 식을 세워 다른 그래프를 유도하는 방법 등의 전략을 사용했다. 그러나 식이 주어져 있지 않은 함수(또는 도함수)의 그래프로부터는 도함수(함수)에 대한 정보를 얻지 못하기 때문에 함수(또는 도함수)의 그래프로부터는 도함수(함수)의 그래프를 유도하지 못하는 학생들도 상당수 있었다. 본 연구의 결과에서 알 수 있었던 학생들의 미분개념에 대한 오류와 오개념의 원인은 미적분학 교수-학습이 형식적이고 절차적인 지식만을 강조하기 때문이다. 따라서 이러한 오류 및 오개념을 극복하기 위해서 형식적 수준의 미적분 교육이 아니라, 체계적이지만 비형식적인 방법으로 학생들이 미분개념을 탐구할 수 있는 교수-학습 방법이 필요하다. ; Many research studies indicate the emerging crisis of the present education of calculus even though the emphasis and the importance of calculus have been widely recognized. The education of calculus in Korea also has been confronted with its limitations. The principal issue with the instruction of calculus is that there is too much emphasis on the algebraic approach, thus leading students to solve mathematical problems without truly understanding the underlying concept. The purpose of this study is to develop a fundamental understanding of calculus in order to provide students with conceptual knowledge of calculus. Therefore, this study identifies the misconception that students have with regard to the concept of calculus focused on the graphical relationship between function and derivative, examines the error found while working on the problems, and analyzes strategies that arise during the predicting process of graphical depiction between function and derivative. The questionnaire of this study is composed of 14 items, and the subject of ninety-eight high school seniors in two different science classes at C women s high school are utilized. The questions from 1 to 9, and 10 to 14 are specifically designed to find error and misconception that occur during the inducing process of derivative from the function, and of original function from derivative, respectively. The correct answer to each question is expressed in percentile, and causes of error are also identified through interviews with students, and by carefully examining each error. In this study, we found that students strategically induced a different graph by formularizing resemblance approaches, variational approaches or an equation. However, there were significant number of students who were not able to derive derivative(or functional) graph from the functional(or derivative) graph because they did not have the information of derivative(or function) from the function(or derivative) without an equation. The study found five main misconceptions during the inducing process of derivative graph from function graph. First, the tangent line was a straight line that met at one point with a curve. Second, the sign of derivative at x=a, f(a) was determined by the value of function at x=a, f(a). Third, generalization of local disposition to global. Fourth, recognizing that f(a) is differentiable at x=a if f(a) is continuous, and last, perceiving that critical point cannot be extreme point. Next, there were two misconceptions from predicting process of original function, f(x) from f(x). First, if derivative increases, original function will increase, and vise-versa, and that if derivative increases and original function will decrease, and vice-versa. Second, the extreme point of derivative could be that of function, and that function, y=f(x), has an extreme value at x, f(x)=0. In order to eliminate the error and misconception revealed in the result of this study, it is necessary to instruct students to study the concept of calculus not just in formal ways (i.e., memorizing the formulae), but in informal and yet systematical ways. Therefore, class instructions should utilize technologies that enable numerical, graphical, and multiple representations rather than simple operational techniques in order to provide students with a fundamental concept of calculus.