고등학생들의 수열에 관한 오류 유형 연구

Abstract

수열의 이론은 학문적으로 수열 그 자체로써도 중요할 뿐만 아니라 극한, 미분, 적분, 확률론, 통계에도 이용되는 것은 물론 수와 식, 다항식, 함수 등 수학 전반에 걸쳐서 광범위하게 응용될 수 있다. 따라서 고등학교 수학 교육과정 중에서 중요한 부분으로 생각되고 있지만, 실제 학교 현장에서는 많은 학생들이 개념이나 원리를 무시한 채 단순히 공식에 대입하는 기계적 계산만을 하는 경우가 많다. 그 결과 수열 단원은 외울 공식이 많은 단원으로 여겨지고 있으며 문제를 해결하는 과정에서도 문제에 적절한 풀이과정을 찾거나 기존의 공식을 문제에서 요구되는 형태로 알맞게 변형시키기보다는 단순히 이전의 풀이과정을 그대로 사용하는 경향이 있어 많은 오류가 발생하게 된다. 본 연구에서는 수열에 대한 고등학교 학생들의 오류 유형을 살펴보고, 오류의 분류 모델을 통하여 교수-학습 방법의 개선을 위한 방안을 알아보고자 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 고등학교 학생들은 수열에 대한 문제 해결 과정에서 어떠한 오류 유형을 나타내는가? 2. 수열에 대한 문제 해결 과정에서 발생하는 각각의 오류 유형에 대한 바람직한 지도방법은 무엇인가? 먼저 학생들이 나타내는 오류 유형을 알아보기 위하여, 수학 교수-학습시 발생하는 여러 가지 오류에 대한 선행 연구들을 참고하여 수열 단원에서 발생할 수 있는 오류의 분류 모델을 다음과 같이 설정하였다. 1. 정보적 지식과 관련된 오류 (1) 기호나 용어에 대한 이해 부족 (2) 잘못된 공식의 사용 2. 방법적 지식과 관련된 오류 (1) 문제의 일부분만 고려 (2) 논리적으로 부적절한 직관에 의한 추론 (3) 기술적 오류 (4) 문제에 적합하지 않은 해 3. 풀이과정의 생략 (1) 풀이과정 없이 답만 제시 (2) 풀이의 중단 (3) 단순한 문제 재진술 대학수학능력시험에서 출제되었던 문제들 중 수열에 관련된 문항을 재구성하여 검사지를 만들고, 고등학교 2학년과 3학년 학생들을 대상으로 검사를 실시하여 학생들의 답안을 분석하였다. 위의 분류 모델에 따라 분석한 결과 학생들이 나타내는 오류 유형은 기호나 용어에 대한 이해부족-26.58%, 풀이과정 없이 답만 제시-16.32%, 풀이의 중단-15.67%, 기술적 오류-13.09%, 논리적으로 부적절한 직관에 의한 추론-8.64%, 단순한 문제 재진술-7.51%, 문제의 일부분만 고려-6.54%, 잘못된 공식의 사용-3.39%, 문제에 적합하지 않은 해-2.26% 순으로 나타났다. 학생들은 기호나 용어에 대한 이해가 부족하며 풀이과정 없이 답만 제시하는 경우가 많았고, 문제에서 제시되어 있는 조건을 충분히 활용하지 못하여 문제를 해결하다가 중단하거나 계산상의 착오나 실수로 인한 기술적 오류도 많이 발생하였다. 새로운 유형의 문제는 해결하기 위한 시도도 하지 않는 경향이 있으며, 풀이를 시도하는 학생들조차도 문제에서 제시된 사항을 전체적으로 고려하지 못하고 일부분만을 이용하여 문제를 해결하려 하였고, 필요한 조건에 대하여 논리적으로 판단하기 보다 직관적으로 추측하는 학생이 많았다. 위의 결과를 토대로 이와 같은 오류를 나타내는 학생들에게 효율적인 교수-학습을 위하여 다음과 같은 점을 제언하고자 한다. 첫째, 새로운 개념이나 용어를 학생들에게 지도할 때에는 그 의미를 충분히 이해할 수 있도록 다양한 문제 상황을 제시하여 기호나 용어를 적절히 사용할 수 있도록 학습활동을 구성하여야 한다. 둘째, 문제를 제시할 때에는 수학적인 용어나 기호로만 제시할 것이 아니라 수학 외적인 상황을 소재로 한 다양한 문제를 제시하고, 한가지 문제에 대하여 다양한 해결 방법을 학생들에게 생각해보도록 하여 사고의 유연성을 길러주어야 한다. 셋째, 학생들이 자신의 답에 대하여 자신감을 가질 수 있는 분위기를 조성해 주어 답이 잘못될 수도 있으며 오히려 그 잘못된 답을 통하여 수학적 능력을 더욱 기를 수 있다는 것을 인식시켜주어야 할 것이다. 넷째, 문제를 해결하는데 있어서 문제에 제시된 조건들을 무시하거나 누락시키지 않고 모두 고려해야 한다는 것을 학생들이 잊어버리지 않도록 항상 강조해야 한다. 다섯째, 자신의 풀이과정이 올바른지, 자신의 답이 문제에서 요구하는 것과 일치하는지를 검토하는 습관을 길러주어야 한다. 여섯째, 오류를 범하기 쉬운 내용들을 충분히 연구하여 미리 학생들에게 반례를 들어 보임으로써 학생들의 오류를 최소화하여야 한다. 본 연구에서 얻은 연구 결과와 연구 과정에서 나타난 제한점을 보완하여 보다 좋은 후속연구를 위하여 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 본 연구는 연구 대상과 검사 문항의 수가 제한적이어서 결과를 전체 고등학생으로 일반화하기 어렵다. 따라서 연구 대상과 검사문항의 수를 특성에 따라 다양하게 분류하고 표집수도 확대하여 오류에 대한 연구를 할 필요가 있다. 둘째, 본 연구에서는 학생들에게 검사를 실시하여 오류를 분석한 것으로 그쳤으나 분류된 각각의 오류 유형에 적절한 교수-학습 방법을 개발하여 학생들을 지도한 후 다시 검사를 실시하여 그 효과를 알아본다면 보다 좋은 시사점을 얻을 수 있을 것이다. 셋째, 풀이과정의 생략에 해당하는 오류에 대해서는 학생들의 답안만을 가지고 분석하였기 때문에 학생들의 오류 원인을 정확히 알 수 없었다. 따라서 학생들과의 면담을 통하여 보다 구체적인 오류의 원인을 파악하여야 할 것이다. 넷째, 검사에서 사용된 문항이 표준화된 검사문항이 아니기 때문에 수열에서 필수적인 내용들을 모두 포함하면서 난이도가 적절한 문항을 재구성하여 오류를 분석하여 볼 수 있을 것이다.; Learning sequences is not only important by itself, but it is also useful for learning limits, calculus, probability and statistics. It can be applied widely to numbers and expressions, polynomial expressions, functions and etc. It is one of the most important part of highschool mathematics curriculum. But in practice, most students tend to ignore the concept or principle of sequences and only memorize the formulas. The sequence unit is regarded by the students as a formula unit for memorization. In the problem solving process, students cannot apply the formulas adequately and many errors are committed. In this study, the errors committed by students using sequences was studied by using the error classification model. The research tasks were established as follows. 1. What type of errors do high school students commit in the problem solving process of sequence problems? 2. What are the desirable guide methods to correct errors in the problem solving process of sequence problems? The errors are classified into 9 items as follows. 1. Errors related to informational knowledge (1) lack of understanding of symbols and terminology (2) use of incorrect formula 2. Errors related to procedural knowledge (1) partially considering (2) inference by logically in-appropriate intuition (3) technical errors (4) unmatched solution 3. Omission of solving process (1) present answer without solving process (2) interruption solving problems (3) restatement of simple problems For this study, a test was developed with questions similar to the sequence questions which were given in the "Scholaristic Aptitute Test for college entrance". The test was given to 2nd and 3rd grade high-school students. The students answer sheets were then analysed following the error classification models described above. The analysis showed: lack of understanding of symbols and terminology-26.5%, present answer without solving process-16.32%, interruption solving problems-15.67%, technical errors-13.09%, inference by logically in-appropriate intuition-8.64%, restatement of simple problems-7.51%, partially considering-6.54%, use of incorrect formulae-3.39%, unmatched solution-2.26%. Most errors were due to students lacking understanding of symbols and terminology. Thus, they presented just answers without showing any process of solving. Furthermore, there were many technical errors committed by miscalculation or interruption of solving the problem due to a failure of full application of conditions. In general students did not try to solve the new type of problems. Even the students who tried to make an effort to solve the problem guessed by intuition instead of using a logical approach based on the problem requirement. Based on the analysis, a more effective instruction-learning method was developed. First, when we teach students new concepts or terminology, learning activities should focus on adequate use of symbols and terminology and should present various problem situations for full understanding of the symbols and terminology. Second, problems should be presented with applied situations so that students have to think flexibly and creatively to develop multiple approaches to problem solving. Third, to bring conviction to students about their answers, we must have the students recognize that every answer in not correct. Forth, emphasizing students synthetically consider the presented conditions in solving problems. Fifth, cultivate a good checking habit for the students to check their problem solving process and to critique their own answers based on the problem solving method that they used. Sixth, we should study the errors committed by students to develop lessons that emphasizes showing alternate examples. For future studies, the following suggestions are recommended to overcome some of the limitations of this study. First, this study has a limitation on the study object and test item number. Therefore it was difficult to generalize the result to a larger student body. A study of larger scope should help to better determine the error classification for a more diverse student body. Second, in this study only the errors of students test were analyzed. But if we taught the students with an instruction-learning method of each classified type of errors, a more comprehensive understanding of errors could be determined. Third, the error analysis only determined the type of errors. The cause of students error was not fully investigated. A follow-up interviews with students discussing the errors made by the students should help to develop a better understanding. Fourth, the test items in the study should be standardized to analyze the errors by including necessary contents and recomposing adequate items.