작도를 통한 평면도형 지도에 관한 연구 : 탐구형 소프트웨어를 사용하여

Abstract

Since the Greek age geometric construction, using just a ruler and a compass, has been important in the development in geometry property, and in mathematical thinking. Later, by solving various construction problems, mathematic content developed rapidly and formed the foundation for geometry logic. Though geometric construction is relatively important in the history of geometry and a significant means to logically investigate geometric property, present curriculm suggest that geometric construction is meaningless. The purpose of this research is to show that knowledge of geometric construction helps in the study of deductive proof, the understanding of geometry property and relation between the two. The specific points of this research are as follows: 1. How does geometric construction in dynamic geometry environment influence a student s understanding of the geometric property? 2. How does the research activity of the figure through the geometric construction in dynamic geometry environment influence student s ability of deductive proof ? This research conducted a qualitative case study on for four weeks, the research activity was applied six times to the 3 students in their second year at U middle school in Seoul. Before class, a test to measure each student s understanding of preparatory learning was done, with the content of the research activity having been measured qualitatively by the observation and recording of the researcher. After class, a test of the deductive proof comprehension was done, with a formal interview on each student s attitude and reaction before and after the class As a result of the research, the study arrived at the following conclusions: First, through the clear recognition of the figure s definition and property, the student can see the essence of the figure on each rather just seeing it visually. And by dragging construction, students form the definition and property of the concept of geometric s sequence, and by analysing the construction process in various vision about the figure are solidified. Finally this enables a student to better understand the vertical and horizontal relationship of a figure in geometry. Second, in the area of deductive proof, we found that the precise definition and theory from geometric construction suggests right ground in the proving process, and using symbols or pictures also had a positive effect. But as we cannot find the general recognition related to induction of the proof and the direct relation in the proof introduction with recognition of geometry and circulation mistake coming from seperating assumption and conclusion, teacher must guide the student in the learning in the process . Through formal interviews we concluded that the exhibited learning environment played a positive role. Also by using cabriII in geometric construction, students can realize that construction is not only a simple copy of the figure but a useful instrument to understand and analyse the geometry property. This suggests that geometric construction can offer efficient guidance in plane geometry. I d like to suggest this on the bases of What I told First, there must be more study about how the recognition of vertical and horizontal figure by geometric construction can be applied to real geometry problem solving. Second, in the geometric construction activity, there must be more study about concrete guidance transitioning to deductive proof. Third, as the problem about geometric construction is limited to textbook, not only just the geometric construction about the basic figure suggested in this study but also lots of various geometric construction problems which can help to stimulate the interest connected with different areas of geometry and problem solving. ; 자와 컴퍼스만을 이용한 도형의 작도는 그리스 시대로부터 도형의 성질을 이론적으로 전개해 나가기 위한 중요한 수학적 사고의 수단이었다. 이 후 다양한 작도 문제의 해결과정을 통하여 많은 수학적인 내용의 발전이 이루어졌고, 기하 논리의 토대를 마련해 갔다. 작도가 기하 역사에서 차지하는 비중이 적지 않고, 또 도형의 성질을 논리적으로 탐구할 수 있는 중요한 수단이 될 수 있음에도 불구하고, 현 교육과정에서는 작도 단원이 의미 있게 제시되지 못하고 있다. 따라서, 본 연구는 교과서 내의 작도의 활동이 그 자체로도 의미 있고, 또한 도형의 개념과 관계의 이해 그리고 연역적인 증명 학습에도 도움을 줄 수 있는 탐구 환경을 제시하고, 이에 대한 가능성을 알아보는 것을 목적으로 하였다. 이를 위하여 구체적으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 동적 기하 환경에서 작도를 통한 탐구활동이 학생들의 도형의 개념 및 관계의 이해에 어떠한 영향을 주는가? 2. 동적 기하 환경에서 작도를 통한 도형의 탐구활동이 학생들의 연역적 증명 능력에 어떠한 영향을 주는가? 이를 위해 질적 사례 연구를 사용하였는데, 서울시 소재 중학교 2학년 학생 세 명을 선정하여 4주에 걸쳐 6차시의 탐구 수업을 실시하였다. 선행 학습 정도를 파악하기 위해 수업 전에 진단검사를 하였고, 탐구활동 수업에 대한 내용은 연구자가 관찰·기록하여 질적 분석하였다. 수업 후에는 증명의 이해도에 대한 검사를 실시하였으며, 학생들의 태도 및 반응을 알아보기 위해 활동 전·후에 공식면담을 실시하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 도형의 정의와 성질에 대한 명확한 인식을 통해, 도형을 시각적 전체로 바라보는 것이 아니라 도형의 본질의 관점으로 파악할 수 있게 되었다. 또한 끌기를 통한 작도 활동을 통해 도형의 위계적인 개념이 형성되고 작도과정의 분석을 통해 대상에 대한 다양한 관점을 갖게 되어, 도형의 성질에 대한 수직적·수평적 관련성을 형성할 수 있었다. 둘째, 연역적 증명 능력에서는, 작도활동을 통한 정의와 정리의 내용의 명확화가 증명 과정에서 올바른 근거의 제시에 도움을 주었고, 기호의 표현 능력이나 적절한 그림의 이용에도 긍정적인 효과가 있었음을 알 수 있었다. 그러나 증명의 도입과 관련되는 증명의 일반성의 인식이라든가 가정과 결론의 분리능력과 이에서 기인하는 순환의 오류 등에 대해서는 직접적인 연관성을 찾지 못한 바, 이 부분의 효율적인 지도를 위해서는 교사의 적극적인 개입이 필요함을 알 수 있었다. 또 공식면담을 통해, 탐구라는 측면에서 수학을 볼 수 있게 해 주었다는 점에서 본 연구에서 제시한 학습환경이 긍정적인 역할을 했음을 분석할 수 있었고, 또 Cabri II를 이용한 작도활동을 통해 학생들은 작도가 단순한 도형의 복사 과정이 아니라 도형의 성질을 이해하고 분석하는데 유용한 도구임을 인식하였는데, 이는 작도 활동이 평면도형을 지도하는데 효율적인 방안이 될 수 있음을 제시해 주고 있다. 위의 내용을 바탕으로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 작도 활동을 통한 수평적·수직적인 도형의 인식이 실제 기하 문제 해결과정에 어떻게 적용되어 지는가에 대한 연구가 필요하다. 둘째, 작도를 통한 도형의 탐구활동이 연역적 증명 활동으로 보다 효과적으로 전이될 수 있도록 좀 더 구체적인 지도방안의 연구가 필요하다. 셋째, 교과서 상에 제시되어 있는 작도문제가 빈약한 상태이므로, 본 연구에서 제시한 기본도형에 대한 작도뿐만 아니라, 기하의 다른 영역과 관련하여 기하에 대한 흥미와, 문제 해결력에 도움이 될 수 있는 다양한 작도문제의 제시가 요구된다.