Symplectic surfaces in symplectic 4-manifolds

Abstract

본 논문에서는 닫힌(closed) 4차원 다양체상의 Seiberg-Witten 불변요소와 Gromov 불변요소의 고찰과 -holomorphic 곡선들의 모듀라이 공간의 성질에 대한 연구로부터 닫힌 연결 극소(minimal) 심플렉틱 4차원 다양체 X가 2차원 심플렉틱 부분다양체 F를 포함하고 이때 F의 종수(genus) 가 1이상이고 천수(Chern number) 가 종수 보다 크면 다양체 X가 유리다양체 (rational manifold) 이거나 선직다양체 (ruled manifold)가 됨을 증명하였다. 이는 닫힌 심플렉틱 4차원 다양체들의 분류문제이다. 닫힌 심플렉틱 4차원 다양체의 분류문제를 보다 일반적인 심플렉틱 4차원 다양체상으로 확장시키기 위해 경계를 가진 컴팩트 4차원 다양체상의 Seiberg-Witten 불변요소를 연구하였으며 제한된 조건하에서 닫힌 4차원 다양체상의 Seiberg-Witten 불변요소로부터 얻어지는 성질들을 확장 시킬수 있었다. 이를 이용하여 심플렉틱 4차원 다양체 X가 양의 천수와 1이상의 종수를 갖는 2차원 심플렉틱 부분다양체를 포함하면 X는 접촉구조의 경계를 가질수 없음을 증명하였다. 마지막으로 본 논문에서는 경계, 즉 3차원 다양체상의 접촉구조와 4차원 심플렉틱 다양체상의 심플렉틱 구조사이의 관계로 3차원 다양체상에 Symplectically fillable 이지만 Strongly symplectically fillable 은 아닌 접촉구조의 예를 구성하였고 특히, 3차원 다양체상의 닫힌 2 형식이 주어져 있을 때, 무한개의 비미분동형인 심플렉틱 filling을 가지는 예를 구성하였다. ; Let X be a closed, connected, minimal symplectic four-manifold containing a symplectic surface F such that the genus g of F is greater than or equal to one and the Chern number c_1(TX)[F]is greater than the genus g. Then we show that X must be rational or ruled. Let V be a compact, connected, minimal symplectic four-manifold containing a symplectically embedded surface F such that the genus g of F is greater than or equal to one and the Chern number c_1(TV)[F ]is greater than zero. Then we prove that V cannot have a non-empty boundary of contact-type. Finally we show that there is a contact structure ξ_0 S^2 x S^1 which is not strongly symplectically fillable but symplectically fillable, and that (S^2 x S^1,δ) has infinitely many non-diffeomorphic minimal fillings for some fixed 2-form δ on S^2 x S^1.