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Morse theory, Conley index and flow on sphere bundles

Morse theory, Conley index and flow on sphere bundles
Issue Date
대학원 수학과
이화여자대학교 대학원
유한차원인 리만다양체에서 고립된 불변집합(isolated invariant set)에 대한 지표짝(index pair)의 성질과 pointed 공간의 호모토피 타입을 갖고 있는 Conley 지표의 성질을 이용하여, 그 다양체의 호몰로지(코호몰로지)를 구하고 Conley 지표에 기초를 둔 몰스부등식을 증명한다. 임의의 유한차원인 다양체상의 Morse-Smale 경사흐름(gradient flow)에서 임계점들과 연결궤도들이 연결복체를 결정하고 이것은 특별한 Conley 접속행렬을 나타낸다. Morse-Smale 함수는 Morse-Smale 경사흐름들을 유도한다. 그 경사흐름들은 Fredholm 연산자를 야기하고 이 연산자의 지표는 경사흐름들로 이루어진 Moduli 공간이 갖고 있는 차원과 같음을 보인다. 기준다양체 상의 Morse 함수와 fiber 상의 함수를 사용하여 접 번들 위에서의 Morse 함수를 구한다. 그리고 이러한 성질을 구 번들에 응용한다. 구 번들 상의 위상을 연구하기 위하여 기준다양체상의 Morse 함수와 구 번들상의 오일러 원소를 이용하여 구 번들 상에서의 Morse-Smale 함수를 구성한다. 그리고, Thom class와 Conley 지표사이의 관계를 유도한다. ; Using the properties of an index pair for an isolated invariant set in a finite dimensional Riemannian manifold and of the Conley index with the homotopy type of the pointed space, we compute a homology(cohomology) of the manifold and give a proof of the Morse inequalities which is based on the Conley index. In the case of a Morse-Smale gradient flow on a finite dimensional manifold the critical points and connecting orbits determine a chain complex which represents special case of Conley’s connection matrix. A Morse-Smale function induces Morse-Smale gradient flows. The connecting flow lines give rise to the Fredholm operator whose index is the dimension of moduli spaces. We characterize the Morse function on the tangent bundle by the Morse function on the base manifold and a function on fiber and we apply this method to the sphere bundle. In order to study the topology on the sphere bundle, we construct a Morse-Smale function on the sphere bundle using the Morse function on the base manifold and the Euler class of the sphere bundle. Moreover, we induce the relation between the Thom class and the Conley index.
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