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Rigidity of maslov class and exotic symplectic structure

Title
Rigidity of maslov class and exotic symplectic structure
Authors
윤진의
Issue Date
1999
Department/Major
대학원 수학과
Publisher
이화여자대학교 대학원
Degree
Doctor
Abstract
제한 정리(rigidity theorems)에서는 마슬로브류(Maslov class)에 의한 제한 정리의 결과들과 C^n내에 닫힌 완전 라그랑지안(exact Lagrangian) 부분다양체가 존재하지 않을 것이라는 내용의 아놀드(Arnold) 가설이 주된 내용이다. 이 가설은 후에 그로모브(Gromov)가 standard의 경우에 해결했으며, 또한 응용으로 R^2n상의 특이 심플렉틱 구조(exotic symplectic structure)의 존재성을 증명하였다. 본 논문에서는 첫 번째 부분과 관련하여 경계부분을 라그랑지안 부분다양체 안에 가지고 있는 pseudo-holomorphic discs를 이용하여 다음과 같은 결과를 얻었다. (V,ω)가 6차원 미만인 매끄러운 (smooth) 약완전(weakly exact) 심플렉틱 다양체이고 W가 (V,W)가 기하학적으로 유계인 닫힌 해석(analytic) 라그랑지안 부분다양체이고, 관련된 거의 복소구조(associated almost complex structure)가 V안에 있는 W의 근방에서 integrable하면 사이클 γ가 H^1(W;Z)에 존재해서 양의 심플렉틱 면적ω(γ)를 갖고 마슬로브류의 값 μ(γ)는 [3-n, n+1]에 속함을 보였다. 더욱이 W의 미분동형사상군 Diff(W)이 H^1(W;Z)의 원시 원소(primitive elements)위에서 추이적으로 작용(transitively act)하고 f : W→T^*W가 사영(projection) T^*W→W와의 합성이 H^1(W;Z)의 자기동형사형(automorphism)을 유도해내는 라그랑지안 매장이면 f의 마슬로브류는 0임을 보였다. 두 번째 부분과 관련하여 본 논문에서는 특이 심플렉틱 구조를 가지고 있으면서 R^4에 미분동형인 두 매끄러운 심플렉틱4차원 다양체의 심플렉틱 합(symplectic sum)에 의해 얻어지는 S^3 x R상에서 특이 심플렉틱 구조를 구성하였다. ; Let(V,ω) be a smooth, weakly exact, symplectic manifold of dimension 2n≤6. Let W ⊂ V be a closed analytic Lagrangian submanifold such that the pair(V,W)is geometrically bounded, and let the associated almost complex structure be integrable in a neighborhood of W in V. Then there is a cycle γ∈ H_1(W;Z) such that the symplectic area ω(γ) of γis positive and the value μ(γ) of Maslov class for γ is in [3-n,n+1]. Furthermore, let the group Diff(W) act transitively on the primitive elements of H^1(W;Z). If f:W→T^*W is a Lagrangian embedding such that its composition with the projection T^*W→W induces an automorphism of H^1(W;Z), then the Maslov class of f is zero. We construct exotic symplectic structures on S^3 x F which is obtained by the symplectic sum of two smooth symplectic four-manifolds with exotic symplectic structures, each of which is diffeomorphic to R^4.
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일반대학원 > 수학과 > Theses_Ph.D
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