Seiberg-witten invariants on connected sums and Gompf's conjecture

Abstract

X는 지너스가 1 보다 큰 2차원 다양체를 갖고 있는 사차원,극소,심프렉틱 다양체라고 하자. 만약 X가 두 다양체의 연결합이면, 타우베스의 결과에 의해, 하나의 성분 N은 사차원 정 호몰로지 구 이고 기본군 π_1(N)은 0이 아닌 유한상을 갖지 않는다. 만약 π_1(N)이 0이 아니라면, 0이 아닌 원소 α가 존재한다. 그러나, N이 호몰로지 구 이기 때문에, α는 σ:△_2 →N의 경계에 의해 나타나게 되고, 이때, σ(△_2)를 ∑_2라 하자. X 안에서 ∑_1과 ∑_2의 내부연결합에 의해 생긴 2차원 다양체를 ∑라 한 후, 두 개의 X로 부터 ∑의 튜부같은 근방을 각각 잘라낸 후 그것의 경계를 따라 붙인 다양체를 Z라 하자. 그리고, ∑_2와 같은 지너스를 갖는 리만곡면을 T라 하고, 위와 같은 방법으로 얻은 다양체를 overlineZ라 하자. Z와 overlineZ의 사이버그-위튼 불변량을 비교해보면, 먼저 수술에 의해 overlineZ의 불변량은 항상 0임을 알수있다. 한편, 사이버그-위튼 불변량에 대한 곱의 공식에 의해 다음의 곱공식 SW_Z = SW_x·p 을 얻었다. 이것을 이용하여 Z상의 사이버그-위튼 불변량이 0이 되지 않는 스핀시 구조가 존재함을 보였다. ; Let X be a minimal symplectic 4-manifold with an embedded submanifold ∑_1 of genus greater than 1. If X is a connected sum of two manifolds, then one of summands, say N, is an integral homology sphere and π_1(N) has no non trivial finite quotient. Suppose that π_1(N) is nonzero. Then there is a nonzero element α in π_1(N) and since H_1(N) = 0, α is represented by a boundary of a simplex σ:△_2 → N. Let ∑_2 = σ(△_2) and let ∑ = ∑_1#∑_2 be an internal connected sum between ∑_1 and ∑_2 along a small tube in X. And let Z = X#_∑X be a manifold obtained by gluing two X s along ∑. Then by gluing theorem we have a product formula SW_Z = SW_x·p where p is the degree of a map r : M_x^0 → R(∑) and we show that there is a Spin^c-structure on Z with respect to which the Seiberg-Witten invariant is nonzero.