P-Adic heights

Abstract

본 논문에서는 먼저 Tate 곡선상에서 Neron 함수를 정의하고 일반적으로 k-해석적 torus상에서의 Neron 함수를 여러 가지 Theta 함수를 이용하여 구체적인 식으로 표현 하였다. 또한 Mumford 곡선의 Jacobian 다양체가 K-해석적 torus가 됨을 이용하여 Mumford 곡선상에서의 Neron 함수를 구성한다. p-adic height를 구성하기 위해서 우선 Neron-Tate의 height에서의 절대값을 일반화 시킨 p-adic quasicharacter를 소개하고 Neron 함수에 대응되는 p-adic Neron 함수를 정의 한다. 그리고 주어진 p-adic quasicharacter와 divisor들에 대응되는 p-adic Neron 함수가 유일하게 존재함을 증명하였다. 그런 다음 소수 p를 나누는 nonarchimedean place에서 good reduction을 가지는 abelian 다양체에 대해 기존의 Neron, Schneider와 Mazur-Tate의 p-adic height가 모두 일치함을 보였다. 마지막으로 앞의 사실들을 이용하여 모든 특이점이 없는 사영 곡선상에서 p-adic Neron 함수를 분류하고 split multiplicative reduction을 가지는 abelian 다양체의 p-adic Neron 함수 또한 그것의 특별한 형태(uniformization)을 이용하여 찾아낼 수 있음을 보였다. ; In this thesis, we construct a Neron symbol on Tate curves over a local field k_v and more generally on k-holomorphic tori by using theta functions. We also define a Neron symbol on Mumford curves which have k-holomorphic tori as their Hacobians. We show that, for a given p-adic quasi character c_v:k_v→Q_p satisfying a certain condition, which plays the role of valuation of Neron-Tate height, there exists a unique p-adic Neron symbol which is an anoloque of the real valued Neron symbol on abelian varieties associated to divisors and c_v. We define a p-adic height on arbitrary abelian varieties associated to divisors and c_v by using p-adic Neron symbol at every nonarchimedean place. In addtion, for abelian varieties with good reduction at the place v dividing p, we prove that Neron s, Schneider s and Mazur-Tate s p-adic heights coincide. Finally, we characterize a p-adic Neron symbol on projective nonsingular curves. In particular, we study p-adic Neron symbols on abelian varieties with split multiplicative reduction.