Stratified single and two stage cluster sampling with unequal probability for transitive populations

Abstract

시간적으로 추이하는 대상에 대하여 동일표식에 대한 표본조사를 정기적으로나, 또는 부정기적으로 반복하는 일이 많다. 이때 조사의 각 시점에 있어서 모집단(본 논문에서는 주어진 시점에 있어서의 조사단위 전체의 집합을 모집단이라 부르기로 한다)은 반드시는 동일하지 않고 조사가 한 시점에서 다른 시점으로 옮겨가는 동안 모집단은 추이적으로 변하는 것이 보통이다. 이때 모집단의 원(즉 조사단위)의 list, 즉 표본추출의 frame을 조사시점마다 새로 만드는 것은 번거롭고 또 불경제적이다. 그러므로 전 조사시점까지 사용한 frame을 그대로 이용함으로서 frame작성의 노력과 비용을 덜어주는 방법이 필요하다. 본 논문에서는 이러한 境遇에 적합한 표본설계로서, 표본추출 단위가 집락으로 이루어져 있으며, 또 그 크기가 고르지 않은 境遇에도 사용할 수 잇도록, 각 추출단위가 표본으로 추출되는 확률을 서로 다르게 줄 수 있는 층별일단 및 이단추출법을 유도하였다. 즉 S_1 : 전시점까지의 모집단의 union S_2 : 현시점에 있어서의 모집단 이라하면 S_1∩ hat-S_2 : 전모집단 S_1에서 현모집단에 이르는 동안에 이탈한 부분 S_1∩ S_2 : 전모집단 S_1에서 현모집단에 이월해온 부분 Hat-S_1∩ S_2:현모집단 S_1에서 새로 나타난 부분이다. 확률변수 X, Y를 다음과 같이 정의한다. eIS_1에서 x(e) = 현시점에서의 e의 특성치 : eIS_1∩ S_2에 대하여 x(e) = 0 : eIS_1∩ hat-S_2에 대하여 wIhatS_1∩ S_2에서 y(w)=현시점에서의 w의 특성치 우리가 추정하고자 하는 것은 S_2에 속하는 원의 특성치의 총합계T. T = 이다. 모집단 S_1, hat-S_1∩ S_2를 같은 기준으로 층별하고 또 각층에서 각단계의 추출단위는 집락으로 이루어져 있다고 하고, 각 단계에서 추출단위가 표본으로 추출되는 확률을 주고 일단 및 이단추출에 대하여 아래와 같은 정리들을 유도하였다. 층별 일단락추출에 대하여 Theorem 1: T의 불편추정치 hat^T를 구함. Theorem 2: hat^T의 분산 V(hat^T)를 구함. Theorem 3:V(hat^T)의 불편추정치 hat^V(hat^T)를 구함. Theorem 4:비용함수 = const일때의 최적할당법 층별 이단집락추출에 대하여 Theorem 5: T의 불편추정치 hat^T를 구함. Theorem 6: hat^T의 분산 V(^T)를 구함. Theorem 7: V(hat^T)의 불편추정치 hat^V(hat^T)를 구함. 이와 같이 구한 정리들에 의하여 시간과 더불어 추이하는 모집단에 대한 표본조사에서 다음과 같은 일이 가능해진다. 1. 현시점의 모집단 S_2에 의한 표본조사를 두 부분S_1과 hat-S_1∩ S_2에 나누어 할 수 있게 함으로서 전 조사시점까지의 표본설계의 일부 또는 전부를 이용할 수 있다. 2. 각 표본추출단계마다 확률을 적당하게 줌으로서 (예컨데, 추출단위의 크기에 비례하는 확률), 추출단위인 확률의 크기가 고르지 않음에 귀인하는 오차를 제어할 수 있다. 시간적으로 추이하는 모집단에 대한 표본조사에 상기 두가지 기능을 갖게 한 것이 바로 본 논문의 originality이다. ; We often encounter a circumstance under which a sample survey should be repeated periodically or unperiodically on a same mark on a transitive object changing as time goes by. The populations at any survey-time-points are not necessarily the same with each other, and usually change sequentially as the survey proceeds from one survey-time-point to the next survey-time-point. Then, the drawing up the frame of sample at each survey-time-point would be troublesome and uneconomical. We need, therefore, some method by which we can make use of the frames or the samples which have been utilized up to the preceding survey-time-point. In this paper, We have deduced an optimum stratified single and two stage cluster sampling design available in this case. Let S_1 : The union of populations up to the preceding survey-time-point. S_2 : The population at the current survey-time-point. S_1 ∩ hatS_2 : The subset of S_1 disappeared from current population S_1 ∩ S_2 : The subset of S_1 remained in the current population S_2. hatS_1 ∩ S_2 : The subset of S_2 appeared newly. We define the random variables X and Y as follows : X is defined on S_1, and X(e) = Value of characteristic for e KS_1 ∩ S_2 X(e) = 0 for e KS_1 ∩ hatS_2 Y is defined on hatS_1 ∩ S_2, and Y(w) = Value of characteristic for w KhatS_1 ∩ S_2 The value that we intend to search for is the total characteristic value for all elements contained in S_2: T = We stratified the populations S_1 and hatS_1 ∩ S_2 into some strata under a same rule, assumed that the sampling units in each stage in each stratum consisted of unequal clusters, and gave each sampling unit a certain probability of selection, then we obtained the following theorems for single and two stage cluster sampling design. For stratified single stage cluster sampling. Theorem 1. An unbiased estimator of T, hat^T, was obtained. (see p. 7) Theorem 2. The variance of hat^T, V(hat^T) was obtained. (see p. 8) Theorem 3. An unbiased estimator of V(hat^T), hat^V(hat^T) was obtained. (see p. 10) Theorem 4. An optimum Allocation was obtained. (see p. 12) For stratified two stage cluster sampling, Theorem 5. An unbiased estimator of T, hat^T, was obtained. (see p. 21) Theorem 6. The variance of hat^T, V(hat^T), was obtained. (see p. 22) Theorem 7. An unbiased estimator of V(hat^T), hat^V(hat^T) was obtained (see p. 25) Theorem 8. An optimum allocation was obtained. (see p. 29) The theorems obtained in this way enable us to carry out the sample survey on the transitive population, which changes as time goes by, as follows: 1. The sample survey on the population S_2 can be separated into two parts, S_1 and hat-S_1∩ S_2. Hence, concerning the part S_1, the sampling plan utilized up to the preceding survey-time-point can be available at the current-time-point. 2. By giving each sampling unit a certain probability of selection in each sampling stage (for instance, the probability proportionate to size of sampling unit), the error of cluster sampling caused by unequal sizes of sampling units can be controlled.