교사의 수학적 언어에 반영되는 교수 양식에 관한 분석

Abstract

지식이 어떻게 변형되고 전달되는가에 대한 논의는 교육과 관련된 모든 연구의 바탕이 된다. 학교 현장에서 가르칠 지식은 교사에 의해 일차적으로 변형되고 이 지식은 다시 학생에게 전달되어 이차적인 변형이 이루어진다. 이 변형의 과정에서 교사와 학생에 의해 지식을 전달하기 위한 매개체의 형태와 지식의 파손 정도가 결정되고, 이에 따라 교육의 성패가 좌우된다고 해도 과언이 아니라 할 수 있다. 그러므로 우리는 지식의 변형과 교사와 학생 사이의 의사소통에서 일어나는 지식의 전달 방식에 주목해야 한다. 수학 수업에서도 교사는 지식의 변형과 전달을 일차적으로 책임지는 소통의 주체로 활동하게 된다. 이처럼 수학적 지식을 전달하는 교사의 역할이 중요함에도 불구하고 그 동안 수학 교사의 교수 유형을 체계적으로 분석할 수 있는 방안이 마련되지 못했던 것이 사실이다. 그러므로 수학 교사에 의한 지식의 변형과 전달 방식을 체계적으로 분석할 수 있는 방안과 실제 수업에서 나타나는 수학 교수 양식의 유형에 대해 탐색해 볼 필요가 있다. 이에 본 연구에서는 교사가 사용하는 다양한 수학적 지식의 전달 매개체 중 수학적 언어를 중요한 요소로 간주하고, 교사가 사용하는 수학적 언어에 나타나는 교수 양식에 대해 분석해 보았다. 이를 위해 설정한 연구 문제는 다음과 같다. 1. 인지적 측면에서 수학 교사의 교수 양식을 체계적으로 분류할 수 있는가? 1-1. 수학 교사의 교수 양식은 인지적 측면에서 어떻게 나눌 수 있는가? 1-2. 수학적 사고 요소들을 범주화하여 수학 교수 양식 분석틀을 만들 수 있는가? 2. 교사가 실제 수업에서 사용하는 수학적 언어는 수학 교수 양식과 그 하위 범주에 따라 어떻게 분류되는가? 2-1. 수학 교수 양식은 교사의 수학적 언어를 통해 어떻게 나타나는가? 2-2. 수학 교사의 집단별 분류에 따라 교수 양식은 어떤 차이가 나타나는가? 이러한 연구 문제를 탐색하기 위하여 먼저 언어를 통한 지식의 전달 과정과 인지적 사고 양식에 관한 선행 연구들을 고찰하였다. 사고와 언어에 관한 선행 연구들은 교사의 언어에는 교사의 사고가 반영되어 나타나며, 교사의 언어는 지식을 통한 의사소통 과정에서 학생의 사고에 반영됨을 밝히고 있다. 이를 통해 교사의 인지적 사고 경향성을 의미하는 교수 양식은 각기 다른 유형의 교수 언어로 발현되고, 학생의 인지적 사고 경향성을 의미하는 학습 양식과 교수 양식이 반영되는 교수 언어에 따라 수학적 지식에 대한 학생들의 이해가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 선행 연구들 역시 교사의 교수 양식과 학생의 학습 양식이 조화를 이룰 때 학습이 효과적으로 일어날 수 있음을 밝히고 있는가 하면, 교사는 학생들이 선호하지 않는 학습양식을 보완해주어야 한다는 결과를 나타내기도 한다. 한편, 인지적 사고 양식과 수학의 특성에 대한 선행 연구들은 각각의 특성을 시각적 측면과 분석적 측면으로 분류하는 경향이 있으며, 이 두 측면과 관련된 여러 가지 요소들을 설정하고 있다. 연구들을 종합하면 수학 교수-학습 양식도 시각적 양식과 분석적 양식으로 나누어질 수 있고, 이 두 양식이 혼합되어 나타나는 혼합적 양식이 나타날 수 있다는 것을 생각해 볼 수 있다. 그러므로 시각적 양식과 분석적 양식을 양 극단의 수학 교수 양식으로 설정하고, 두 양식을 대등하게 활용하는 경향으로 혼합적 양식을 가정하였다. 또한, 인지적 양식 연구와 수학의 특성 및 수학 학습 양식에 대한 선행연구에서 시각적 측면과 분석적 측면의 관련 요소로 설정하고 있는 다섯 가지 측면을 추출하여, 시각적 양식과 분석적 양식의 분석 지표가 될 하위 요소들을 선정하기 위한 상위 범주로 활용하였다. 수학 교수 양식에 대한 연구 방법으로는 근거 이론에 따른 귀납적 연구를 선택하였다. 근거 이론에 따르는 연구는 일반적으로 개방 코딩, 축 코딩, 선택적 코딩의 순서로 진행된다. 본 연구에서도 이 세 단계의 연구 절차에 따라 다음과 같이 연구를 설계하였다. 먼저 개방 코딩을 통해 앞서 가정한 시각적 양식과 분석적 양식의 분석 지표가 될 수 있는 사고 요소들을 추출하였다. 수학적 사고 요소에 대한 문헌 분석을 거쳐 시각적 측면 및 분석적 측면과 관련된 수학의 인지적 사고 요소들을 각각 15가지씩 추출하여 총 30가지 사고 요소를 선정하였다. 이는 실제 수업에서 사용되는 교사 언어에 대한 수학 교수 양식 분석에 들어가기 이전에 수학 교수 양식 분석틀을 명확하게 설정하기 위한 것이다. 이어서 축 코딩 단계에서는 이 30가지 요소가 시각적 측면과 분석적 측면의 관련 요소로 각각 분리될 수 있는 것인지에 대한 확인적 요인 분석을 실시하였다. 근거 이론은 질적 연구의 한 방법으로 분류되지만 연구자의 분류에 대한 타당도와 신뢰도를 확보하기 위하여 양적 연구 방법인 확인적 요인 분석을 함께 수행하였다. 수학 교육 관계자 110명에게 설문 조사를 실시한 결과를 이용해 30가지 요소 중 1가지 요소를 제외한 각각의 요소들이 시각적 측면과 분석적 측면으로 나누어질 수 있음을 확인하였다. 또한, 30가지 요인은 5가지 상위 범주로 나누어 추출되었기 때문에 수학 교육 전문가에게 델파이 분석을 의뢰하여 추출해낸 사고 요소의 상위 범주에 대한 내용 타당도를 검증하였다. 이러한 개방 코딩과 축 코딩 단계를 거쳐 수학 교수 양식의 분석틀을 설정하였다. 이어서, 고안된 분석틀을 이용해 실제 수학 교사들의 수업을 분석하는 선택적 코딩을 진행하였다. 이 단계에서는 연구 대상 교사들의 수업 동영상 자료를 수집하고, 교사들이 수업에서 사용하는 수학적 언어에 대한 빈도 분석과 질적 사례 분석을 통해 실제 수업 장면에서 세 가지 수학 교수 양식이 나타나는 양상에 대해 분석하였다. 교사의 설명에서 나타나는 양식 하위 범주에 대한 빈도 분석은 Flanders의 언어 상호작용 분석법을 본 연구의 목적에 맞게 수정한 수학 교수 양식 분석법을 이용해 수행되었으며, 이와 함께 교사의 수업에 대한 질적 사례 분석을 실시하였다. 이를 통해 앞서 설정한 가설적 수학 교수 양식이 수업 실제에서 나타나는 양상을 밝히고 교사들의 교수 양식의 특징을 분석하였다. 또한, 내용 영역별, 학교급별, 경력별, 성별 교차 분석을 실시하여 교수 양식에 영향을 미칠 수 있는 요인에 대해 분석해보았고, 축 코딩 단계에서 얻은 설문 조사 결과와 선택적 코딩에 따른 빈도 분석 결과를 비교하여 수학 교수 양식에 대한 교사들의 인식을 알아보았다. 연구 결과 시각적 양식과 분석적 양식 각각에 대한 15가지 사고 요소를 5가지 범주로 통합한 수학 교수 양식 분석틀이 설정되었다. 첫 번째 범주는 수치적 인식에 대한 선호와 관련된 것으로, 어떤 문제 상황에서 질적이고 현상적인 해석을 중시하는지 아니면 수치적이고 수학적인 해석을 중시하는지에 관한 것이다. 이 범주의 하위 요인 중 시각적 양식과 관련된 요인은 현상적 해석 요소로 Vp라 설정하였고, 분석적 양식과 관련된 요인은 수치적 해석 요소로 An이라 설정하였다. 두 번째 범주는 변화에 대한 선호와 관련된 것으로, 개념의 이해나 문제 해결 상황에서 개념 또는 절차의 변화 과정을 강조하는지 아니면 각 개념을 하나의 대상으로 인식하고 한 시점에서 파악되는 조건들 간의 관계나 구조를 강조하는지에 관한 것이다. 이 범주의 하위 요인 중 시각적 양식과 관련된 요인은 동적 요소로 Vd라 설정하였고, 분석적 양식과 관련된 요인은 정적 요소로 As라 설정하였다. 세 번째 범주는 연결성에 대한 선호와 관련된 것으로, 어떤 한 대상을 연결된 형태로 통합적으로 지각하는지 아니면 분리된 형태로 국소적으로 지각하는지에 관한 것이다. 이 범주의 하위 요인 중 시각적 양식과 관련된 요인은 통합적 요소로 Vg라 설정하였고, 분석적 양식과 관련된 요인은 국소적 요소로 Al이라 설정하였다. 네 번째 범주는 직관에 대한 선호와 관련된 것으로, 학생들의 추론적 사고를 비형식적이고 개연적인 방향으로 유도하는지 아니며 형식적이고 논리적인 방향으로 유도하는지에 관한 것이다. 이 범주의 하위 요인 중 시각적 양식과 관련된 요인은 직관적 요소로 Vi라 설정하였고, 분석적 양식과 관련된 요인은 형식적 요소로 Af라 설정하였다. 마지막으로 다섯 번째 범주는 이미지 또는 기호에 대한 선호에 관한 것으로, 개념을 설명할 때 시각적이고 사실적인 묘사를 선호하는지 아니면 기호, 식 중심의 표현과 개념 정의를 통한 설명을 선호하는지에 관한 것이다. 이 범주의 하위 요인 중 시각적 양식과 관련된 요인은 영상적 요소로 Vc라 설정하였고, 분석적 양식과 관련된 요인은 추상적 요소로 Aa라 설정하였다. 이렇게 설정된 분석틀을 이용해 실제 수업에서 사용하는 수학적 언어에 대해 분석한 결과 교사들의 설명에 나타나는 수학 교수 양식은 실제로 시각적 양식, 분석적 양식, 혼합적 양식으로 분리된다는 것을 확인하였다. 특히, 혼합적 양식은 혼합되는 방식에 따라 결합적 양식과 융합적 양식이라 명명한 서로 다른 두 가지 유형이 발견되었다. 혼합적 양식을 가진 교사들은 시각적 양식과 분석적 양식을 대등한 비율로 수업에 활용한다는 공통 특성을 가지지만, 결합적 양식을 가진 교사는 이 두 양식을 시간차를 두고 각각 사용하는데 반해, 융합적 양식을 가진 교사는 두 양식을 각각 활용하기도 하지만, 두 양식 형태의 설명을 필요한 순간에 동시에 활용할 수도 있기 때문에 더 높은 차원의 교수 기술을 가지고 있다고 할 수 있다. 이와 함께, 각각의 연구 대상의 빈도 분석 결과를 범주별로 분석한 결과 교사별로 다섯 가지 범주 중 특정 범주에 대한 설명에 강세를 나타내는 것을 확인할 수 있었고, 대상 교사들이 공통적으로 선호하거나 선호하지 않는 요소가 나타났다. 예를 들어 교사들은 개념을 하나의 대상으로 바라보고 대상들이 만들어내는 수학적 체계를 중심으로 설명하는 정적 요소인 As와 직관적이며 창의적인 형태의 설명과 이와 관련된 학생들의 사고를 요구하는 직관적 요소인 Vi를 대체로 선호하지 않는 것으로 나타났고, 기호, 식 등을 활용하고 개념 정의를 강조하는 추상적 요소인 Aa는 모든 교사가 선호하는 것으로 나타났다. 집단별로 교사들의 분류하여 교수 양식이 나타나는 양상을 분석한 결과 수학 교수 양식은 다른 변인 보다는 교사 경력에 따른 영향을 많이 받는 것으로 나타났다. 초임 교사들은 시각적 양식과 분석적 양식 중 한 쪽으로 치우치는 경향이 있었으며, 경력 교사들은 혼합적 양식을 주로 나타내는 경향이 있음을 확인할 수 있었다. 이러한 현상은 혼합적 양식이 한쪽 측면에 치우친 인지적 경향성이 아니라 양 극단의 양식을 혼합해놓은 것이라는 발생적 특성에 기인한다고 할 수 있다. 즉, 혼합적 양식은 시각적 양식 또는 분석적 양식처럼 무의식적으로 선호되는 개인의 경향성이라기보다는 경험의 축적을 통해 학습될 수 있는 양식이라는 것이다. 이러한 분석 결과들을 토대로 수학 교수 양식을 재개념화하고 발전 모델을 설정하였다. 한편, 교사들이 자신의 교수 양식에 대한 인식을 조사한 결과 교수 양식 빈도 분석과 설문 조사는 확연하게 차이가 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 이 결과는 교사들이 자신의 교수 양식을 잘 인지하지 못하고 있을 가능성이 있다는 것을 설명하는 것이며, 체계적인 수학 교수 양식 분석 방안의 필요하다는 것을 의미하는 것이다. 수학 교사의 교수 양식에 관한 본 연구는 수학 교사들의 수업 방식에 대한 옳고 그름을 판단하기 보다는 교사들의 수업에 대한 실제 분석을 통해 강점과 약점을 파악하는 처방적 성격의 연구라는 데 그 의의가 있다. 많은 선행 연구에서 학생의 학습 양식이 교사의 교수 양식과 조화를 이루지 못할 때 학생들은 교사의 설명을 이해하지 못하고 낮은 학업 성취도를 나타낸다는 것을 설명하고 있다. 인지적 발달 단계의 한 가운데에 있는 학생들이 가지고 있는 학습 양식은 한 쪽 극단으로 치우칠 수 있으며 여러 학생들이 모인 교실에서 학습 양식은 각각의 학생마다 다양하게 나타날 수 있다는 것을 고려한다면, 수학 교사는 양 극단에 치우치지 않는 혼합적 교수 양식을 가질 수 있어야 할 것이다. 본 연구에서는 수학 교사의 교수 양식이 교사의 경력에 따라 축적되는 경험적 지식의 영향을 받아 발전될 수 있다는 것을 밝힘으로써, 교사들이 스스로 자기연찬을 통해 혼합적 교수 양식으로 나아갈 수 있는 가능성을 제시하였다. 또한, 수학 교수 양식을 분석할 수 있는 체계적인 분석틀과 분석 방안을 제공하고 이를 이용해 교수 양식을 분석하여 교사들의 교수 양식에 대한 강점과 약점을 다각도로 파악할 수 있도록 함으로써, 수학 교사들이 수학 교수 양식을 수정, 보완할 수 있도록 하였다. 본 연구의 연구 결과를 바탕으로 수학 교사의 교수 양식에 관한 연구가 더 발전적으로 진행되길 바라며 몇 가지 후속 연구를 제안한다. 첫째, 본 연구에서 제시한 분석틀을 더 견고하고 정련된 것으로 만드는 인지 중심의 교수 양식 연구가 필요하다. 둘째, 수학 교수 양식 분석틀을 활용하여 우리나라 수학 교사들의 교수 특성을 파악하고 다른 나라 교사들과의 차이점을 알아보는 비교 연구가 필요하다. 마지막으로 수학 교사들의 교수 양식과 학생들의 학습 양식의 조화에 따른 학업 성취도 및 정의적 특성의 변화에 관한 연구가 필요하다. 이러한 연구들을 바탕으로 수학 교사의 교수 양식에 대한 체계적인 분석이 이루어지고 그에 따른 보완점에 대한 처방을 통해 교사의 전문성을 향상시킴으로써 학생들의 수학 학업 성취와 수학에 대한 태도를 긍정적인 방향으로 변화시킬 수 있을 것이라 생각된다.;The discussion of how knowledge is transformed and delivered is the cornerstone for all studies of pedagogy. Knowledge delivered in class is held by teachers on one hand and delivered to students on the other hand. It is safe to say that the success or failure of education relies heavily on the transformation and fragility of knowledge. Therefore, we need to pay keen attention to the conveyance and the transformation of knowledge that takes place in the communication between teachers and students. Particularly in class, teachers are the first subjects responsible for the transformation and transmission of knowledge. As such, it is regrettable that there is not a specific analytical framework for teachers’ teaching styles and thinking processes; whereas, a variety of studies have been conducted regarding students’ learning styles and thinking processes. This study attempts to create an analytical framework of the transformation and transmission of knowledge by teachers to students. This study focuses on the assertion that the cognitive thinking of a teacher is reflected in his use of mathematical language. Mathematical language is one of the critical elements of communicating mathematical knowledge to students. This study examined the cognitive teaching style of different teachers as expressed in their use of mathematical language. In doing so, the following research questions were chosen as the focus of this study: 1. How can the cognitive teaching styles of a mathematics teacher be categorized? 2. How can the types of mathematical language a mathematics teacher uses in class be classified? To address these research questions, this study researched the existing literature on the transmission of knowledge and cognitive styles of thinking through language in the course of mathematical communication. Based on this, the study found that a teacher’s language reflects his or her thinking and thus has an influence on students’ thinking. In addition, since a teacher’s cognitive thinking is involved in his or her teaching style and may be expressed into mathematical language, this study hypothesized that mathematics teaching style can be divided into visual or analytic style. In addition, it is presumed that there can be a combination of the two styles. Accordingly, this study classifies the teaching styles of math teachers into visual, analytic or a mixed style. Also, this study analyzed the sub-styles discussed in the existing literature and articulated 5 sub-categories for each of the visual and the analytic styles. To deduct the findings from the research questions, this study carried out 3 ways of coding according to the research procedures of ground theories and conducted inductive analysis on math-teaching styles. The study extracted the faction of thinking that could be analytic indicators for the visual and analytic style previously presumed and carried out open coding to design an analytic framework for the indicators of math-teaching styles. The analytical framework was used to extract mathematical cognitive factors involving visual and analytic style, respectively according to the preset 5 categories. In total, 30 factors were chosen. Next step in this study are axis coding. Then, confirmative factor analysis was carried out to determine if these 30 factors should have been divided into and assigned as visual or analytic style related factors. The confirmative factor analysis suggested that each factor could be divided into visual or analytic style. Along with this, delphi method was employed to test the validity and reliability of the extracted thinking factors. The last step in this study was selective coding that was conducted to analyze the actual teaching of math teachers and to shed light on the hypothesized math-teaching styles to determine how the styles are actually reflected in class. At this stage, class video materials of teachers total representing elementary, middle school and high school level instruction. A preliminary study was conducted to choose 6 teachers total with all three teaching styles represented. Frequency and qualitative case analysis were carried out to look into how math-teaching styles were expressed in actual class. For the frequency analysis, Flanders’ language interaction analysis technique was revised to fit to the purpose of this study, as well as path analysis of class to analyze the characteristics of the teaching styles of the math teachers. Furthermore crosstabs analysis was conducted by scope of the content, level of school, experience and sex to establish factors that could influence the teaching styles and the teachers’ self awareness. Based on the findings, an analytical framework of math-teaching styles was created integrating thinking factors of each visual and analytic style into 5 categories. The first category was related to numeric cognition and “in what situation phenomenological or numeric and mathematical was significant for interpretation” Among the sub-factors of this category, the factors related to visual style were those involving phenomenological interpretation, set as Vp. Likewise, the factors related to analytic style were numeric and mathematical interpretation and set as An. The second category was engaged with the awareness of change “in understanding concepts or solving problems, is understanding change or the relationship among or the structure of each concept or condition emphasized?” Among the sub-factors of this category, the factor related to visual style was dynamic and set as Vd and the factors related to analytic style were static and set as As. The third category was related to the types of perception on link and about the method of explanation that could vary by the way one object is perceived holistically as linked or locally as separated. Among the sub-factors of this category, the factors related to visual styles were perceived locally separated and set as Vg and the factors related to analytic style were local and set as Al. The fourth category was related to the directional preference of students’ inferential thinking. Among the sub-factors of this category, the factors related to visual style were intuitional factors and set as Vi and the factors related to analytic style were logical factors and set as Af. Last, the fifth category was about the explanatory expression of concepts. Among the sub-factors of this category, the factors related to visual style were imagery factors and set as Vc and the factors related to analytic style were abstract factors and set as Aa. With the help of this analytical framework, this study conducted an analysis on the videotaped classes and found that the teachers were not biased to one side but in fact there were teachers who demonstrated visual, analytic or mixed teaching style. Particularly, this study identified that the mixed style was clearly divided into associated and convergent style, depending on how the two styles were mixed. Although the teachers with mixed teaching styles were the same in that they used visual and analytic teaching style at similar proportion in class, the teachers with associated teaching style could use each of two separately in necessary situation whereas the teachers with convergent teaching style used the two at the same time, which is a higher teaching technique. These four styles were found more frequently when the teacher had more experience teaching. Less experienced teachers tended to lean to one of two teaching styles while more experienced teachers tended to use mixed teaching styles more. Among the mixed teaching styles, more experienced teacher tended to used convergent style rather than associated style. Also, the results of research showed the tendencies the all of teachers in this research that individual teacher has his or her preference for and excellence in a certain category of 5 sub-categories. For example, most of the teachers were found to be weak in item Vi, which required intuitive and creative explanation and students’ thinking related to these, but most teachers were strong in item Vc, which emphasized using signs and formulas and conceptual definition. Additionally, many other teaching characteristics were analyzed. This study regarding the teaching style of math teachers places its significance not on which teaching style is right or wrong but on identifying the strong and weak points of the teaching styles through actual analysis. This study finds that teachers need to use the mixed teaching style. As such, the analytical framework created by this study provides teachers an opportunity to know, modify, if necessary, and complement their teaching style. Many previous studies showed that unless students’ learning styles are in accordance with their teachers’ teaching styles, students have difficulty understanding teachers and thus their academic performance is low. Also, for the class where students’ learning styles could tilt to one side, teachers should use a complimentary teaching style. Therefore, this study concludes that math teachers can analyze their teaching styles and improve them through the analytical framework provided in these findings. In an attempt to see more development in the academic research of math teachers’ teaching styles, this study proposes some research to follow. First, recognition-centered teaching styles should be studied to make the analytical framework more solid and refined. Second, with this analytical framework of math-teachers’ teaching styles, comparative studies of difference are required between the teaching characteristics of Korean and foreign math teachers. Last, the correlation should be found between the accordance and performance of students’ learning styles with math teachers’ teaching styles. On the basis of these studies, clear comprehension can be obtained on math teachers’ teaching styles and corrective measures, if necessary, to enhance the professionalism of teacher and to have positive impact on students’ performance in and preference of mathematics.