초등수학에서 등호 개념 지도를 위한 교사 지식에 관한 연구

Abstract

Equal sign is the most frequently used mathematical symbol in school mathematics. However, many students have difficulty to understand the relation of equal sign, and they normally recognize the sign as a protocol or signal which is representing the result of calculation. The students, who have a lacked understanding in terms of variety aspect of equal sign, make an error related to using the concept and continue to study while keeping wrong concept of equality. One of the root causes for this matter is related to the elementary school mathematics. In other words, students are forced to repeatedly practice the four fundamental arithmetic operations in order to reach the answer, and this circumstance push primary schoolchild into recognizing the equal sign as a signal of the calculation result from the left-side rather than a total relation from both sides. Moreover, the comprehension issue in terms of the concept of equality for students is not only a problem for learner’s aspect, but also a problem for teacher’s point of view. Concept of equality is hard to be transferred to students in more organized and clear way without preceding thorough understanding of the idea that teachers are willing to instruct. Therefore, this study is aimed to investigate in detail how equal sign is being introduced in elementary school textbook on mathematics, and to analyze knowledge that teachers have for them to instruct the concept of equal sign. To this end, the following study problems are established. 1. What is the introduction and use of equal sign in elementary school textbook on mathematics? 2. What is content knowledge for elementary school teachers to instruct the concept of equality? 3. What is pedagogical knowledge for elementary school teachers to instruct the concept of equality? To solve study problems, elementary school textbook was analyzed, and a survey targeting 48 teachers for elementary school was carried out. The questionnaire was written out by researcher in person based on a number of references, and be used after supervision from mathematical educationist.. To solve study problems 1, the study divided an understanding of equal sign into three areas, such as operational symbol, relational symbol, and defining symbol, and investigated the frequency in each category including researcher’s analytic interpretation. To solve study problems 2 and 3, the frequency is analyzed by classifying the responses to the questionnaire, and researcher’s analysis of knowledge for teaching is included. The findings are as follows. First, a portion of equal sign in elementary school textbook on mathematics showed that the equal sign mainly used as a symbol representing the result of calculation, and examples that are including various meanings of equal sign were relatively quite small. In addition, a great part of equal sign printed in textbook has shown the form with the left-side operation. Second, teachers for elementary school tend to interpret the concept of equality as a systematic analysis rather than a relational analysis, and the teachers haven’t shown any superior ability to understand the concept of equality, compared to elementary level of education. Third, the teachers comparatively have shown well-awareness about the fact that students are facing difficulty when they study the concept of equality; on the other hand, they had no clue for a significant coaching method to solve student’s difficulty. Moreover, most of teachers had thought that the way of calculation is more important than relational understanding about the concept of equality. Based on the study results, the study concludes that the equation with a left-side operation is so overemphasized in an elementary school textbook on mathematics that it causes difficulty for students to understand relational analysis of equal sign. In addition, teachers have shown tendency to understand equal sing as operational concept rather than relational concept in mathematics, and the tendency is expected to affect students in many ways while the concept of equality is being taught. In reality, it seems like importance in relational understanding of equal sign for students haven't been appreciated among the teachers. Based on the findings, the study is suggested as follows. Mathematics textbook for elementary school level should be enabled to let students understand a wide variety of meaning of equal sign by introducing various form of equation, as well as emphasize the method of calculation. Lastly, based on the preceding research, teachers need to emphasize an aspect of relational equal sign more than ever before for students to fully understand a great variety of meaning.;등호는 학교수학에서 가장 빈번하게 사용되는 수학적 상징임에도 불구하고, 많은 학생들은 등호에 대해 관계적으로 이해하지 못하고 등호 사용과 관련된 오류를 범하거나 등호에 대한 잘못된 개념을 가지고 있다. 이러한 문제점의 근본적인 원인 중 하나가 초등수학과 관련되어 있는데, 사칙연산에 대한 학습을 주로 하며 답을 얻기 위해 연산을 수행하는 초등학교 학생들에게 등호는 양변에 있는 대상의 관계로 파악되기보다는 좌변의 연산 결과를 우변에 나타낸다는 신호로 인식된다. 또한 학생의 등호개념에 대한 이해는 학습자 차원의 문제일 뿐만 아니라 교사 차원의 문제이기도 하다. 지도하려는 개념에 대해 교사 스스로 깊고 충분한 이해가 선행되지 못한 상황에서는 학생들에게 그 개념을 체계적이고 분명하게 이해시키기 어렵다. 이 연구에서는 초등학교 수학 교과서에서 등호가 어떻게 도입 및 사용되는지 살펴보고, 초등학교 교사들이 등호 개념 지도를 위해 어떤 지식을 가지고 있는지 분석하고자 하였다. 연구의 목적을 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 초등학교 수학 교과서에서 등호의 도입과 사용은 어떠한가? 2. 등호 개념 지도를 위한 초등학교 교사들의 내용 지식은 어떠한가? 3. 등호 개념 지도를 위한 초등학교 교사들의 교수 지식은 어떠한가? 먼저 초등학교 수학 교과서에서 등호의 도입과 사용이 어떠한지 분석하기 위해 등호의 사용을 크게 연산적 기호, 관계적 기호, 정의하는 기호로 나누어 그 사용빈도를 분석하고 결과를 해석하였다. 다음으로 등호 개념 지도를 위한 초등학교 교사들의 내용 지식과 교수 지식에 대해 조사하기 위해 초등학교 교사 48명을 대상으로 연구자가 직접 제작한 설문지를 사용하여 설문조사를 실시하였다. 그 후 설문의 응답을 범주화하여 빈도분석 하였고 이것으로 설명되지 않는 내용을 위해 연구자의 자의적 해석을 병합하였다. 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 초등학교 수학 교과서 및 익힘 책에서 등호의 사용 빈도는 내용 영역 중에서는 ‘수와 연산’ 영역이 대부분을 차지하였으며 등호 사용 유형 중에서는 ‘좌변 연산 식’의 형태로 가장 많이 제시되었다. 둘째, 등호 개념 지도를 위한 교사들의 일반 내용 지식을 살펴본 결과 등호를 조작적으로 이해한 교사들의 빈도가 높았으며 교사들의 등호 읽기는 초등학교 수학 교과서에 제시된 등호 읽기와 유사하게 나타났다. 초등학교 교육과정을 넘어선 내용에서 등호가 사용된 경우 많은 교사들이 그 의미를 정확하게 파악하지 못하였다. 등호 개념 지도를 위한 교사들의 교수 내용 지식을 살펴본 결과 교사들은 좌변에 연산이 있는 등식을 지도의 소재로 선호하였다. 또한 일부 교사들은 지양해야 할 잘못된 등호 사용의 예를 정확하게 파악하지 못하고 수업 시간에 이러한 예를 활용하고 있는 것으로 나타났다. 셋째, 등호 개념 지도를 위한 교사들의 교수 방법 지식을 살펴본 결과 학생들에게 등식 또는 등호 개념을 지도할 때 조작적인 방식을 통해 지도하겠다는 응답의 빈도가 상대적으로 높게 나타났다. 학생들에게 ‘=’의 명칭을 정확하게 지도한다고 응답한 교사의 빈도는 낮았으며 학습자의 등호 이해를 개선하기 위한 자신만의 고유한 지도방법을 갖고 있는 교사의 빈도도 낮게 나타났다. 등호 개념 지도를 위한 교사들의 학습자 지식을 살펴본 결과 교사들은 등호 개념 학습에서 학생들이 경험하는 어려움과 그들이 자주 범하는 오류에 대해 비교적 명확하게 인식하고 있었다. 등호 개념 지도를 위한 교사들의 교육 과정 지식을 살펴본 결과 초등학교 수학과 교육과정에서 등호가 사용되는 영역에 대한 교사들의 인식은 수와 연산 영역에 집중되어 있는 것으로 나타났다. 또한 교육과정이 개정됨에 따라 초등학교 6학년에서 방정식 개념을 지도하게 되는 것에 관하여 적지 않은 교사들이 학습량 과다 등을 이유로 반대 의견을 피력하였다. 본 연구의 결과를 종합하여 결론을 내리면 다음과 같다. 초등학교 수학 교과서의 서술 방식은 등호 개념 지도를 위한 교사 지식에 영향을 미칠 수 있다. 또 교사들은 등호 개념을 조작적으로 이해하는 경향이 있었으며 좌변에 연산이 있는 등식을 지도의 소재로 선호하였는데, 이는 초등학교 수학 교과서에서의 등호 사용 빈도와 무관하지 않다고 볼 수 있다. 교사들은 등호 개념을 지도할 때에도 조작적인 방식을 취하는 경향이 있었는데 이는 등호 개념에 대한 교사 스스로의 이해가 등호 개념 지도에도 영향을 미치는 것으로 해석할 수 있으며 따라서 교사의 내용 지식 개선을 위한 노력이 필요하다. 또한 교사들은 등호 개념 학습에서 학생들이 경험하는 어려움을 비교적 정확하게 파악하고 있었다. 교육과정에서 등호가 사용되는 영역에 대한 교사들의 인식은 수와 연산 영역에 집중되어 있었는데, 이는 실제 초등학교 수학 교과서에서 등호가 사용되는 빈도와 일치하는 결과이며 교과서의 서술 방식이 교사들의 인식에 영향을 미쳤을 것으로 해석할 수 있다. 본 연구의 결과를 바탕으로 제언하면 다음과 같다. 초등학교 수학 교과서에서 우변 혹은 양변에 연산이 있는 형태의 등식을 적절하게 활용할 수 있는 방안에 대한 연구가 필요하다. 또한 등호 개념에 대한 다양한 이해를 도울 수 있도록 교과서에서 활용할 수 있는 효과적인 활동을 개발할 필요가 있다. 다음으로, 더 많은 초등학교 교사들을 대상으로 등호 개념과 관련된 교사의 내용 지식에 관한 체계적인 연구를 진행할 필요가 있다. 본 연구에서는 한정된 지역에서 선정된 48명의 교사들만을 대상으로 연구를 진행하였지만, 더 많은 교사들을 대상으로 연구가 진행된다면 일반화의 가능성이 더 높은 연구 결과를 도출할 수 있을 것으로 기대된다. 이러한 연구 결과는 등호 개념에 대한 교사들의 내용 지식을 개선하기 위한 발판으로 작용할 수 있을 것이다. 마지막으로, 학생들의 등호 개념을 개선할 수 있는 효과적인 교수 방법에 대하여 연구가 진행될 필요가 있다. 기존의 연구들에 의해 밝혀진 등호 개념에 대한 학생들의 오류 유형을 기반으로 이것을 개선할 수 있는 구체적인 교수 방법이 개발되고 교사들이 이를 실제 수업에서 활용할 수 있도록 한다면, 이는 학생들의 등호 이해 및 교사들의 교수 지식 개선에 효과적인 역할을 할 것으로 예상된다.