예비교사들의 학습자 이해 지식과 교수방법 지식에 관한 연구

Abstract

The purpose of this study is to help pre-service teachers by investigating their knowledge about students' understanding and teaching methods in geometric proofs for the second graders of middle school, including the analysis on their understanding of the analytic methods as teaching methods. To achieve this, the subjects of study have been set up as follows First, What is the pre-service teachers' Pedagogical Content Knowledge and teaching methods in geometric proofs of like? Second, What is the pre-service teachers' understanding of analytic methods as teaching methods in geometric proofs like? In order to acquire the solution for such subjects, the literature review, which was centered on their knowledge about students' understanding and teaching methods in PCK and geometric proofs, was carried out. And based on the literature review, the questionnaire aimed at pre-service teacher was developed. The 19 questions were included in the questionnaire through analysis and integration of questions which had been used in the preceding studies. And the preliminary inspection was carried out in order to correct the weak points of questionnaire prior to the inspection, in which pre-service teachers' knowledge about students' understanding, teaching methods and their understanding of analytic methods were investigated and analyzed. The participants of this questionnaire survey were composed of 7 female college students at teachers' colleges located in Seoul and Incheon area and 13 female graduate student at three graduate schools located in Seoul. The 20 pre-service teachers had taken the course of mathematics education theory, or were taking the course at the time. The pre-service teachers' knowledge about students' understanding and teaching methods was investigated, and then their understanding about analytic methods as a teaching method was grasped, by classifying the types of response to each question, presenting the rate of answers in connection of the types and analyzing the reasons of the answers. The analytical results of this study are as follows. Above all, according to the survey on general recognition on geometric proofs, it was found out that most of pre-service teachers understood geometric proofs based on the absolutist views, however, there were few pre-service teachers who understood geometric proofs from the viewpoint of quasi-empiricism or social constructivism. And, in general, they were thinking geometric proofs was important in mathematics taught at schools. 70% of the pre-service teachers already had actual teaching experience, and they had found that it was difficult for students to carry out geometric proofs, and the students regraded geometric proofs as something to memorize. In the 'Study Subject 1', the knowledge about studentrs' understanding, which was related to students' difficulty in geometric proofs, appeared to lean too much toward the reason of students themselves and teachers, and when it was compared to preceding studies, the answers based on the unit of geometric proofs took lower portion on the whole. As for the teaching methods for students who were not good at geometric proofs, several methods were introduced simply, such as teaching through analytical method, proving methods that fit levels of students and classes through lifting questions, were presented. And as for the introducing methods for geometric proofs, use of pictures or manipulative materials and natural introduction of necessity of geometric proofs were introduced. In the case of knowledge about students' understanding related to errors of proofs, the understandability varied according to the types of errors. However, more than half of the answers implied that they lacked of knowledge about errors, and in many answers they told they would carry out supplementary teaching or introduce the meaning and methods of proving. They presented the teaching methods where classes mainly composed of explanation were carried out, and there were few answers about classes in which students participation was attracted or other teaching materials were used. In the 'Study Subject 2', it was found out that most of the pre-service teachers were aware of analytical methods, regarding the reductive analysis as the definition of analytical method. But they didn't know well about proving procedure and order. Though they regarded the deductive method as the analytical method, they did not present the reason appropriately, merely regarding it as an analytical method or understanding it as a reductive analysis because it began with conclusion. Though they regarded the incomplete analysis that is a kind of deductive analysis as an analytical method in logarithmic region, the most answers lacked the validity of reason why they thought it was the analytical method. And the thought the deductive analysis was the reductive analysis. There were some pre-service teachers who did not regard the reduction to absurdity as an analytical method, but regarded it as a kind of integration methods, and most of them thought that what showed contradiction by assuming the conclusion as a false could not be included in analytical methods. And they thought the analytical method was more than the integration method when carrying out actual proving process of analytical and integration methods. According to the analysis results on proving process where the analytical method was used, it was found out that the pre-service teachers carried out the proving process through deductive analysis in more cases, despite the fact that they understood the concept of reductive analysis. In fact, it was found out that the pre-service teachers lacked the ability of reductive analysis.;본 연구의 목적은 중학교 2학년 기하 증명에 관한 예비교사들의 학습자 이해 지식과 교수방법 지식을 알아보고, 지도방법으로서 분석법에 대한 이해를 분석함으로써 예비교사 교육에 도움을 주고자 함이다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 예비교사들의 증명에 관한 PCK 중 학습자 이해 지식과 교수방법 지식은 어떠한가? 2. 예비교사들의 증명 지도 방법으로서 분석법에 대한 이해는 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위해 증명에 대한 문헌을 검토하고, 이를 바탕으로 예비교사를 대상으로 하는 검사 지를 개발하였다. 각 검사 문항은 선행연구에서 사용한 문항을 분석, 종합하여 총 19개의 문항으로 제작하였다. 그리고 예비 검사를 실시하여 검사에 대한 문제점을 보완하고 예비교사들을 대상으로 본 검사를 실시하여 예비교사들의 학습자 이해 지식과 교수방법 지식 그리고 분석법에 대한 이해를 조사•분석하였다. 연구대상은 서울시와 인천시에 소재하는 사범대학 2곳에 재학 중인 여대생 7명과 서울시에 소재한 교육대학원 3곳에 재학 중인 여 대학원생 13명으로서 수학 교육론을 수강하거나 현재 수강하고 있는 예비교사 총 20명으로 하였다. 각 문항의 응답 유형을 분류하고 그 유형에 따른 응답률을 제시하고, 응답에 대한 이유를 분석하여 예비교사들의 학습자 이해 지식과 교수방법 지식을 조사하고 지도방법으로서 분석법에 대한 이해를 파악하였다. 본 연구의 분석결과를 요약하면 다음과 같다. 우선 예비교사들의 증명에 대한 일반적인 인식을 조사한 결과 예비교사들 대부분은 증명을 절대주의 관점에서 이해하고 있었고, 준 경험주의나 사회 적 구성주의 관점으로 증명을 이해하는 교사는 거의 없었다. 그리고 학교수학에서 증명의 중요성에 대한 인식은 대체로 중요하다고 보는 입장이었다. 예비교사 70%가 증명 지도경험이 실제 있었고, 학생들 대부분이 증명을 어려워하며, 암기해야 할 것으로 받아들인다고 하였다. ‘연구문제 1’에서는 증명을 어려워하는 이유에 대한 학습자 이해 지식은 학생 자체의 원인과 교사의 원인에 편중되어 나타났고, 선행연구를 비교해 보았을 때 증명단원을 원인으로 하는 답변은 대체적으로 낮았다. 증명을 어려워하는 학생들에 대한 지도방안으로 분석법을 통한 지도, 학생수준에 맞는 다양한 증명방법, 발문을 통한 수업 등을 간단히 제시하였고, 증명을 도입하는 방법으로 그림이나 구체적 조작 물 사용, 증명의 필요성을 자연스럽게 도입하기를 제시하였다. 그리고 증명 오류에 대한 학습자 이해 지식은 오류유형에 따라 이해도가 달랐지만, 특히 증명 과정의 일부를 생략하는 오류, 기술적인 오류, 연산자의 오류에 대한 지식이 부족한 것으로 나타났다. 증명 오류에 대한 교수방법은 대체로 부족한 부분을 보충하여 지도하거나, 증명의 의미나 방법 지도에 대한 답변이 많았다. 주로 교사의 설명식 수업을 통해 이루어지는 교수방법을 제시하고, 학생들의 참여를 이끄는 활동이나 다른 교구를 통한 수업에 관한 것은 거의 없었다. ‘연구문제 2’에서는 예비교사들 대부분 분석법에 대하여 알고 있었으며, 대체적으로 환원적 분석법을 분석법의 정의로 알고 있었지만 분석법의 순서를 잘 알지 못했다. 또한 기하 증명에서 연역적 분석법을 분석법이라고 보았지만, 그 이유는 타당하게 제시하지 않았으며 단지 결론에서 시작하기 때문에 분석법으로 보거나 환원적 분석으로 이해하는 경우가 많았다. 대수 영역에서 연역적 분석법의 종류인 불완전 분석을 분석법으로 보았으나 대부분 분석법이라고 밝힌 이유가 타당하지 않았으며 연역적 분석을 환원적 분석으로 알고 있었다. 귀 류 법을 분석법으로 보지 않고 종합법의 일종으로 보는 예비교사들도 있었으며, 대부분 결론을 거짓으로 가정하여 모순을 보이는 것은 분석법에 포함되지 않는다고 보았다. 그리고 분석법과 종합법의 실제 증명과정에서 분석법을 더 어려워하였다. 또한 분석법을 사용한 증명과정 분석 결과 예비교사들이 환원적 분석에 대한 개념을 알고 있음에도 불구하고 연역적 분석을 통해 증명을 진행하는 경우가 많았다. 실제 예비교사들이 환원적 분석에 대한 능력이 부족함을 보여주었다. 예비교사들의 증명에 관한 PCK 조사 연구는 지도 경험이 부족한 예비교사들에게 학생들이 겪는 어려움과 오류와 그 원인에 대한 교수-학습에 관한 지식을 제공하며, 증명을 어려워하는 학생들에게 교과서에 의존하여 종합 법 만으로 지도하는 것에서 벗어나 다양한 학습 상황에서 학습자에 대한 지식을 토대로 그에 맞는 지도방법을 탐색해보는 기회를 제공하여 예비교사들의 교사지식을 풍부하게 하는데 도움이 될 것이며, 나아가 예비교사 교육에 도움이 될 것이다. 본 연구는 기하 증명의 학습자 이해 지식과 교수방법 지식의 인지적 측면을 분석하였다. 후속연구에서는 인지적 측면뿐만 아니라 정의적 측면, 행동적 측면에 대한 분석도 이루어져야 하며, 기하 영역에 대한 증명뿐만 아니라 대수 영 영의 증명에 대한 연구가 이루어져야 할 것이다.