변이교수(Teaching with Variation) 관점에서 바라본 수학수업에서 교사의 교수행동 분석 연구

Abstract

Education and values are closely connected. Whether education is performed on a value is a very important issue. This starts to observe actions in sincere daily life where is performed on actual mathematics classrooms. Self-reflection through this observation is let see mathematics classrooms objectively and background to discovery alternative proposals. The purpose of this study is to examine teacher's role in mathematics classrooms, around interaction between teacher and learner. Through pilot study, this study is assumed fundamentals of mathematics classrooms, fundamentals of teacher's characteristic and optimization behavior. Pilot study is conducted lesson analysis on mathematics classrooms gathering for international comparison study, LPS(Learner's Perspective Study). These are research question which this study focuses on, in accordance with is stated goal; 1. How did a teacher display her pedagogical content knowledge from 'teaching with variation' of point of view in mathematics instruction? 2. How did a teacher display her teaching behavior from 'teaching with variation' of point of view in mathematics instruction? 3. How did teachers and learners assess teaching behavior from 'teaching with variation' of point of view in mathematics instruction? To deal with these problems, a category system was developed through literature research and the research on mathematics class 1. Mathematics class 1 proceeded on action research. The period for researching mathematics class 1 was scheduled till August from June 2007, and materials were collected observing 28th lessons in 4 classes and referring to the questionnaires for students and the evaluations by students and teachers. To analyze materials, of 4 classes, 1 class where students faithfully responded and well attended was selected and a follow-up analysis was made on lessons in this class and on written evaluations. Based on these results, a category system for analyzing mathematics classes led by teachers was developed. More objective validity was given to action research, and the research on mathematics class 2 was carried out to integrate theories and achieve sophistication in the developed category system. As a participant in mathematics class 2, teacher Lee was selected, who was teaching 1st graders mathematics in S girls’ high school located in Seoul, Korea. The period for researching mathematics class 2 was till July from March 2009, and materials were collected observing 7th lessons in 1 class previously selected through the interview with the researcher and referring to questionnaires for students and evaluations by students and teachers. To analyze materials, of 7th lessons, 5th lessons were selected because those lessons had been successive so as to make it easy to observe the organization of a lesson and written evaluations were analyzed, as well as the depth-interviews with teacher Lee were done. In summary, the results of this study are as follows. First, the teaching behaviors in mathematics lessons led by teachers were analyzed from the point of view of their knowledge in mathematics and in respect of teaching behavior. Teacher’s knowledge for teaching students mathematics focuses on how to extract the core of contents presented in text books and how to deliver it. Teacher’s teaching behavior is performed by repeatedly stressing mathematical contents and inducing students’ reactions when the subject is converted. Second, for students’ mathematical experiences in a mathematics lesson led by a teacher, an analysis was made on written evaluations and the notes that recorded the contents of interviews done with students after the lesson was observed. Students construct the contents of a lesson, focusing on the formulas and mathematical results that their teacher stressed. In addition, students showed a propensity to the lack of their understanding and mathematical ability when they felt the lesson was difficult. The following suggestions can be made based on these study results. First, it is necessary to consider two aspects in teacher’s teaching behavior in mathematics class led by her. The aspect of mathematical knowledge can be considered. In terms of mathematical knowledge, a teacher composes his lesson focusing on text books and stresses procedure knowledge. From the point of view of optimized behavior, the teacher stresses the core of contents from his lesson and converses the subject by having a dialogue with students. Second, in the mathematics classrooms led by a teacher, students construct mathematical concepts centering around the contents that their teacher stressed, and they have a tendency to rely on their teacher.;교육은 가치와 밀접하게 관련된다. 어떤 가치관에 입각해서 교육하느냐는 중요하게 고려되어야 할 문제이며, 이는 실제 수학교육이 이루어지는 수학교실의 진솔한 일상 생활에서 수학교사의 교수행동을 살펴보는 것에서 출발한다. 이를 통한 수학교사의 자기 반영은 수학교실을 객관화하여 바라볼 수 있도록 해 주며, 대안의 발견을 위한 밑바탕이 된다. 특히, 거의 모든 중등학교에서 교사주도 수업이 이루어지고 있는 한국의 수학교실에서 교사의 교수행동은 면밀히 분석될 필요가 있다. 본 연구에서는 수학수업에서 교사의 교수행동을 중심으로 중등학교에서 수학적 내용이 어떻게 가르쳐지고 있는가를 살펴보는데 그 목적을 두었다. 이러한 목적을 가지고 시작된 본 논문의 연구는 예비연구, 수학교실 1 연구, 수학교실 2 연구의 세 단계 연구로 진행되었다. 예비연구는 국제 비교연구인 LPS(Learner's Perspective Study)를 위해 수집된 3개의 수학교실에 대한 30차 시의 수업분석을 통해 이루어졌으며, 예비연구의 과정과 결과를 통해 도출된 본 연구의 구체적인 연구문제는 다음과 같다. 1. 변이교수 관점에서 바라본 수학수업에서 교사의 교과 교수지식은 어떻게 나타나는가? 2. 변이교수 관점에서 바라본 수학수업에서 교사의 교수행동은 어떻게 나타나는가? 3. 변이교수 관점에서 바라본 수학수업에서 교사와 학생들은 교사의 교수행동을 어떻게 평가하는가? 본 논문의 연구는 근거이론을 바탕으로 하여 연구 현장인 수학교실을 중심으로 지속적인 자료의 수집과 분석을 병행하였다. 예비연구를 통해 본 연구의 주제, 연구문제를 도출한 후, 질적 사례연구를 통해 본 연구를 수행하였다. 본 연구는 연구자 자신의 교수행동을 분석한 실행연구인 수학교실 1 연구와 실행연구에 보다 객관적인 타당성을 부여하기 위해 동료교사의 교수행동을 분석한 관찰연구인 수학교실 2 연구로 이루어져 있으며, 두 수학교실 연구는 순환적 과정과 절차를 거쳐 자료가 수집, 분석되었다. 실행연구인 수학교실 1 연구에서는 연구자 자신이 실행자이자 연구자로서 자신의 수업을 관찰하고 분석하였다. 수학교실 1의 수업관찰은 2007년 5월부터 7월까지 진행되었으며, 4개 반 9차 시의 수업관찰 자료와 매 차 시 교사•학생이 작성한 수업평가 지를 통해 자료가 수집되었다. 관찰된 36차 시의 수업 중 수업의 조직을 관찰하기에 용이한 연속된 1개 반 7차 시 수업이 분석되었다. 실행연구에 보다 객관적인 타당성을 부여하기 위해 수행한 관찰연구인 수학교실 2 연구에서는 연구자와 같은 학교에 근무하는 동료교사의 고등학교 1학년 수학수업을 분석하였다. 수학교실 2 연구의 수업관찰은 2009년 3월부터 7월까지 진행되었으며, 연구자와 연구참여 교사 간의 사전 면담을 통해 선정된 1개 반 7차 시의 수업관찰 자료, 연구참여 교사와의 심층면담, 매 차 시 참여교사•학생이 작성한 수업평가지, 그리고 기타 수업 자료를 통해 자료가 수집되었다. 관찰된 7차 시의 수업 중 수업의 조직을 관찰하기에 용이한 연속된 5차 시 수업이 분석되었다. 연구문제 1과 연구문제 2를 해결하기 위해 교사의 교과 교수지식 분석 준거와 교사의 교수행동 분석 준거에 따라 관찰된 수학수업을 분석하였다. 분석 준거에 해당하는 각 요인들이 수업 내에서 서로 얽혀서 나타난다고 보고, 수업을 분석할 때 교사의 교과 교수지식과 교수행동을 함께 살펴보았다. 연구문제 3을 해결하기 위해 교사와 학생이 작성한 수업 평가 지의 선택 형 문항의 빈도수를 분석하고 자유기술 형 문항내용을 해석 함으로서, 수학교실의 구성원인 교사와 학생이 교사의 교수행동을 어떻게 평가하고 있는지를 살펴보았다. 그리고 연구문제 1, 2, 3의 결과를 토대로 수학수업에서 교사가 교과서에 제시된 내용의 핵심을 어떻게 추려내어 학습자에게 전달하는지, 이에 따라 교사는 어떠한 교수행동을 하는지를 분석함으로써 결론을 이끌어내었다. 연구결과, 연구문제 1에 대한 결과로서 관찰된 수학수업에서 나타난 교사의 교과 교수지식의 특징은 다음과 같다. 관찰된 수업에서 교사들은 학생들에게 절차적 변이를 개념적 변이보다 더 많이 제시하며, 절차적 변이를 제시할 때 주로 복합적인 표현을 사용하거나 상이한 수학적 표현들을 서로 연결시키는‘수학적 풍부 성’에 해당하는 교수활동을 보인다. 그리고 개념적 변이를 제시할 때에는 주로 수학적 아이디어나 개념을 수학적 언어나 기호를 사용하여 명시적으로 표현하는‘수학적 언어’에 해당하는 교수활동을 보인다. 또한 새로운 수학적 내용을 도입하거나, 문제를 해결할 때, 주제를 전환할 때에는 학생들에게 짧은 질문을 던져 학생들이 하는 대답의 내용을 통해 수업 내용의 이해 정도를 살피는‘학생에게 반응’에 해당하는 교수활동을 보인다. 연구문제 2에 대한 결과로서 관찰된 수학수업에 나타난 교사의 교수행동의 특징은 다음과 같다. 관찰된 수업에서 교사들은 문제해결 활동에 해당하는 교수행동을 가장 많이 보이며, 수업시간 중에 가장 많은 시간을 할애한다. 수업시간에 다루어야 할 다소 많은 학습량으로 인해 학생활동에 많은 시간을 할애하지는 않지만, 매 차 시 마다 학생들에게 학생활동을 위한 기회를 제공하며, 교사가 중요하다고 여기는 수학적 내용을 반복적으로 강조한다. 수학교실 1에서 교사는‘요약 및 정리’를 짧게 자주 제시하면서 수업시간에 다루고 있는 내용들 중 중요한 수학적 내용을 반복적으로 강조한다. 수학교실 2에서 교사는‘중요한 공식’을 주로 문제해결 활동에서 반복적으로 강조하면서 제시한다. 연구문제 3의 결과로서 교사의 교수행동에 대한 교사와 학생의 평가내용을 정리하면 다음과 같다. 수업관찰 이전에 수학교실 1의 학생들을 대상으로 조사한 바에 따르면, 학생들은 학교에서 배우는 수학의 내용들이 서로 잘 연계되어 있지 않다고 인식하고 있으며, 수학이라는 교과를 단편적으로 문제를 푸는 과목으로 생각하는 경향이 강하다. 수학교실 1, 2에서 교사들은 수업에서 다룰 수학적 내용들을 효율적으로 조직하여 이를 알맞은 성량으로 적절한 언어를 사용하여 학생들에게 전달한다고 평가하였다. 그러나 수업 중에 교사 자신이 학생들의 수준에 맞게 수업내용을 전달하고 있는지, 학생들의 반응을 잘 이끌어내고 있는지에 대해서는 낮은 평가를 내렸다. 수학교실 1, 2에서 학생들은 교사의 교수행동이 자신들의 수준에 맞게 제시된다고 평가하였다. 관찰된 수업에서 학생들은 교사가 수학적 내용을 잘 조직하여 제시하지만, 본인의 이해능력 부족으로 인해 수업내용을 잘 이해하고 있지 못한다고 보았다. 그리고 학생들은 수업에서 배운 내용을 교사가 수업 중에 제시한 절차적 변이의 형태와 거의 유사하게 구조화시켜 받아들였다. 이러한 연구결과를 바탕으로 결론을 내리면 다음과 같다. 첫째, 교사는 교과서의 내용을 중심으로 수업을 조직하며, 수업에서 자신이 중요하다고 생각하는 수학적 내용을 주로 절차적 변이를 통해 전달한다. 수업 도입부분에서 교사는 절차적 변이를 통해 지난 차시나 앞의 단원에서 배웠던 수학적 개념이나 내용을 앞으로의 내용을 배우기 위한“기본그림”으로 사용하여 수업을 진행한다. 그리고 이“기본그림”을 절차적 변이로 사용하여 문제해결 활동을 진행한다. 이때,“기본그림”은 다음 단계로 나아가기 위한 비계설정의 역할을 하게 된다. 그리고 수업 후반부에서 이“기본그림”은 수업의 내용을 요약, 정리하는 개념적 변이나 절차적 변이로서 제시된다. 둘째, 교사는 최적화된 교수행동을 위해, 수업의 핵심적 내용을 반복적으로 강조하며, 학생들과 대화를 통해 주제를 전환한다. 관찰된 수학수업에서 교사는 수학적 내용을 학생들에게 잘 전달하기 위해 교사가 중요하다고 여기는 내용에 대한 반복적 강조를 통해 수업을 진행한다. 이때 교사가 중요하다고 여기는 수학적 내용은“기본그림”이다. 수학교실 1에서 교사의“기본그림”은 문제해결 활동에서 사용되는 기본 공식이나 개념이었으며, 수학교실 2에서 교사의“기본그림”은‘시험에 많이 출제되는 문제에서 사용되는 공식’이었다. 교사는 수업에서 이“기본그림”을 반복적으로 강조하고,“기본그림”이 바뀌는 학습주제 전환 시 계속적으로 학생들에게 질문을 던지면서 학생들의 반응을 유도하고자 하였다. 셋째, 관찰된 수학수업에서 교사는 자신의 교과 교수지식에 대해서는 높게 평가하고 있으나, 수업의 내용이 학생들에게 잘 전달되는지에 대해서는 낮게 평가한다. 반면에 학생들은 교사가 학생들의 반응을 이끌어 내는데 적극적이라고 평가하였으며, 수업시간에 배운 학습내용을 교사가 제시한 절차적 변이와 유사한 형태로 구조화하여 받아들인다. 본 논문의 예비 연구 과 본 연구의 연구문제를 해결하는 과정에서 다음과 같은 몇 가지 시사점을 얻었다. 첫째, 수학수업에서 교사의 교수행동은 단일요소가 아니라 통합적이고 유기적으로 이루어진 조직체로서 학생들의 수학학습에 직접적이고 큰 영향력을 미친다. 따라서 현재 수학교육이 이루어지고 있는 교실문화를 올바로 들여다보기 위해서는 있는 그대로의 현상을 들여다볼 수 있는 다각적인 렌즈가 필요하다. 이에 본 연구는 수학교실에서 교사의 일상적 교수행동을 여러 분석 준거를 통해 분석하였다는 면에서 그 의미를 찾을 수 있다. 둘째, 수학수업을 변이교수 관점에서 바라봄으로 현재의 수학교실에서 교사가 학생들의 수학적 이해를 신장시키기 위해 단편적인 계산이나 절차를 일방적인 방법으로 가르치는 것이 아니라, 교사의 교과 교수지식을 바탕으로 하여 최적화 행동으로 표출됨을 확인할 수 있다. 셋째, 수학수업에서 교사의 교수행동 분석을 위한 범주체계는 일선 교사들에게 수업에서 자신의 교수행동이 어떻게 이루어져 있는지를 파악할 수 있는 준거로서 제시될 수 있다. 이를 통해 교사는 수업에서 나타난 자신의 교수행동을 명확하게 파악할 수 있으며, 이는 교사의 수업 전문성 신장을 위한 자료로서 활용될 수 있다. 앞서 요약된 연구결과와 논의를 바탕으로 다음과 같은 몇 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 교사의 교과 교수지식과 관련하여 교사의 교수행동이 수학수업에서 어떻게 나타나는지에 대한 연구가 필요하다. 둘째, 교사의 교과 교수지식과 함께 교사의 사회․문화적 배경, 신념이 교사의 교수행동에 어떠한 영향을 주는지에 대한 연구가 필요하다. 셋째, 교사의 교수행동이 학교 급 별, 수업시간에 다루는 수학적 내용에 따라 어떻게 나타나고 있는지에 대한 연구가 필요하다. 넷째, 교사의 교수행동을 교사와 학생의 상호작용에 초점을 맞추어 분석한다면 수학교실에서 교사-학생의 상호작용의 숨겨진 측면을 찾아낼 수 있을 것이다. 끝으로, 수학교실에서 교사의 교수행동에 대한 장기적인 연구가 필요하다. 장기적인 연구를 통하여 수학수업에서 교사의 교수행동의 특징을 밝히고, 나아가 수학교실 문화를 형성하는 데 있어서 교사가 어떠한 역할을 하는지를 보다 구체적으로 밝힐 수 있을 것이다. 그리고 이를 바탕으로 현재 교사에 의해 주도되는 수학교실 문화에서 더 나은 수학교육을 위한 개선 방안을 모색할 수 있을 것이다.