교수학적 변환의 관점에서 한 점에서 함수의 연속·불연속, 연속함수 정의의 검토

Abstract

Differential and integral calculus is the science which is not only used as a basic tool in engineering field in the modern society but also integrates all of the contents learned in school mathematics. Therefore, it is very important to understand properly the concept of continuity of function which is a fundamental theory of calculus. According to the result of precedent studies, the concept of 'continuous function' provided in the textbooks of the 7th curriculum is somewhat vague in its definition, and the determination of 'continuity' according to the definition of 'continuous function' appear to be different depending on textbooks (Gyeonghwa Lee, Bomi Shin, 2005; Namhee Kim, Guisoo Na, Gyeongmi Park, Gyeonghwa Lee, Youngok Jung, Jinkon Hong, 2006). In this regard, this study examines whether the problems of the 7th curriculum were improved in the ‘definition of continuous function’ and ‘continuity and discontinuity of function at a single point’ presented in the current 7th revised textbook. Through this, it discusses the issues that need to be considered in teaching-learning process in order to help students clearly understand the concept of continuity of function and the implications on the curriculum development in the chapter,「Continuity of Function」. Followings are the study subjects proposed in this study focusing on the basic component of mathematical concept to meet the goal of the study. 1. Is there any difference in the truth of proposition “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function” between textbooks? 1) Is there any difference in the definition of continuity and discontinuity of function at a single point between textbooks when the domain of function is the proper subset of the whole real numbers? 2) Is there any difference in the definition of continuous function between textbooks when domain of function is proper subset of the whole real numbers. 2. What effects the proposition “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function” has on students in determining continuous function? The subject of this study was designed based on the theory of Chevallard(1988) into ‘taught body of knowledge transposed by the didactical intention from the scholarly body of knowledge and ‘learned knowledge” obtained by students through teaching and learning process. Since the topics discussed at math education cannot be discussed separately from effects on students and the ‘taught body of knowledge’ presented at textbook cannot be separated from study on ‘learned knowledge’, all contents related to ‘taught body of knowledge’ and ‘learned knowledge’ were set as a subject in this study. To solve the study subject 1 related to analysis of ‘taught body of knowledge’ contents to presented at textbook through didactic transposition, a textbook analysis was carried out on whole types(48 types) of current textbooks corresponding to「Differential and Integral Calculus」,「Differential and Integral Calculus Book for Practice」,「MathⅡ」,「MathⅡ Book for Practice」. In this time, the study analyzes the meaning of definition based on the didactic transposition theory by Chevallard(1988). Also, to confirm the meaning of definition, an analysis method based on provided conditions about general definition was employed in this study. And the analysis focuses on the relationship between the definitions of ‘continuity and discontinuity of function at a single point’ and ‘continuous function’ within and between textbooks. Through this process, the study examines whether the problems in the previous textbooks under the 7th curriculum were improved and looks into the details that should be considered to preserve the meaning of definition when transposing definitions with a didactic purpose. A questionnaire survey was designed for the study subject 2 related to analysis of contents of ‘learned knowledge’ going through didactic transposition. To check this, students were asked how they response to the problems on determination of continuity and discontinuity of function at a point and identification of continuous function. Also, the questionnaire confirms how the students think about the truth of proposition “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function.” As well, based on this, it verifies the reasons why the students often make false answer to the problems of determining whether a fractional function is a 'continuous function'. Ultimately, students make wrongs answers to the questions of determining whether a fractional function is a 'continuous function' based on the idea “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function”, however, it was just to confirm that the idea is not wrong based on the general definition. This suggests us the details that need to be considered when using the transposed definition with a didactic purpose in teaching-learning process. The results of this study are as follows: From the result of textbook analysis to solve study subject 1, whether there is a difference in the truth of proposition “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function.” between textbooks, it was found that there is a difference. In detail, with regard to the subordinate question of the study subject 1 “when the domain of function is the proper subset of the whole real number, is there any difference between textbooks in the definition for continuity and discontinuity of function at a single point”, the study found that there is no difference in the definition of 'continuity of function at a single point' but in the definition of 'discontinuity of function at a single point.' In addition, regarding to the subject “Is there any difference between textbooks in the definition of the continuous function when the domain of function is the proper subset of the whole real number?”, the study figure out that there was a difference. That is, the problem of the textbooks under the 7th curriculum, “the definition of 'continuous function' was not provided clearly and meanings vary between textbooks”, has not been improved yet and besides, difference was observed between the textbooks under the 7th curriculum revised in the definition of 'discontinuity of function at a single point'. On the other hand, the result implies that the meaning of definition of continuous function and discontinuous function became fragile as the contents of scholarly body of knowledge get transposed to teach body of knowledge. Also, it provided us an opportunity to figure out the details that should be considered to preserve the meaning of definition when transposing the definition of ’continuity and discontinuity of function at a single point‘ and ‘continuous function’ with a didactic purpose. From the result of the questionnaire to solve the study subject 2, what effects the proposition “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function.” have on students in determining continuous function?, students were found to give wrong answers in determining continuous function of fractional function based on the idea that the proposition, “it is not continuous function if discontinuous point exists”, is true. In addition, the ostensible reason for wrong answer in determination of continuous function of fractional function was from the idea, “it is not continuous function if a discontinuous point exists”. However, the proposition, “If there is a discontinuous point, it is not a continuous function”, is 'true' only when it is based on the general definition. Also, it was found that the types of discontinuous point are the 'discontinuous point at a point where the value of function does not exist' based on the definition of 'discontinuity of function at a single point', transposed with a didactic purpose. This suggests us the details that should be considered when using the transposed definition with a didactic purpose in teaching-learning process. Based on the results, the study found followings. First, the results suggest that the official definition of ‘discontinuity of function at a single point’ and ‘continuous function’ went through didactic transposition process should be clearly provided and the definitions should be identically explained in every textbook. Second, the matters to be attended in the didactic transposition process could be reviewed from the point that the meaning of definition should be preserved. It is that the range of ‘continuity and discontinuity of function at a single point’, ‘continuous function’ should not be the entire real number but the domain of function. Third, this study could confirm that the change in the meaning of definition is not a transposition of definition but is a change in the truthhood of every related theorem. Fourth, it could find the details that should be considered when using the definition of ‘discontinuity of function at a single point’ transposed with a didactic purpose in teaching-learning process. That is, when using the definition of 'discontinuity of function at a single point', it is important to correct student's idea, “if there is a discontinuous point, it is not a continuous function”, in teaching-learning process. Fifth, the study analyzed the current textbooks from the point that the meaning of definition should be preserved. However, when the authors write textbooks, it goes through assumed personalization, assumed contextualization, depersonalization and decontextualization process, it suggests that there should be further studies on various elements included in the didactic intentions through questionnaires and interviews on textbook authors. Also, through this, the study found the necessity for further studies on the matters to be attended from various points such as fostering the intuition of students in addition to the point to preserve the meaning of definition in didactic transposition process.;미적분은 현대사회에서 공학의 기본도구로 사용되어질 뿐 아니라 학교수학의 모든 내용을 통합한다. 이러한 미적분의 기초가 되는 내용인 함수의 연속 개념에 대해 정확히 이해하는 것은 매우 중요하다. 그런데 선행연구 결과에 따르면 7차 교육과정에서의 교과서에 제시된 ‘연속함수’ 정의는 그 의미에 있어서 다소간 모호한 점을 지니고 있었으며, ‘연속함수’ 정의에 따른 ‘연속함수’ 판정결과도 각 교과서별로 다르게 나왔다(이경화, 신보미, 2005; 김남희, 나귀수, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤, 2006). 이에 본 연구에서는 현 7차 개정 교과서에서 제시된 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’ 정의에서는 7차 교과서에서의 문제점이 개선되었는지의 여부를 알아보고자 하였다. 그리고 학생들이 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’에 대한 개념을 어떻게 이해하고 있는지 알아보고자 하였다. 이를 통해 학생들에게 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’에 대한 개념을 명확히 길러주기 위해 교수 학습 과정에서 유의해야 할 점과「함수의 연속」단원의 교육과정 개발에 있어 시사점은 무엇인가에 대해 알아보고자 하였다. 이러한 연구목적을 위해 수학적 개념을 언어적으로 정확히 설명하는 정의를 중심으로 하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 명제의 진위는 교과서간에 차이가 있는가? 1) 함수의 정의역이 실수전체의 진부분집합일 때, ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’ 정의에 교과서간 차이가 있는가? 2) 함수의 정의역이 실수전체의 진부분집합일 때, ‘연속함수’ 정의에 교과서간 차이가 있는가? 2. “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 명제는 ‘연속함수’ 판정에 있어서 학생들에게 어떠한 영향을 미치고 있는가? 본 연구 문제는 Chevallard(1988)의 이론을 토대로 하여 ‘학문적 지식’으로부터 교수학적 의도에 의해 변환된 ‘가르칠 지식’에 관련된 내용과 교수학습 과정을 통하여 학생들에게 습득되어진 ‘학습된 지식’에 관련된 내용으로 설정하였다. 수학교육에서 논의되는 주제는 학생들에게 미치는 영향과 별개로 생각될 수 없으며, 교과서에 제시된 ‘가르칠 지식’은 ‘학습된 지식’의 연구와 분리 될 수 없기에 교수학적 변환의 관점에서 ‘가르칠 지식’과 ‘학습된 지식’에 관련된 내용을 모두 연구 하려 한 것이다. 교수학적 변환을 거쳐 교과서에 제시되는 ‘가르칠 지식’의 내용분석과 관련된 연구문제1을 해결하기 위해 <미적분과 통계 기본>과 <미적분과 통계 기본 익힘책>, <수학Ⅱ>와 <수학Ⅱ 익힘책>에 해당하는 교과서 전종(48종)을 대상으로 분석을 실시하였다. 이때, Chevallard(1988)의 교수학적 변환론에 근거하여 정의의 의미에 대하여 분석하였다. 또한 정의의 의미를 확인하기 위하여 표준적인 정의에 제시된 조건을 토대로 분석하는 방법을 사용하였다. 그리고 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’ 정의에 대해 각 정의의 내용과 정의 사이의 관계를 교과서 내에서 그리고 교과서 간에 살펴보는 것을 교과서 분석의 내용으로 하였다. 이를 통해 7차 교과서에서의 문제점이 개선되었는지를 확인하는 것과 더불어 교수학적 의도에 의해 정의를 변환할 때 정의의 의미를 보존하기 위한 측면에서 유의해야 할 구체적인 내용에 대해 살펴보려는 것이었다. 교수학적 변환을 거친 학습된 지식의 내용분석과 관련된 연구문제 2를 해결하기 위해 설문검사를 실시하였다. 이때, 학생들은 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’ 판정문제에 있어서 어떻게 응답하는지 확인하였다. 그리고 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 명제의 진위에 대해 어떻게 생각하는지 확인하였다. 또한 이러한 내용을 토대로 하여 학생들이 분수함수가 ‘연속함수’인지 판정하는 문항에 오답을 하는 이유는 무엇인지에 대해 확인 하였다. 궁극적으로 학생들은 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 생각을 토대로 분수함수가 ‘연속함수’인지 판정하는 문항에 오답을 하지만 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 생각은 표준적인 정의에 근거했을 때 틀린 생각이 아니라는 점을 확인하려는 것이었다. 그리고 이를 통해 교수학적 의도에 의해 의미가 변화된 정의를 사용할 때 교수 학습과정에서 유의해야 할 구체적인 내용이 무엇인지에 대해 살펴보려는 것이었다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. “‘불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.’라는 명제의 진위는 교과서간에 차이가 있는가?“라는 연구문제1을 해결하기 위하여 교과서 분석을 실시한 결과 차이가 있음이 밝혀졌다. 구체적으로 연구문제1의 하위문제인 ”함수의 정의역이 실수전체의 진부분집합일 때, ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’ 정의에 교과서간 차이가 있는가?“에 대하여 ‘한 점에서 함수의 연속’ 정의는 차이가 없지만 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의에 있어서 차이가 있다는 것이 확인되었다. 또한, ”함수의 정의역이 실수전체의 진부분집합일 때, ‘연속함수’ 정의에 교과서간 차이가 있는가?“라는 문제에 대하여도 차이가 있음이 밝혀졌다. 즉 ”연속함수 정의가 다소간 분명하지 않게 제시되고, 교과서에 따라 그 의미가 다르다.“는 7차 교과서에서의 문제점은 아직 개선되지 못했으며 7차 개정교과서에서는 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의에 있어서도 교과서간 의미의 차이가 있다는 점을 알게 되었다. 한편, 분석과정을 통하여 학문적 지식의 내용이 가르칠 지식으로 변환되면서 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의와 ‘연속함수’ 정의의 의미가 변화되었음을 알게 되었다. 그리고 교수학적 의도에 의해 ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’ 정의를 변환할 때 정의의 의미를 보존하기 위한 측면에서의 유의점은 무엇인지에 대해 살펴볼 수 있었다. “‘불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.’라는 명제는 ‘연속함수’ 판정에 있어서 학생들에게 어떠한 영향을 미치고 있는가?”라는 연구문제2를 해결하기 위하여 설문검사를 실시한 결과 학생들은 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 명제가 참이라는 생각을 토대로 하여 분수함수의 ‘연속함수’ 판정문항에 오답을 한다는 것이 밝혀졌다. 즉, 분수함수의 ‘연속함수’ 판정문항에 오답을 하는 표면적 이유는 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 생각 때문이었다. 하지만 이 명제는 표준적인 정의에 근거했을 때에 참인 명제이다. 그리고 이 명제에 근거하여 학생들이 오답을 하도록 하는 불연속점의 유형은 교수학적 의도에 의해 변환된 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의에 근거한 함숫값이 존재하지 않는 점에서의 불연속점이라는 것이 밝혀졌다. 따라서 위의 명제를 토대로 하여 교수학적 의도에 의해 의미가 변화된 정의를 사용할 때 교수·학습과정에서 유의해야할 사항에 대해 알 수 있게 되었다. 이와 같은 연구 결과를 바탕으로 다음을 알게 되었다. 첫째, 교수학적 변환을 거친 ‘한 점에서 함수의 불연속’, ‘연속함수’에 대한 공식적인 정의가 분명하게 제시되고, 각 교과서마다 비교적 동일한 의미로 다루어질 필요가 있음을 확인 할 수 있었다. 둘째, 교수학적 변환과정에서의 유의점을 정의의 의미를 보존해야 한다는 측면에서 살펴볼 수 있었다. ‘한 점에서 함수의 연속·불연속’, ‘연속함수’를 다루는 범위는 실수전체가 아닌 정의역이어야 한다는 점이다. 셋째, 정의의 의미 변화는 단순히 정의만의 변환이 아니고 그 정의와 관련된 모든 정리의 진위에 대한 변화임을 다시 한 번 확인 할 수 있었다. 넷째, 교수학적 의도에 의하여 의미가 변화된 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의를 사용할 때 교수·학습과정에서 유의해야 할 구체적인 내용에 대해 살펴 볼 수 있었다. 의미가 변화된 ‘한 점에서 함수의 불연속’ 정의를 사용할 때는 교수·학습 과정에서 “불연속점이 존재하면 연속함수가 아니다.”라는 학생들의 생각을 수정해 주어야 한다는 점이다. 다섯째, 본 연구는 교과서를 대상으로 정의의 의미 측면에서 분석을 하였다. 그러나 교과서 저자가 교과서를 집필할 때 가개인화·가배경화, 탈개인화·탈배경화 과정을 거친다. 따라서 교과서 저자에 대한 설문 및 인터뷰를 통하여 교수학적 의도에 포함되는 다양한 요소들을 확인한 후, 각 요소들을 토대로 한 다양한 측면에서의 연구가 필요함을 알 수 있었다.