2007 개정교육과정 수와 연산 영역 고등학교 수학 교과서 분석을 바탕으로 한 항등원·역원의 지도 사례 연구

Abstract

Understanding numbers and arithmetic operations properly is essential for learning algebra and in high school curriculum, such concepts are crucial in carrying out diverse operations including four fundamental arithmetic operations. Especially, students should be familiar with the concepts of identity and inverse because they are such an important matter of properties in operating real numbers. However, it is the reality that most high school students actually fail to attempt solving a problem in adequate understanding of their meanings, simply taking the term of identity and inverse for memorizing vaguely. Considering this, this study, in search for a guide plan for identity and inverse through analyzing the curriculum of numbers and arithmetic operations, established the following research questions. They were intended to look at the students' response types of right and wrong answers in solving identity and inverse problems after conducting a related class on the subject of first graders of high school. 1. How do high school math textbooks on the 7th revised curriculum present identity and inverses in the area of numbers and operations? 2. As s result of analyzing research question 1, what guide plan can be proposed for the unit of identity and inverses? 3. What is the response type to the problem solution of the students who have learned identity and inverse with this guide plan? This study was preceded by conducting preliminary test on the subject of expected junior class students of H high school located in Goyang city, Gyeonggi-do, who have learned identity and inverse in their curriculum, and looking at their correct answer ratio and grasping their ability to solve the related question items. For curriculum analysis, 17 kinds of high school math textbooks on the 7th revised curriculum were searched for the unit of real number's arithmetic operations in terms of composition and content. Based on this, guide plan for identity and inverse was devised and this study, too, was performed on the first graders of H school, the same as above, who had not learned these two study points yet. Of the four student classes by level - upper, middle upper, middle lower and lower - 4 sections of the middle lower class were assigned for our subject. Based on this, test group students were offered identity and inverse in the area of numbers and operations using strict definitions presented by high school math and opportunity to understand them properly by forming related question items themselves through performance test. On the other hand, control group students were taught simply by the definitions presented in the math textbook without performance test of making question items. After this examination, response types of correct or incorrect answers to the question items were investigated between test and control group students for significant difference. Results of this study are as follows: First, as the analysis of textbooks, the portion of identity and inverse in the whole of real number's operation unit was very small and the number of related question items too. As for method for introducing the definitions of being closed, identity and inverse, there were a small number of textbooks using comic-like material for the learner's interest with connection to the text or using the material of actual life or history of math but most textbooks did not use any method. As for method of presenting definitions of identity and inverse, the largest number used illustration but several books attempted a strict definition using arbitrary signs of operation. Second, for test group students, class was designed for proper understanding of identity and inverse by using the strict definitions presented in high school math and conducting performance test of making question items. Third, on the test after executing the class on identity and inverse, correct answer ratio was a little higher in test group though with no significant difference from control group. In question item for recording the meaning of identity and inverse freely, test group showed a higher ratio of students who described their meanings by strict definitions, and they also produced a higher ratio of correct answer in the question item for understanding the given operation from the operation table. Besides, in the response to self-test question item on identity and inverse, most students were not well aware of their meanings with few students who said they solved problems thinking about definitions. Also, many students answered they didn't like solving identity and inverse-related problems and that after learning these they had no confidence or interest formed in math. Based on the results of this study, the following conclusions were reached. Analyzing the high school math textbooks on the 7th revised curriculum revealed that so little content as to identity and inverse appeared with little gravity taken, though they are the essential elements for learning the area of numbers and operations. Developing the content connected to that presented in the body of textbooks for introducing chief concepts would enable the students to access and understand identity and inverse more easily. Besides, since definitions of identity and inverse presented in high school math allow deeper learning for completing conditions and natures of identity and inverse, there is a need to define them using those strict definitions in the current textbooks, too. Therefore, class was executed after designing a guide plan for teaching identity and inverse by strict definitions and conducting performance test of making question items. This was expected to allow the students to understand the meanings of identity and inverse properly with an opportunity to correct their own errors in solving problems. Since the subject of this study was middle lower students, they showed no significant difference between test and control groups after conducting this test. But as a result of sorting correct and incorrect answer types of students for each question item, in the question item for recording definitions of identity and inverse, test group showed a higher ratio of students who answered by strict definitions, also with a higher ratio of correct answers in the item for understanding given operations from operation table. It is considered an effect of teaching identity and inverse by strict definitions. Besides, there were many positive opinions from students on the performance test of making identity and inverse?related question items performed in this study because it helped them understand those contents. Thus it will be needed for a teacher to devise activities like performance test of making question items and diverse methods of class for even students in poor performance in math to participate in person with fun as an opportunity to acquire the core concepts of math. The preliminary test of this study was carried out on expected junior students who took too long after the learning of identity and inverse to remember their learned content. Besides, the subject of this study was confined to 130 students in the middle lower class, so there is a limitation in interpreting this result of study for all students. For these reasons, a further research is considered necessary to learn a broad response from students by diversifying the subject of study.;수와 연산을 제대로 이해하는 것은 대수 학습을 위하여 필수적이며 고등학교 수학에서 수 개념의 이해는 사칙 연산 뿐만 아니라 다양한 연산을 수월하게 수행하는 밑거름이 된다. 특히, 항등원, 역원의 개념은 실수의 연산 성질 중 아주 중요한 내용이므로 학생들이 꼭 숙지해야 할 내용이다. 그러나 대부분의 고등학생들이 항등원, 역원과 같은 생소한 용어를 막연히 외워야하는 것으로 받아들이고 실제로 문제를 해결할 때에도 항등원, 역원의 내용을 깊게 이해하고 문제 해결을 시도하는 것이 아니라 단순히 암기한 후 문제를 해결하는 것을 볼 수 있다. 이러한 점을 고려하여 본 연구에서는 수와 연산 영역의 교과서 분석을 통하여 이를 반영한 항등원, 역원의 지도 방안을 모색해 보았다. 또한 이 지도방안으로 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 항등원, 역원에 관한 수업을 실시한 후 학생들의 항등원, 역원 문제 해결에 대한 정답 및 오답의 반응 유형을 살펴보고자 하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1 . 2007 개정교육과정 고등학교 수학 교과서에서 수와 연산 영역의 항등원, 역원을 어떻게 제시하고 있는가? 2 . 연구문제 1의 분석 결과 항등원, 역원 단원 지도를 위해 제안할 수 있는 지도 방안은 무엇인가? 3 . 이 지도 방안으로 항등원, 역원을 학습한 학생들의 문제 해결에 대한 반응 유형은 어떠한가? 본 연구를 위하여 2007 개정교육과정 고등학교 수학 교과서 17종의 실수의 연산 단원을 분석한 문헌 연구를 실시하였으며, 교과서 분석과 선행 연구를 바탕으로 연구자가 항등원, 역원 단원의 2차시 수업을 계획하여 항등원, 역원의 개념을 지도하였다. 그리고 학생들의 항등원, 역원 문제 해결에 대한 정답 및 오답의 반응 유형을 살펴보기 위하여 고등학교 1학년 학생 130명을 대상으로 검사 결과를 통한 조사 연구를 실시하였다. 연구를 위한 자료수집 및 분석 방법은 다음과 같다. 교과서 분석은 2007 개정교육과정 고등학교 17종 수학 교과서의 실수의 연산 단원을 실수의 연산 단원 분석 기준틀을 마련하여 구성과 내용 측면에서 살펴보았으며 이를 바탕으로 항등원, 역원의 지도 방안을 모색해보았다. 교과서 분석 결과와 예비 고2 학생들 326명에게 실시한 예비검사지의 응답 빈도 및 백분율, 문헌연구를 바탕으로 연구자가 직접 항등원, 역원 단원 2차시 수업을 구성하였다. 2차시 수업을 실시한 후 연구대상인 고1 학생 130명의 학생들에게 실시한 본 검사지의 응답빈도수 및 백분율을 분석하고 학생 반응 유형 분류에 따른 코딩 방법으로 분석하였다. 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 교과서 분석 결과 실수의 연산 단원 전체에서 항등원, 역원이 차지하는 비중이 31.48%였으며 항등원, 역원 관련 문항수도 평균 2～3문항으로 20.98%를 차지하였다. 항등원, 역원의 정의를 도입하기 위하여 사용한 방법으로는 본문과의 연계성으로 학습자의 흥미를 유발하는 만화와 같은 소재를 사용한 교과서가 1개, 실생활 소재를 활용한 교과서가 1개, 도입을 위한 방법을 사용하지 않은 교과서가 15개로 대부분이었다. 항등원, 역원의 정의를 제시하는 방법은 실수 집합을 예로 들어 설명하는 교과서가 9개로 가장 많았고 임의의 연산 기호를 사용하여 대학 교재에서 제시하는 정의로 나타낸 교과서도 6개였다. 둘째, 실험반 학생들에게 대학 교재에서 제시하는 정의를 활용하여 항등원, 역원을 정의하고 문항만들기 수행평가를 실시하여 학생들이 항등원, 역원의 의미를 제대로 이해할 수 있도록 수업을 설계하였다. 셋째, 항등원, 역원 수업을 수행한 후 본 검사를 실시한 결과 이해 및 적용 능력을 묻는 문항에서는 실험반의 정답률이 46.67%, 통제반의 정답률이 45.25%로 실험반의 정답률이 약간 높게 나왔다. 항등원, 역원의 뜻을 자유롭게 적는 문항에서 대학 교재에서 제시하는 정의로 항등원, 역원의 뜻을 서술한 학생의 비율은 실험반 20.51%, 19.35%이고 통제반 16.66%, 16.66%로 실험반이 더 높았으며 연산표로 주어진 연산을 이해하는 문항의 정답률도 실험반35.93%, 통제반이 25.75%로 실험반이 더 높았다. 또한 항등원, 역원에 대한 자기평가 문항에 대한 학생 반응을 살펴보니 실험반, 통제반 학생들 모두 항등원, 역원의 의미를 잘 알고 있느냐는 물음에 '조금 그렇다'라는 의견이 47.54%, 55.38%로 가장 많았다. 정의를 생각하면서 문제를 해결했냐는 물음에 실험반, 통제반 모두 '조금 그렇다'라는 의견이 50.81%, 46.15%로 가장 많았다. 또한 항등원, 역원 관련 문제를 푸는 것을 좋아하느냐는 물음에 실험반, 통제반 모두 '아니다'라는 의견이 43.65%, 53.84%로 가장 많았고 항등원, 역원을 학습한 후 수학에 대한 자신감과 흥미가 생겼냐는 물음에 '아니다'라는 의견이 40.29%, 43.07%로 가장 많았다. 실수 집합에서 덧셈, 곱셈에 대한 항등원을 로 막연하게 외웠냐는 물음에 실험반은 '그렇다'라는 의견이 27.72%였고, 통제반은 35.38%로 나타났다. 그리고 '아니다'라는 의견은 실험반이 30.14%, 통제반이 29.23%였다. 항등원, 역원을 대학 교재에서 제시하는 정의로 나타낸 것이 항등원, 역원을 학습하는데 도움이 된다고 생각하느냐는 물음에 실험반은 '그렇다'라는 의견이 39.34%였고, 통제반은 '그렇다'라는 의견이 33.84%를 나타냈다. 그리고 '아니다'라는 의견은 실험반이 26.22%, 통제반은 16.92%였다. 연구의 결과를 바탕으로 내린 결론은 다음과 같다. 첫째, 2007 개정교육과정 고등학교 수학 교과서 분석 결과 항등원, 역원이 수와 연산 영역을 학습하는 데에 필수적인 요소임에도 불구하고 적은 내용이 실려 있고 차지하는 비중도 적은 것을 살펴볼 수 있었다. 또 교과서 본문에 제시된 내용과 연계성 있는 내용을 개발하여 주요 개념의 도입 방법으로 사용한다면 학생들이 좀 더 수월하게 항등원, 역원을 접하고 이해할 수 있을 것이라 생각한다. 그리고 대학 교재에서 제시하는 항등원, 역원의 정의는 항등원, 역원의 성립 조건 및 성질과 관련지어 학습할 수 있으므로 현행 교과서에서도 대학 교재에서 제시하는 정의를 활용하여 항등원, 역원을 정의할 필요가 있다. 둘째, 항등원, 역원을 대학 교재에서 제시하는 정의로 지도하고 문항만들기 모둠별 수행평가를 실시하는 지도 방안을 계획한 후 수업을 실시하였다. 이는 학생들이 항등원, 역원의 의미를 제대로 이해하고 자신의 문제 해결의 오류를 정정할 수 있는 기회를 가지게 할 것으로 기대되었다. 셋째, 연구 대상이 중하반 학생들이기 때문에 본 검사를 실시한 후 실험반과 통제반 사이에 유의미한 차이를 보이지는 않았으나 각 문항별로 학생들의 정답 및 오답 유형을 분류해 보았다. 항등원, 역원의 정의를 적는 문항에서 대학 교재에서 제시하는 정의로 답한 학생의 비율은 실험반이 높았으며 연산표로 주어진 연산을 이해하는 문항도 실험반의 정답률이 높았다. 대학 교재에서 제시하는 정의로 항등원, 역원을 지도했던 것이 영향을 미친 것으로 생각된다. 또한 이번 연구에서 실시한 항등원, 역원 관련 문항만들기 수행평가는 실험반 학생들에게 영향을 미쳤으며 항등원, 역원을 이해하는 데에 도움이 되었다는 의견이 많았다. 문항만들기 수행평가와 같은 모둠활동 및 학생들이 수업에 직접 참여할 수 있는 다양한 수업 방법을 고안하여 수학 성적이 저조한 학생들도 즐겁게 수학 수업에 참여하고 수학의 핵심 개념을 제대로 습득할 수 있는 기회를 제공하는 것이 교사에게 필요할 것이다. 연구의 제언점은 다음과 같다. 첫째, 교과서 저자들은 교과서를 지필할 때 본문에 제시된 연계성 있는 내용을 개발하여 수학적 주요 개념의 도입 방법으로 사용하고 항등원, 역원 단원에서는 임의의 연산이 주어졌을 때 항등원, 역원을 구하는 문항을 다양하게 포함해야 한다. 둘째, 교사들은 항등원, 역원을 지도할 때 실수집합에서의 항등원, 역원뿐만 아니라 다양한 수 집합에서 항등원, 역원을 구하는 경험을 학생들에게 제시하여 항등원, 역원을 이해하게 하고 대학 교재에서 제시하는 정의로 항등원, 역원을 지도하는 것도 필요할 것이다. 셋째, 후속 연구자들은 본 연구의 중하반 학생뿐만 아니라 다양한 수준의 학생들로 연구 대상을 다양화하여 학생들의 반응을 살피는 것도 의미 있을 것이며 수와 연산의 항등원, 역원 단원을 학습하는 학생의 개념 인식 변화를 구체적으로 살펴보는 질적 연구도 필요할 것이다."