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초·중·고등학교 확률과 통계단원에 나타난 표본개념에 대한 분석

초·중·고등학교 확률과 통계단원에 나타난 표본개념에 대한 분석
Other Titles
An Analysis of the Concept of Sample Shown in the Probability-Statistics chapter of the mathematics textbooks from primary school to high school
Issue Date
교육대학원 수학교육전공
이화여자대학교 교육대학원
It is the sample concept that is the core concept of logic and principle to understand the statistical estimation. However, the students feel difficulty in understanding the concept of statistical estimation, who are just familiar with the mechanical calculation of reliability and confidence interval, also cannot explain its meaning logically(Song, 2010; Rhu, 2009; Kim et al. 2006; Lee, 1992). This study is intended to find out the reason why students are experiencing difficulty in learning the chapter of statistics and the implication to improve the textbook in Korea's curriculum, therefore, by reviewing how the sample concept has been realized educationally in the probability·statistics chapter of the mathematics textbooks from primary school to high school. Following research issue has been established for the objective of this study. 1. Has the basic principle of sample concept that had been suggested by Juhyeon Nam(2007) been organized efficiently with appropriate interconnection in the mathematics textbooks of primary·middle·high school published according to the direction of 7th curriculum revision? "Sample concept" is understanding the variability of samples, viewing critically if reliable information is obtained through such samples, justifying it, and understanding its principle. In order to solve the research issue based on the basic principle of sample concept suggested by Juhyeon Nam(2007), the analysis frameworks are used such as "chance and necessity", "randomness and representativeness", "part and whole", "induction and deduction", "likelihood principle", "statistic variability", and "statistical model". Each mathematics textbook has been reviewed, based on the analysis framework, which contents are indicated for students to understand the sample concept and if there is no emissions. All the textbooks dealing with the probability·statistics of the 7th curriculum revision have been selected for the analysis. "Chance and necessity" is the issue of core recognition acting upon the epistemological turning point for selecting problem solving method if solving it with statistical thinking or with statistical thinking. Dividing the phenomenon into chance and necessity enables making correct judgment for how to interpretate the given phenomenon, which affects the explanation for the phenomenon. "Randomness and representativeness" is a question "How to pick out samples that will represent the population well?" Sampling method and its validity must be considered in order to represent the population very well, and the most frequently used method is the random sampling. "Part and whole" is the issue for the samples picked out by random sampling, if the extracted samples recognize that they are a part of the population. Whole population has not been surveyed but the parameter is presumed with the partial samples, in case of sample survey, so it has the attribute of chance variation inevitably(Lee et al. 1999). "Induction and deduction" is the issue with which logical system the current problem can be analyzed. The study of induction and deduction indicates the difference of mathematical thinking and statistical thinking and enables to divide them. "likelihood principle" is the logical law backing up the statistical inference which is the flow of informal thinking. This means the consideration, "The result observed by the random samples has sufficient probabilistic reason for such observation result." "Statistic variability" makes the statistic understood as a random variable and decides the strength of probabilistic statement in the statistical inference. "Statistical model" is for enhancing the reliability by minimizing the coincidence factors(variability) after setting a certain phenomenon, which looks to be an accidental phenomenon, in the model of sum of explanatory variables and coincidence factors. the error in the statistical statement is caused by interference of coincidence variation, and so how to control it well is the key of statistical analysis. As a result of the research, the education of concept of sample in the 7th curriculum revision is short of linkage, there is a gap in learning of the concept of sample, and so it looks difficult for students to make themselves clearly familiar with the concept of sample. The reason why students are feeling difficulty in the statistical estimation and they cannot explain its contents logically may be lack of the study for concept of sample. therefore, it is urgent to improve the teaching of statistics in the curriculum. Following conclusion can be obtained from the result of this study. First, it is related to the selection of problem solving method. The decision whether or not using the statistical method for the given problem can be made up by dividing if the phenomenon in the problem has been caused by chance or by necessity. In reality, there is a phenomenon for which chance or necessity can be clearly classified but in some cases its classification is very difficult. It is necessary to indicate the phenomenon of necessity as well as the phenomenon of chance in order to classify it clearly. The indication of classifying activity of chance and necessity for the given phenomenon is proposed in this paper so as to foster the sense of dividing chance and necessity through discussion over the phenomenon. Second, it is related to the meaning of the sample data. It could be checked out that sample data is being used already from the 4th year of primary school. However, the questions before the high school were focused on the formula calculated from the data or the result obtained from the graph, and there is not any mention on the meaning that the data is holding as a sample. Even the concept of sample is not dealt with in the curriculum before high school, the effort to include the concept of sample in the curriculum of primary·middle schools is necessary at least using questions as an alternative plan to secure the linkage. It must be clearly stated that it is the sample data, when indicating a data, and it must show the meaning of data rather than just focusing on the value of data. Third, it is related to the data collection activity. The statistical survey activity indicated in the middle school is mainly focused on the analysis of collected data, and some sampling methods have been far away from the random sampling method. when indicating the activity of statistical survey, it is necessary to select objects suitable for the activity purpose and to put the meaning on the procedure of collecting the data. Also, do not suggest the sampling method to the students in advance, but have them think out how to pick up samples themselves and let them reflect on the method selected. Random sampling activity is suggested in the several textbooks dealing with statistical estimation, however, the activity is limited just in the practice of random sampling method but the purpose of sampling is not cleared described. It is required to show up clear data of the sampling purpose to order to perform the more meaningful sampling activity. Also, it is necessary for students to understand that randomly extracted samples have the actual representativeness by letting them discuss over the meaning of the sample data after random sampling has been made up. Fourth, it is related to the logic in the justification of statistical inference. The research result shows that there is little study on the logical law and logical evidence in the existing curriculum. It is necessary to describe clearly that induction, the thought system in statistics, is distinguished from deduction, which is the mathematical thinking. Also in the judgment based on the statistical data, it is proposed to describe that the evidence is the "likelihood principle" for the reliability of inference rather than treating the evidence of inference just a common sense. Fifth, it is related on the statistic abstracted from the sample. In the current curriculum, the meaning of variability is not explained but it is used as a factor just for calculation. It is needed for students to understand that the variability of statistic plays the key role in the determination of reliability rather than being biased on the formal calculation. This paper is proposing to describe that the strength of estimation is determined by the variability of statistic, the statistic variability gets smaller as the sample size gets bigger, and the reliability is enhanced according to this. Better statistics lesson should be given to the students based on the analysis result of this research, accordingly, and this paper is proposing that the statistics education should be realized focusing on the interpretation of the meaning and result of data and the logic of statistics and statistical thinking As a subsequent study, it is proposed to research how to embody each subordinate attribute in the actual education in order to realize the study linked with the sample concept according to the developmental stages of students. The study for sample concept can be established systematically if the developing stage of each concept, which can be regarded as an aspect of sample concept, principle, and logics can be proved and positioned firmly through understanding how the statistical concept, principle, or logics are developing forward for structuralization conforming to the development stage of children's recognition in the aspect of sample concept.;통계적 추정을 이해하기 위한 논리 및 원리가 되는 핵심개념이 바로 표본개념이다. 그런데 학생들은 통계적 추정의 개념을 이해하는 데에 어려움을 느끼고 신뢰도와 신뢰구간에 대한 기계적인 계산만 익숙할 뿐 그 의미를 논리적으로 설명하지는 못한다(송성수, 2010; 류선욱, 2009; 김원경 외, 2006; 이영하, 1992). 이에 본 연구는 초등학교에서 고등학교까지의 수학교과서의 확률·통계 단원에서 표본개념이 어떻게 교육적으로 구현되고 있는지를 살펴봄으로써 학생들이 통계단원을 학습하는데 있어 어려움을 겪는 이유를 알고, 우리나라 교육과정의 개선을 위한 시사점을 찾고자 하였다. 이 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 제7차 개정 교육과정의 개정 방향에 따라 편찬된 초·중·고등학교 수학교과서에서 남주현(2007)이 제시한 표본개념의 기본이 되는 원리가 적절한 연계성을 가지고 효율적으로 조직되어 있는가? 표본개념이란, 표본이 지닌 변이성을 이해하고 그러한 표본을 통해 믿을 수 있는 정보를 획득하는지를 비판적으로 바라보며 이를 정당화하고 그 원리를 이해하는 것이다. 위의 연구문제를 해결하기 위하여 남주현(2007)이 제안한 표본개념의 기본원리에 바탕을 두고 “우연과 필연”, “무작위성과 대표성”, “부분과 전체”, “귀납과 연역”, “가능성의 원리”, “통계량의 변이성”, “통계적 모형”을 분석틀로 사용하였다. 분석틀을 바탕으로 각 수학교과서에서 학생들이 표본개념을 이해할 수 있도록 어떤 내용을 제시하고 있는지, 누락된 부분은 없는지를 살펴보았다. 제7차 개정교육과정에서 확률·통계를 다루고 있는 모든 교과서를 분석대상으로 선정하였다. 우연과 필연은 어떤 현상을 분석할 때 이를 통계적 사고로 해결할 것인지 수학적 사고로 해결할 것인지, 문제 해결 방법 선택의 인식론적 분기점에 작용되는 핵심적 인식의 문제이다. 현상을 우연과 필연으로 구분하는 것은 주어진 현상을 어떻게 해석할 것인가에 대해 옳은 판단을 내릴 수 있게 하며 이는 현상에 대한 설명 방식에 영향을 준다. 무작위성과 대표성은 “모집단을 잘 대표하는 표본을 어떻게 뽑을 것이냐?”의 문제이다. 모집단을 잘 대표하기 위해서 어떻게 표본을 추출할지를 생각해야하며 표본추출방법에 있어서 타당성을 고려해야 하는데, 그 때 가장 자주 사용하는 방법이 무작위추출이다. 부분과 전체는 무작위추출에 의해 뽑힌 표본에 대해서 “추출된 자료가 모집단의 일부임을 인식하는가”의 문제이다. 표본조사의 경우 모집단 전체를 조사하지 않고 그 일부인 표본으로 모수를 추정하므로 표본은 필연적으로 우연변동을 속성으로 갖는다(이석훈 외, 1999). 귀납과 연역은 당면한 문제를 어떤 논리체계로 분석할 것인가에 대한 문제이다. 귀납과 연역에의 학습은 수학적 사고와 통계학적 사고의 차이를 알게 하고 이를 구분하도록 한다. 가능성의 원리는 비형식적 사고의 흐름인 통계적 추론을 뒷받침하는 논리법칙이다. 이는 “무작위추출로 뽑힌 표본에 의해 관측된 결과는 그와 같은 관측결과를 얻을 만한 충분한 확률적 이유가 있다”라고 생각하는 것이다. 통계량의 변이성은 통계량을 확률변수로 이해하도록 하고 통계적 추론에서 확률적 진술의 강도를 결정한다. 통계적 모형은 언뜻 보기에 우연현상처럼 보이는 어떤 현상을 설명변인과 우연변인의 합으로 모형을 설정한 후에 우연변인(변이성)을 최소화하여 신뢰도를 높이는 것이다. 통계의 진술에서의 오류는 우연변동의 훼방에 의한 것이므로 이것을 잘 통제하는 것이 통계적 분석의 핵심이다. 연구결과, 제7차 개정 교육과정에서 표본개념에의 교육은 연계성이 떨어짐을 확인할 수 있었고, 표본개념에 대한 학습에는 격차가 생겨 학생들이 표본개념을 명확하게 익히는데 어려움이 따를 것으로 보인다. 학생들이 통계적 추정을 어려워하고 그 내용을 논리적으로 설명하지 못하는 것의 원인이 표본개념에 대한 학습의 부족에 있다고 할 수 있겠다. 따라서 교육과정에서의 통계지도의 개선이 시급하다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫 번째, 문제해결방법의 선택과 관련된 내용이다. 주어진 문제에 통계적 방법을 쓸 것인가 말 것인가의 결정은 문제 속의 현상이 우연에 의한 것인지 필연에 의한 것인지를 구분함으로써 결정할 수 있다. 현실에는 우연과 필연을 명확히 구분할 수 있는 현상도 있지만 그 구분이 난해한 경우도 있다. 이를 명확히 구분할 수 있도록 우연현상과 함께 필연현상도 제시하는 것이 필요하다. 현상에 대한 논의를 통해 우연과 필연을 구분하는 안목을 기를 수 있도록 주어진 현상을 우연과 필연으로 구분하는 활동을 제시할 것을 제안한다. 두 번째, 표본자료의 의미와 관련된 내용이다. 표본자료는 이미 초등학교 4학년 때부터 사용되고 있음을 확인할 수 있었다. 하지만 고등학교 이전까지의 문제에서는 자료로부터 계산된 수식 혹은 그래프를 통해 얻은 결과에만 초점을 맞추고 있었으며, 그 자료가 표본으로써 지니는 의미에 대해서는 어떠한 언급도 하고 있지 않고 있다. 비록 고등학교 교육과정 이전에는 표본개념을 다루고 있지는 않지만, 연계성의 확보를 위한 대안으로 초·;중학교에서는 문제를 이용해서라도 표본개념을 포함시키려는 노력이 필요하다. 자료를 제시할 때, 그것이 표본자료라는 것은 명확히 해야 할 것이며, 자료의 값에만 초점을 맞출 것이 아니라 그 자료가 지니는 의미를 알도록 해야 한다. 세 번째, 자료수집의 활동과 관련된 내용이다. 중학교에서 제시하는 통계조사의 활동은 주로 수집된 자료의 분석에만 초점이 맞춰져 있으며, 제시하고 있는 몇몇 표본추출방법은 무작위추출과는 거리가 있는 방법이었다. 통계조사의 활동을 제시할 때, 활동의 목적에 맞는 대상을 선정하고, 그 자료를 수집하는 과정에 더 의미를 둘 필요가 있다. 또 표본추출방법을 학생들에게 미리 제시할 것이 아니라 표본을 어떻게 선택해야 하는가에 대해 학생들이 스스로 고민하도록 하고 선택한 방법에 대한 반성이 이뤄지도록 해야 할 것이다. 통계적 추정을 다루는 고등학교의 몇몇 교과서에서는 무작위 추출의 활동을 제시하고 있지만 그 활동은 무작위추출의 방법만을 연습할 뿐 추출의 목적이 명확하지 않은 활동이었다. 보다 의미 있는 추출활동이 이뤄질 수 있도록 표본추출의 목적이 명확한 자료를 제시할 필요가 있다. 또 무작위 추출이 이뤄진 후에는 표본자료가 지니는 의미를 논의하도록 하여 학생들이 무작위로 추출된 표본이야말로 대표성을 갖는다는 것을 인식하도록 할 필요가 있다. 네 번째, 통계적 추론의 정당화에서의 논리와 관련된 내용이다. 연구결과로부터 현행교육과정에서는 논리법칙과 논리적 근거에 대한 학습이 거의 이뤄지지 않음을 알 수 있었다. 통계학에서의 사고체계인 귀납법이 수학적 사고인 연역과는 명확히 구분된다는 것을 서술할 필요가 있다. 또 통계자료에 근거를 두고 판단하는데 있어 추론의 근거를 상식으로만 치부할 것이 아니라 추론의 신뢰성을 위해 그 근거가 “가능성의 원리”임을 서술할 것을 제안한다. 다섯 번째, 표본으로부터 요약된 통계량에 관련된 내용이다. 현행 교육과정에서는 변이성이 갖는 의미를 설명하지 않은 채, 이를 계산을 위한 인자로만 사용하고 있다. 형식적인 계산에 치우치기보다는 통계량의 변이성이 추론의 신뢰도를 결정하는 핵심적인 역할을 한다는 것을 이해하도록 해야 한다. 예측의 강도는 통계량의 변이성에 의해 결정되며, 표본의 크기가 클수록 통계량의 변이성이 작아지며 이에 따라 신뢰성이 높아진다는 것을 서술할 것을 제안한다. 본 연구는 남주현(2007)의 연구 결과에 맞추어 표본개념의 여러 하위 개념들에 대한 교육과정 및 교과서에서의 학습 수준을 살펴본 것이다. 연구자는 남주현(2007)이 제안한 여러 하위 개념의 정당성 여부에 대해서는 확인하지 않았지만, 그 내용이 전혀 상식과 동떨어진 것이 아니라고 할 수 있다면 본 연구의 결과로서 드러난 표본개념의 교육적 실상은 염려할 만큼 심각하다고 할 수 있다. 이에 본 연구에서 분석된 결과를 바탕으로 학생들에게 보다 나은 통계 교과 학습이 이루어지길 바라며, 자료의 의미와 그 결과의 해석, 통계의 논리와 통계적으로 사고하는 데에 초점을 맞추는 통계교육이 이루어질 것을 제안한다. 후속연구로는 학생들의 발달단계에 맞춰 표본개념에 대한 연계성을 갖춘 학습이 이뤄지도록 각각의 하위속성을 교육적으로 어떻게 구현하는 것이 좋을 것인가에 대한 연구를 제안한다. 표본개념 측면에서 통계적 개념이나 원리 또는 논리들이 아동의 인지발달 시기에 더불어 어떻게 발달해나가며 어떻게 구조화되는가를 통해 표본개념의 측면으로 볼 수 있는 각 개념이나 원리, 논리들의 발달단계가 입증되고 정립된다면 표본개념에 대한 학습이 체계적으로 이뤄질 수 있을 것이다.
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