유사성 관점에서 본 대수 문장제 해결 과정에 대한 사례연구

Abstract

본 연구의 목적은 학생들이 대수 문장제를 해결할 때, 어떻게 해법에 대한 단서를 인식하며 적용하는가를 유사성의 관점에서 분석하고자 하는 것이다. 학교수학에서 교사들은 새로운 개념을 도입하거나 문제를 해결할 때, 학생들의 이전 지식이나 경험을 새로운 개념 이해나 문제해결에 이용하기 위하여 유사성을 적용한다. 학생들도 유사성을 근거로 이미 알고 있는 개념을 사용하여 새로운 수학적 개념의 이치를 이해하려고 한다. 학교에서 다루는 문제는 대부분 전에 이미 풀었던 어떤 문제와 비슷하지도 않고 관련도 없는 완전한 새로운 문제를 다루는 경우는 거의 없으므로 문제해결에서 유사성을 중심으로 하는 발견술 전략은 매우 중요하다. 따라서 문제해결자가 주어진 문제와 이전에 경험했던 문제들 사이에서 해법에 관련된 유사성을 인식할 수 있는 능력은 성공적인 문제해결 수행에 매우 중요하게 영향을 미칠 수 있을 것이다. 지금까지 대부분 유사성에 관련된 연구들은 문제해결의 성공과 관련하여 구조적 유사성의 역할을 강조하여 왔으며, 해법 단서에 대한 인식 과정에서는 표면 유사성의 역할을 강조하여 왔다. 결국 문제해결의 성공은 구조적 유사성을 인식할 수 있는가의 여부와 관련하여 설명될 수 있었다. 그러나 문제해결 과정에서 문제해결자가 해법에 대한 단서를 인식하고, 구조적 유사성을 구성하였음에도 불구하고 문제해결에 실패하는 경우에 대한 이유를 언급하는 연구는 거의 없다. 또한 문제해결에서 학생들이 인식하는 유사성이 교사나 수학교육 연구자들이 바라는 발견술 개념의 유사성과 일치하는 가를 고려한 연구도 없었다. 더욱이 문제해결 과정에서 구성되는 유사성들은 대부분 학생들의 관점에서 서술되기보다는 연구자들이 주어진 문제 자체나 해법에 대한 문제 구조의 유사성을 문제해결의 성공과 관련하여 서술하여 왔다는 점에 주목할 필요가 있다. 그러므로 본 연구는 학생들이 학교수학에서 경험하는 대수 문장제를 해결하기 위해 해법에 관련된 지식을 어떻게 인식하고 적용하는가를 학생들이 구성하는 유사성의 관점에서 분석하고자 4명의 중학생들을 대상으로 사례연구를 실시하였다. 본 연구에서 서술되는 유사성은 표면 유사성과 구조적 유사성, 그리고 절차적 유사성을 포함하는 것이다. 연구 목적에 따라 결과적인 현상보다는 그 과정에 초점을 두고 대수 문장제를 해결하는 학생들의 사고 과정을 유사성의 관점에서 분석하고자 다음과 같은 세 가지 연구 문제를 설정하였다. 첫째, 중학생들은 주어진 문제를 해결하기 위하여 해법의 단서를 인식하는 과정에서 구성하는 유사성들은 어떠한 것인가! 둘째, 중학생들은 해법의 인식을 근거로 해법을 구체화하는 과정에서 어떻게 유사성을 적용하는가! 셋째, 중학생들이 문제해결에서 성공하거나 실패하는 경우, 그들의 사고 과정에 대한 특징은 유사성과 어떠한 관련이 있는가! 이상의 연구 문제를 가지고 연구 방향을 설정한 후에 먼저, 본 연구의 이론적 근거가 될 수 있는 유사성에 관련된 전이와 유추에 대한 이론적 고찰을 하였다. 그 다음에 질적 사례연구 방법을 적용하여 학생들의 유사성의 구성과정을 조사하고, 이를 기반으로 연구 문제를 심도 있게 분석하였다. 첫째, 연구 대상자들이 해법에 대한 지식을 인식하는 과정에서 구성하는 유사성은 다음과 같다. 연구 대상자들은 모두 처음에는 문제에서 서술된 상황을 설명하는 텍스트를 어포던스(affordance)로 지각하여 이전 문제들과 표면 유사성을 구성하였다. 그리고 연구 대상자들은 해당 문제를 읽고 표상한 문제 상황 안에서 문제에서 서술된 숫자 정보나 단서가 되는 단어나 문구를 어포던스로 지각하여 이전 문제를 해결하는 데 사용했던 공식 등을 현 문제의 해법 원리로 생각함으로써 구조적 유사성을 구성하였다. 연구 대상자들이 생각하는 해법 원리나 개념은 크게 두 가지로 범주화할 수 있다. 첫째, 문제 상황과 연결하여 문제에서 서술된 숫자 정보나 단서가 되는 특정 단어나 문구에 대한 기호적 표상으로 이루어진 (반)열린 공식이다. 다른 하나는 문제에서 서술된 상황과 관련되지 않는 알고리즘적인 공식인 닫힌 공식이다. 닫힌 공식은 알고리즘적인 공식으로 변형되지 않는 기본틀이 있는 공식이며, 문제에서 서술되는 상황과 연관되지 않는 일반적인 개념의 원리이며, 연구자 관점의 구조적 유사성과는 다른 것이다. 그러나 (반)열린 공식은 발견술과 같이 문제 조건에 따라 변형이 가능한 공식이다. 이와 같은 해법 원리에 대한 연구 대상자들의 인식은 문제해결 과정에서 매우 중요한 역할을 한다는 것을 적용 과정에서 확인할 수 있었다. 둘째, 연구 대상자들이 인식한 해법 지식을 적용하는 과정에서 구성하는 유사성은 다음과 같다. 학생들의 해법에 대한 적용 과정은 인식한 해법 원리가 (반)열린 공식인 경우와 닫힌 공식인 경우에 따라 범주화되었다. (반)열린 공식을 해법 원리로 인식한 경우는 일련의 표시(chain of signification)로 해법을 적용하는 절차적 유사성을 구성하여 문제를 해결하였다. 이때 일련의 표시는 숫자나 문자, 그리고 그리기 식의 표시(sign)를 혼합하여 구성하는 경우와 단지 숫자나 문자만으로 구성하는 경우가 나타났다. 한편 해법 원리로 닫힌 공식을 인식한 학생들은 자신만의 알고리즘적인 규칙으로 문제에서 제시된 숫자 정보를 적용함으로써 많은 오류가 일어나 절차적 유사성을 구성하지 못하였다. 셋째, 문제해결 활동에 대한 성공과 실패를 사고 과정의 특징과 유사성의 구성과 관련하여 분석한 결과는 다음과 같다. 학생들의 문제해결에 대한 성공은 분석적 사고와 擬似분석적 사고의 경우로 구분할 수 있었다. 擬似분석적 사고는 문제에서 서술되는 문제 상황과 연결되지 않는 닫힌 공식을 해법 공식으로 인식하여 적용하는 과정에서 학생들의 규칙에 의해서 이루어진 경우에 해당되었다. 그리고 분석적 사고의 경우에는 사고의 모든 단계에서 통제와 조절이 이뤄졌다. 그러한 반성적 사고가 가능하였던 이유는 이전 문제와 주어진 문제 사이에서 표면 유사성을 인식하면서도 차이점을 함께 생각함으로써 이전에 사용하였던 해법 공식의 변형을 생각하였기 때문이다. 그리고 관련된 원리나 개념의 기억과 변형이 가능한 (반)열린 공식의 구성과 일련의 표시로 해법 지식을 적용하였기 때문이다. 이러한 유사성의 구성은 해법의 관련된 지식을 활성화한 것으로 볼 수 있을 것이다. 그리고 본 사례연구에서 연구 대상자들이 수행한 문제해결 활동에서 실패하는 경우는 절차적 유사성의 구성 과정에서 일련의 표시를 완전하게 구성하지 않음으로써 해답을 구할 수 없었던 경우였다. 그리고 다른 경우는 擬似분석적 사고의 경우와 마찬가지로 문제 상황과 관련되지 않은 닫힌 공식을 구조적 유사성으로 구성함으로써 절차적 유사성을 구성할 수 없었던 경우이다. 이 경우는 문제 구조나 문제에서 제시되는 숫자 정보가 학생 자신이 생각하는 규칙과 어긋나는 형태였기에 타당하지 않은 결과가 나타난 것이다. 지금까지 유사성에 관련된 많은 연구들에서는 연구자의 관점에서 학생들의 문제 해결 과정을 서술하여 왔다. 그렇지만 본 연구에서는 학생들의 관점에서 분석함으로써 그들이 인식하는 구조적 유사성이 연구자의 관점과 일치하지 않을 수 있다는 것을 발견하였다. 또한 학생들이 구성하는 구조적 유사성이 학생들의 이전 경험과 관련된 표면 유사성과 매우 관련성이 깊다는 것을 알 수 있었다. 따라서 이러한 학생들의 사고 이해에 대한 본 연구 결과는 보다 확장된 연구의 기본적인 근거가 될 수 있을 것이다.;The purpose of this paper is to investigate how students recognize and apply clues in solving algebra word problems from similarity-based perspective. Mathematics teachers tend to apply similarity when teaching students a new concept or word problem by connecting the student's prior knowledge or experience. Students also use similarity in understanding new mathematical concepts by relying on the concepts that they already know. The teaching strategy using similarity is important since most problems dealt in school are similar to those dealt previously. For students, the ability to recognize similarity between a new problem with the solutions in previous problems is important for successful problem solving. Most research on similarity has focused on the role of structure similarity related to successful problem solving and surface similarity in the process of recognizing clues. In other words, the ability to recognize a structure similarity is a key for successful problem solving. However, not much research has been done on the reasons why a student fail to solve problems despite the fact that he/she recognizes a clue and structure similarity. In addition, the focus was on successful problem solving related with structure similarity for a given problem or solution from the researcher's perspective, rather than similarity formed by students during the process of problem solving. Thus, four middle school students were evaluated in this case study to examine how they recognize and apply knowledge related with solutions to solve algebra word problems. Surface, structure, and procedural similarities were examined in this study. The following three questions were considered to analyze the thought process from the similarity-based perspective by focusing on the process of solving algebra word problems; 1) How do these students formulate similarity in the process of recognizing clues for solving a given problem?, 2) How do they apply similarity in the process of coming up with a specific solution?, and 3) What is the relationship between similarity and the characteristics of thought process at the time of successful and unsuccessful problem solving? The direction of research was set considering these questions, and theoretical discussion is done on transfer and analogy related with similarity. Then, the research topic was analyzed in-depth through the similarity formation process using a quantitative method. In the study subjects, similarity formulated in the process of recognizing knowledge related with solutions is as follows. They recognized the text in a given algebra word problem as a set of affordances, being able to formulate surface similarity with previous problems. Then, they recognized the number(s) or word clues/phrases as another set of affordances, leading to structure similarity by applying previously used formulas to the given problem. The principles or concepts used by the subjects in coming up with the solutions can be divided into two categories. The first have two kinds of formula that is related with the situation described in the text and is possible to change according to a given algebra word problem. One is the semi-open-end formula, i.e., having a changed basic framework as an algorithmic equation. the other is the open-end formula, i.e., the symbolic expression of number information or specific word or phrase described in the text. the open-end formula haven't a basic framework as an algorithmic equation. The other was the closed formula, i.e., the algorithmic formula, not related with the content described in the text in the given problem. It was a formula having a unchanged basic framework as an algorithmic equation, a general concept not related with the situation described in the text, and different from structure similarity from the researcher's perspective. The former category of formula could change based on the conditions given in the given problem as in the case of heuristic strategy. Thus, the perception of the subject on the principles involved in a given problem is important in the process of problem solving. Secondly, the subjects formed similarities in the process of applying knowledge needed for problem solving as follows. The application process was categorized into that of semi-open-end formula and that of closed formula. In the former case, the chain of signification was applied for solution by forming procedural similarity. At this time, the chain of signification could be the combination of numbers, words, and pictures(such as diagrams or graphs) or just numbers or words. On the other hand, those students who recognized closed formulas as a solution method could not formulate procedural similarity due to many errors arising from number information. Thirdly, the following results were obtained by analyzing the success or failure in problem solving based on the characteristics of thought process and similarity composition. Successful problem solving can be based on pseudo-analytical thinking and analytical thinking. The former is the rule applied in the process of applying closed formulas not related with the situations described in the text. The latter means that control and correction occurred in all stages of problem solution. On the other hand, reflective thinking is possible when the student recognizes the difference as well as the surface similarity between previous problems and the current one. The knowledge needed for solutions was applied with the formulation of (semi)open-end formulas in which memory and modification with the related principles or concepts and the chain of signification. This formulation of similarity meant that the student utilized knowledge needed for successful problem solving. The subjects could not solve problems successfully because they could not complete the chain of signification in the process of formulating procedural similarity. In some cases, they could not formulate procedural similarity by forming structure similarity with closed formulas not related with the problem as in the case of pseudo-analytical thinking by solving the problem based on immediate association. Thus, they gave wrong answers since the problem structure or number information given in the problem was different from the rule that the student thought to be correct. In conclusion, the student's perception on the principles involved in a solution is very important in solving algebraic word problems. Furthermore, the results of this study can provide useful data to related studies.