수학적 정당화 유형 분석

Abstract

의미에 바탕을 둔 접근은 학생들의 수학 개념 이해력 신장을 도와줄 수 있고, 추측한 것을 설명하고 정당화하는 수업은 학생들의 사고력 신장에 도움을 줄 수 있다고 하였다(Pape, 2004). 또한, 추론 능력의 발달과 학습자의 문제해결력은 밀접한 관계이므로 수학 학습과정에서 학생들에게 다양한 추론활동을 유도하면 수학적 문제해결력의 신장이 기대되고, 이를 위해 다양한 추론 활동을 유도할 수 있는 자료의 개발이 필요하다고 하였다(하종언, 2002; 이춘구, 2005). 문제의 조건이나 상황, 수식 등을 변형하여 만든 문제의 해결 방법을 찾지 못할 때 자신이 만든 문제의 구조나 정보에 대하여 반성하게 되어 메타 인지적 사고가 나타난다(송상헌, 정영옥, 임재훈, 신은주, 이향훈, 2007). 따라서 조건을 변형하여 다양하고 심화되는 문제를 만들어보는 문제변형과 변형된 문제의 해결을 정당화하는 과정은 수학적 추론능력과 문제해결력, 의사소통의 신장을 기대할 수 있다. 그러나 선행연구에서 문제를 만들어가는 과정이나 사고 과정에 대한 심층적 연구는 미흡하므로(송상헌외, 2007), 문제변형 활동에서 나타난 수학적 정당화를 분석하여 수학적 정당화의 유형의 특성과 성취수준별 차이를 알아보고자 한다. 본 연구에서는 선행연구에서 문제변형 활동을 통한 학업성취도나 학습태도 등에 대한 연구가 대부분이었으므로 문제변형 활동을 통해 문제해결력의 변화가 어떻게 나타나는지 심층적으로 분석하고자 하였다. 이를 위해 수학적 정당화를 문제해결력 변화의 분석 준거로 두고 있다. 또한, 단계적으로 심화되는 문제변형 활동을 통한 수학학습이 수학적 정당화 유형에 변화를 가져오는지, 학생 수준에 따라 문제변형 활동 학습을 어떻게 받아들이는지를 탐색해 보는 것을 연구 목적으로 두었다. 이에 본 연구에서는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 문제변형 활동에서 나타난 수학적 정당화 유형의 특성은 무엇인가? 2. 문제변형 활동에서 나타난 성취수준별 수학적 정당화 유형의 차이가 있는가? 연구문제를 해결하기 위하여 중학교 1학년 학생들을 대상으로 학생들 개개인의 문제변형 활동과정에서 나타나는 학생들의 사고에 대한 심층 분석이 목적이므로 질적 사례 연구 방법을 택하였다. 예비 실험을 거쳐 선정한 6명의 학생을 대상으로 본 실험수업은 5차시에 걸쳐 진행되었고, 다양한 반응을 유도하기 위해 충분한 시간을 주고 자연스럽고 편안한 분위기에서 반구조화된 개별 면담을 하였다. 실험수업의 절차는 단계적으로 심화되는 문제변형 활동에서 변형한 문제와 문제해결 과정을 설명하는 순서로 구성하였고, 이 과정에서 나타난 수학적 정당화를 분석하였다. 수학적 정당화의 과정을 분석하기 위해 실험수업에서 나타나는 수학적 정당화 과정과 면담과정을 전사하여 전사본과 활동지를 여러 번 읽으며 해석하였고, 문제변형 활동에서 나타난 수학적 정당화 유형의 빈도수를 분석하기 위해 수학적 정당화 유형의 분석 준거를 설정하여 각각의 수학적 정당화를 유형별로 코드화하여 분류하였다. 자료 분석 결과, 첫째, 단계적으로 심화되는 문제변형 활동에서 나타난 수학적 정당화의 유형은 1문항부터 5문항으로 문제변형이 단계적으로 심화될수록 교과서나 교사의 풀이에 의존한 정당화에서 점차 추론을 통한 정당화로 범위가 확장되었고, 한 문항에 여러 가지 유형의 수학적 정당화가 동시에 나타났다. 둘째, 문제변형 활동에 따라 빈도수가 높은 수학적 정당화의 유형이 존재하였다. 이때 나타난 수학적 정당화의 유형은 문제변형 활동에서 변형되는 조건과 관계가 있었다. 셋째, 성취수준이 높은 학생일수록 수학적 정당화 유형의 분포가 다양하게 분포해 있으며 유형별 빈도수도 높게 나타났고, 성취수준이 낮은 학생일수록 교과서나 교사의 설명에 의존한 수학적 정당화 유형에 많이 분포하였다. 넷째, 학업성취도에 관계없이 낮은 수준의 학생도 문제변형의 경험을 통해 자신의 문제변형과 변형한 문제의 풀이를 설명하기 위한 근거를 찾는 경험을 하게 되어 수학적 정당화 유형의 범위가 확장되었고 빈도가 점점 높아졌다. 본 연구결과를 통해 수학적 정당화 활동이 익숙하지 않은 학생들에게 문제변형 활동에서 변형한 조건이 문제변형이나 풀이에 대한 설명을 위한 근거와 자연스럽게 연결되어 수학적 정당화를 위한 근거를 찾아낼 기회를 줄 수 있으므로 문제변형과 수학적 정당화가 서로 상호작용하여 문제에 대한 이해와 해결방법에 대한 반성을 하게 되므로 문제해결력의 신장을 기대할 수 있음을 알 수 있다. 또한, 수학적 정당화의 유형은 학생의 성취수준에 따라 빈도와 범위에서 차이가 나타나지만, 성취수준에 관계없이 낮은 수준의 학생도 문제변형의 경험을 통해 수학적 정당화 유형의 범위가 확장되므로 문제변형 활동을 통해 문제와 문제의 해결방법에 대한 이해력이 향상을 기대할 수 있다. 본 연구는 일부 지역의 중학교 1학년 일부 학생을 대상으로 실시하였고, 단계적으로 심화하는 문제변형 활동의 활동자료를 집합과 자연수 단원에 한정하였으므로 분석 결과를 다른 지역과 다른 학년에 연구결과로 일반화하는 데에 제한점이 있다. 이러한 연구의 제한점을 보완하여 집합과 자연수 단원 이외의 단원에 대한 문제변형 활동에서 나타난 수학적 정당화 유형의 분석과 함께 중학교 1학년 학생 이외의 다른 학년의 문제변형 활동에서의 수학적 정당화 유형의 분석에 대한 연구와 문제변형 활동과 수학적 정당화에 대한 효과적인 지도연구를 위한 교수 · 학습 자료를 개발도 이루어져야 할 것이라고 제언한다.;This study will analyze deep how the problem solving ability will be changed through the problem transforming activity because the preceded study was a study about the classwork performance and the learning attitude. For solving the problem, this study will examine how mathematical class which deepens step by step through the problem transforming activity, based on the analysis of the problem solution variation, will change the style of the mathematical justification and how the students will accept the problem transformation class according to the level of their schoolwork performance This study will investigate the following study tasks; 1. How does the style of mathematical justification appear in the problem transforming activity of the first grade of middle school? 2. How does the difference of the style of mathematical justification appear when students' group is divided into some groups according to the schoolwork performance level in the first grade of the middle school? In order to solve the study task, this study chose the qualitative case study for the deepest analysis of middle school first grade students' thinking power in the problem transforming operation. Six students were elected through the preliminary test. This experimental class is played during the 5th periods for solving the study tasks. This study made students experience the problem transforming operation which deepened step by step, made them express their transformed problems and the problem solution course through mathematical justification. I discussed the study tasks with students separately in the comfortable and free atmosphere. As the transform condition in the problem operation has a connection with foundation for explanation about the problem interpretation and the problem transformation to the students who are not accustomed to mathematical justification, students will have an opportunity to find foundation for mathematical justification. In this study, the problem transformation has an interaction with mathematical justification. Also, the style of mathematical justification appears in different frequency and scope according to the level of student's schoolwork performance. But students with low-level schoolwork performance extend the scope of mathematical justification through the problem transformation experience irrespective of students' schoolwork performance. So this study shows that students' understanding about the problem and the problem solution method has been developed through the problem transformation operation. In this study, some students of the first grade of middle school in some region took a part in the test. As this study made the test materials of the problem transformation operation which deepened step by step limit to a set and a natural number, the analysis result had a limit for generalizing the study result as the result of different region and different grade. In order to supplement the limit, I suggest that the study about the style of mathematical justification analysis about various chapters in the problem transformation operation, the study about mathematical justification analysis through the problem transformation in other grade(for example, second grade, third grade. etc.) except the first grade of middle school and effective study including teaching materials and teaching method for the problem transformation operation and the mathematical justification should be developed by degrees in the near future.