부등식의 영역에서 표현의 번역을 강조한 수학 교수-학습 연구

Abstract

하나의 수학적 상황을 여러 가지 표현으로 번역해 보는 활동은 하나의 규칙이나 그래프에 고착시켜서 생각하지 않고 수학적 상황을 폭넓게 이해하는 데 도움이 된다. 또한 영역간의 다양한 수학적 표현을 사용하여 문제를 해결해 나가는 경험은 창의적이고 능동적인 사고를 가지게 한다. 부등식의 영역에서 수학적 상황을 표현하는 방식은 방정식과 함수와의 관계의 이해를 필수로 한다. 그러나 부등식의 영역을 학습함에 있어서 방정식과 함수 개념이 필수적으로 선행되어있어야 함에도 불구하고 많은 학생들이 특히, 함수 개념에 있어 역사적 발달 단계에서의 인식론적 장애로 인해 함수 개념을 어려워하고 잘못된 함수 개념 및 개념이미지를 가지고 있을 뿐 아니라 함수의 여러 가지 표현간의 연결성을 이해하지 못하고 있는 실정이다. 따라서 본 연구의 목적은 수학적 개념의 분명한 정립을 위한 표현의 번역을 학습하는 경험을 주기 위해 고등학교 1학년 7차 개정 수학 교과용 도서의 부등식의 영역에서 나타난 표현의 번역 유형을 알아보아 이를 바탕으로 부등식의 영역을 학습함에 있어 강조되어야할 번역을 중심으로 교수-학습 자료를 개발해 수업에 적용해 보고 수학 학업성취도 및 수학적 태도의 변화를 살펴보는 데 있다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 7차 개정 수학 교과용 도서의 부등식의 영역에서 나타난 표현의 번역 유형은 어떻게 나타나 있는가? 2. 부등식의 영역을 학습함에 있어 강조되어야할 번역을 중심으로 개발된 교수-학습 자료는 어떤 특징을 가지고 있는가? 3. 개발된 교수-학습 자료를 수업에 적용하였을 때 수학 학업성취도 및 수학적 태도에는 어떤 변화가 있는가? 이와 같은 연구 문제를 위해 7차 개정 수학 교과용 도서 36종의 부등식의 영역에 나타난 번역 유형별 빈도수를 조사하였고, 이를 바탕으로 강조되어야 할 번역을 중심으로 교수-학습 지도안과 학생 활동지를 개발하였다. 개발한 교수-학습 지도안과 활동지를 경기도에 위치한 P고등학교 1학년 23명의 학생들에게 적용하여 수학 학업성취도 및 수학적 태도의 변화를 질적 방법과 양적 방법으로 검증하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 교과용 도서 분석에서 ‘부등식의 영역’ 단원 학습에 가장 많이 사용되는 표현의 번역 유형은 식을 그래프로 나타내기, 식을 표로 나타내어 계산하기, 식을 상황·언어적 서술로 번역하기였다. 둘째, 개발된 교수-학습 자료는 교과서에 가장 많이 등장하는 번역 유형을 강조하였으며 표, 그래프, 식을 언어·상황적 서술로 번역하고 교사와 학생, 학생과 학생간의 의사소통을 통한 번역에 많은 비중을 두고 있었다. 셋째, 개발된 교수-학습 자료를 적용한 수업은 수학 학업성취도와 수학적 태도 면에서 사전·사후 검사를 유의수준 .05내에서 t-검정한 결과 학업성취도는 유의도 p가 .004로 수학적 태도는 .000으로 긍정적으로 유의미한 차이가 있었다. 위와 같은 결과로부터 표현의 번역을 강조한 교수-학습 자료의 개발과 적용에서 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 연구문제 1에서는 ‘부등식의 영역’단원에서 가장 많이 요구되는 표현의 번역 과정인 식의 그래프로의 번역과 식의 상황·언어적 서술로의 번역을 강조함으로써 실세계의 제한된 자원을 합리적으로 사용하려는 ‘최적화 문제’를 학생들에게 효과적으로 가르칠 수 있다. 둘째, 표현의 번역을 강조한 교수-학습 자료는 표, 그래프, 식을 언어·상황적 서술로 번역하면서 학생들의 마음속에 있는 애매모호한 수학적 개념을 없애고 명확한 개념을 확립하는 데 도움을 줄 수 있다. 또한 교사와 학생, 학생과 학생간의 의사소통을 통한 번역은 수학이 역사적으로 아무런 갈등과 사고과정 없이 전달되어진 것이 아님을 알게 한다. 셋째, 표현의 번역을 강조한 교수-학습 자료는 수학 학업성취도와 수학적 태도면에서 긍정적인 향상을 나타내었다. 특히, 수학적 태도 중 ‘수학에 대한 흥미와 호기심’, ‘수학 수업에의 참여’, ‘수학에 대한 자신감’과 ‘과제 집착력과 의지’에서 긍정적인 향상이 있었음은 이러한 표현의 번역의 강조가 ‘함수’ 및 ‘부등식의 영역’단원 뿐만이 아닌 여러 다른 수학 단원에서도 학생들이 어떤 문제에 대해 적절한 수학적 표현을 산출하여 표현 간 번역을 통해 문제해결할 수 있는 능력이 향상될 수 있음을 나타낸다.;The activity to translate one mathematical situation into various representations helps understand the mathematical situation widely without thinking just by fossilizing to one rule or graph. In addition, the experience to solve the problems using various mathematical representations between scopes leads to creative and active thinking. The method to representation the mathematical situation in the scope of inequation needs essentially to understand the relationship between equation and function. However, even though the concept of equation and function must take precedence essentially in order to learn the scope of inequation, many students, especially for the scope of function, find the concept of function difficult and have wrong concept of function or concept image as well as don't understand the connectivity between various representations of function due to the epistemological disorder in the historical development stage. Accordingly, this study intends to look into the translation type of representations listed in the scope of inequation of the books for a math textbook for high school freshmen according to the 7th Revision of Education Course and based on this, develop the teaching-learning materials around the translation to be focused on when learning the scope of inequation and apply them to the class and then examine the learning achievement of math and the change of mathematical attitude in order to give the experience to learn the translation of representations for the clear establishment of mathematical concepts. For this, the following research subjects were set. 1. How is the translation type of representations seen in the scope inequation of the books for a math textbook of the 7th Revision of Education Course? 2. What features do the teaching-learning materials developed around the translation to be focused on when learning the scope of inequation have? 3. What changes are found in the learning achievement of math and mathematical attitude when applying the developed teaching-learning materials to the class? For the above research subjects, we examined the frequency per translation type shown in the scope of inequation of 36 kinds of books for a math of the 7th Revision of Education Course and based on this, developed the teaching-learning guidance plan and the student activity sheet around the translation to be focused on. The developed teaching-learning guidance plan and student activity sheet were applied to the 23 freshmen students of P High School, located in Gyeonggido to verified the math learning achievement and the change of mathematical attitude using a qualitative method and a quantative method. The results of this study are as follows: First, through the analysis of the books for a math textbook, the translation type of representations used the most when learning the section ‘Scope of Inequation’includes 'show the formula in a graph', 'show the formula in a chart and calculate', and 'translate the formula into circumstantial and verbal description'. Second, the developed teaching-learning materials were focused on the translation type appeared in the textbook the most and translated the chart, graph, formula into circumstantial and verbal description and gave the weight to the translation through communication between teacher and student and between student and student. Third, the class applied by the developed teaching-learning materials, as a result of t-test within .05 significant level for pre/post examination in the respect of math achievement and mathematical attitude, showed the significant difference positively that the significance p for math achievement is .004 and .000 for mathematical attitude. From the above results, we obtained the following conclusions in the development and application of the teaching-learning materials focusing on the translation of representations. First, for #1 research subject, it is available to teach 'optimization problem' to use the limited resources of the real world reasonably to the students effectively by focusing on the translation of the formula into a graph and the translation of the formula into circumstantial and verbal description which are the translation course of representations required the most in the section 'Scope of Inequation'. Second, the teaching-learning materials focused on the translation of representation help the students to remove the vague mathematical concept in the mind of students and establish the clear concept by translating the chart, graph and formula into circumstantial and verbal description. In addition, the translation through communication between teacher and student and between student and student shows that the mathematics has not delivered without any other conflicts or thinking course historically. Third, the teaching-learning materials focused on the translation of representations showed the positive improvement in the math achievement and mathematical attitude. Especially, for mathematical attitude, a positive improvement appeared in 'the interest and curiosity for a math', 'participation in a math class', 'confidence for a math' and 'adhesion and will for the tasks'. This shows that the emphasis of the translation of these representations help the students improve their ability to so;ve the problem through the translation between representations by creating the proper mathematical representations for a certain problem in other sections of a math as well as in the section 'scope of inequation' and 'function'.