Some properties of the sum of two nilpotent operators

Abstract

In this thesis, we study bounded linear operators which can be written as the sum of square-zero operators. We find properties of T and T² when T is the sum of two square-zero operators. We prove that if T 2 L(H) is the sum of two square-zero operators, then σp(T) = σ_(p)(-T), σ_(ap)(T) = σ_(ap)(-T), and σ_(comp)(T) = σ_(comp)(-T). We find some conditions for an operator T to be the sum of two nilpotent operators of order 4. We also show that if T is a nonzero positive operator, then T cannot be the sum of two square-zero operators and hence for the self-adjoint operator T, T² cannot be the sum of two square-zero operators.;이 논문에서는 두 개의 제곱이 영인 작용소들의 합으로 나타내어지는 유계선형작용소에 대해서 공부한다. 작용소 T가 이러한 두 개의 제곱이 영인 작용소의 합으로 나타내어질 때 T와 T의 제곱의 성질에 대해서 연구한다. 작용소 T가 두 개의 제곱이 영인 작용소들의 합으로 표현되면, T와 -T의 point spectrum, approximate point spectrum, 그리고 compression spectrum이 모두 같음을 증명한다. 또한 작용소 T가 두 개의 네제곱이 영인 작용소들의 합으로 나타내어질 수 있는 조건들에 대하여 공부한다. 끝으로 영이 아닌 positive 작용소 T는 두 개의 제곱이 영인 작용소들의 합으로 표현될 수 없으며, 따라서 자기수반 작용소 T에 대해서 T의 제곱은 두 개의 제곱이 영인 작용소들의 합으로 나타낼 수 없음을 보인다.