Signed Measure에 관한 몇가지 정리의 Complex Measure에의 확장

Abstract

(Theorem 1') μ가 complex measure, E와 F가 measurable set, E⊂F이고

μ(F)

＜∞이면

μ(E)

＜∞이다. (Proof)

=

μ₁(E)+iμ₂(E)

=√μ₁(E)²+μ₂(E)² 그런데

μ₁(F)+iμ₂(F)

=√μ₁(F)²+μ₂(F)²＜∞ 이므로

μ₁(F)

,

μ₂(F)

＜∞ 그리고 μ₁, μ₂는 signed measure이므로 정리1에 의하여

＜∞일 때는

μ₁(E)

μ₂(E)

＜∞ 고로 √μ₁(E)²+μ₂(E)²=

＜∞ (Theorem 2') 만일 μ가 complex measure이고 {En}가 measurable set들의 disjoint sequence이며

μ(U_(n=1)^(∞)En)

＜∞이면 series ∑_(n=1_^(∞)μ(En)는 absolutely convergent이다. (Proof) 이것을 증명하기 전에 먼저

＜∞와

＜∞가 equivalent인 것과 또 ∑

μ(En)

＜∞와 ∑

μ₁(En)

, ∑

μ₂(En)

＜∞가 equivalent인 것을 증명하자. ◁그림 삽입▷(원문을 참조하세요) 우선

＜∞이다. 또한

=√μ₁(En)²+μ₂(En)²＜∞ 마찬가지로 ∑

＜∞↔∑

, ∑

＜∞ 이제 μ₁, μ₂는 signed measure이므로 정리2에 의하여

＜∞이면 ∑

＜∞

＜∞ 따라서 ∑

＜∞ (Theorem 3') 만일 μ가 complex measure이고 {En}는 measurable set들의 monotone sequence이면 [단 {En}가 decreasing sequence일 때는 n의 적어도 한 값에 대하여

＜∞이라고 가정함] μ(lim n En)=lim nμ(En) (Proof) (a) increasing sequence 일 경우 μ(E)=μ₁(E)+iμ₂(E) =μ₁(E₁)+μ₁(E₂-E₁)+…+μ₁(E_(n)-E_(n-1))+… +i{μ₂(E₁)+μ₂(E₂-E₁)+…+μ₂(En-En-₁)+…} =lim{μ₁(E₁)+μ₁(E₂-E₁)+…+μ₁(En-En-₁)} +ilim{μ₂(E₁)+μ₂(E₂-E₁)+…+μ₂(En-En-₁)} =lim μ₁(En)+i lim μ₂(En) =lim{μ₁(En)+iμ₂(En)} =limμ(En) (b) decreasing sequence 일 경우 E₁=E+(E₁-E₂)+(E₂-E₃)+… μ(E₁)=μ₁(E₁)+iμ₂(E₁) =μ(E)+∑μ(En-₁-En) =μ₁(E)+iμ₂(E)+∑{μ₁(En-₁-En)+iμ₂(En-₁-En)} μ₁(E₁)+iμ₂(E₁)-μ₁(E)-iμ₂(E) =∑{μ₁(En-₁-En)+iμ₂(En-₁-En)} =limμ₁(E₁-En)+ilimμ₂(E₁-En) =lim{μ₁(E₁)-μ₁(En)}+ilim{μ₂(E₁)-μ₂(En)} =μ₁(E₁)-limμ₁(En)+iμ₂(E₁)-ilimμ₂(En) =μ₁(E₁)+iμ₂(E₁)-lim{μ₁(En)+iμ₂(En)} =μ(E₁)-limμ(En) 고로 μ(E)=limμ(En) 이상으로서 세 정리를 complex measure에까지 확장시켰다. 위에서 본바와같이 이 세 정리에 대하여는 μ가 signed measure일때뿐 아니라 complex measure일때라도 성립한다는 것을 알수있다.