Diffrentiation of functions with respect to certain rectangle bases

Abstract

이 논문에서, □를 원점을 포함하는 적당한 rectangle 들의 모임이라고 할때, □에 속하는 rectangle S에 대하여 (*) lim diam(s) → 0 □□□ ∫ _(s) f(x-y)dy=f(x) 가 거의 모든 점 x에 대하여 성립 하는가 하는 문제를 연구 하고, 결과로 다음과 같은 사실을 보여준다. (ⅰ) □ 가 모든 rectangle들의 모임이라고 할때, 어떤 유 계 함수에 대하여는 (*) 가 성립하지 않는다. (ⅱ) □가 각축에 평행인 변들을 갖는 모든 rectangle들의 모임이라고 할때 어떤 integrable 함수에 대하여 (*) 가 성립하지 않는다. (ⅱ) 그러나, □ 를 각축에 평행인 변들을 갖는 모든 rectangle 들의 모임이라고 할때, 만약 P > 1 이고 f∈l^(p)(R^(n)) 이면 (*)가 성립한다. (ⅳ) 만약, □를 각축에 평행인 변들을 갖는 한 매개변수에 의한 단조적인 rectangle 들의 모임이라고 하면, p≥1 일 때 L^(p) (R^(n)) 에 속하는 f 에 대하여 (*) 가 성립한다.;In this thesis we consider the question whether (*) lim diam(s)→0(1/m(s))∫_(s)f(x-y)=f(x), almost everywhere, with s∈□ where □ is an appropriate family of rectangles containing the origin and we show that (ⅰ) When □ is the family of all rectangles, (*) is false for some bounded f. (ⅱ) When □ is the family of all rectangles with sides parallel to the axes, (*) is false for some integrable f. (ⅲ) However, for the family □ of all rectangles with sides parallel to the axes, (*) holds if f∈L^(p)(R^(n)), P>1. (ⅳ) If □ is a one parameter monotonic family of rectangles with sides parallel to the axes, containing zero, ie. □={S_(t)}_(0<t<∞), with S_(t_(1))⊂S_(t_(2)) if t_(1)≤t_(2): Then (*) holds for f∈L^(p)(R^(n)), 1≤p.