교육과정 실행의 관점에서 본 수학교사 지식과 수업의 관련성 연구

Abstract

The application of the 7th Curriculum, which represent ‘the curriculum developing’ and ‘learner-centered curriculum’, and the study tendency which emphasizes the teacher's role in the process of developing curriculum. According to the reflection that developing good curriculum does not guarantee the successful reformation of curriculum and the view that modification in curriculum is necessary because of the variety and complexity in situations or contexts several factors which have influence on the practice of curriculum get focused. It is raised that a teacher is not a gate-watcher or a ‘mail carrier who delivers the intention of the developer but a field professional who construct it. However, the teachers in the field who will develop and practice the curriculum have not recognized how and what they will reconstruct and practice. Accordingly, the need for the guide for the teachers as the reconstructor or the executor of curriculum is increasing. The knowledge of a teacher, not a unique element but a organization consisted integrally and functionally, is defined variously by each scholars, but the complicated knowledge of a teacher has practical influence on a class activity. That is, the knowledge of a teacher has direct, indirect effects on teaching methods, contents and processes of a class, the achievement of students, etc, and it plays an important role in planning a class, selecting a task and evaluating students. Besides, it is developing over time, improved through the class with students. As the study on the knowledge of a teacher has various elements such as belief, conception, etc, and is expanded in a specific situation, a classroom, it is difficult to make a close examination on the relationship between the knowledge of a teacher and a class as a part acknowledged on the basis of the situation in which the knowledge of a teacher is unfolded. It is difficult to devide the knowledge of teaching into a subject matter knowledge and a pedagogical content knowledge. Accordingly, a teacher's knowledge of teaching can be divided into various categories and cannot be easily determined by only one aspect because it has a variety of elements. However, its importance is being raised in the aspect that it emphasizes the specific knowledge and functions needed in teaching a subject, changes the belief and the teaching method of a teacher basically, and has a direct relationship with students' achievements in learning. Thus, in this study, a teacher, especially the knowledge of a teacher, is established as a primary factor in practicing a mathematics curriculum and the characteristics of the knowledge of mathematics teachers and the phase in which it is revealed are analyzed. For this, several study tasks like below were established. Ⅰ. What is the mathematics teacher's knowledge of subject matter and how does it revealed in a class? Ⅰ-1. What is the characteristic of the mathematics teacher's knowledge of subject matter? Ⅰ-2. How is the mathematics teacher's knowledge of subject matter revealed in a class? Ⅱ. What is the mathematics teachers pedagogical content knowledge and how does it revealed in a class? Ⅱ-1. What is the characteristic of the mathematics teachers pedagogical content knowledge? Ⅱ-2. How is the mathematics teacher's pedagogical content knowledge revealed in a class? For dealing with these problems, the standard for the mathematics teacher's subject matter knowledge and the mathematics teacher's pedagogical content knowledge was established through a documentary study. Then a concrete example in 'function' area was selected, question-and-answer sheets were developed, and then paper evaluation and interviews were executed. On the basis of them, the mathematics teacher's subject matter knowledge and the mathematics teacher's pedagogical content knowledge were analyzed, and through the observation in the classes on 'function' area for the highschool first grades, it was observed how they were revealed in classes. The class observation revealed the relationship between the knowledge of teacher and a class as well as help to collect a section of it reflected in the class. Besides, the characteristics of features, types and practicing expectation representing the knowledge of the teacher were examined through the modified and added standard for this study of video study analyzing system of TIMSS(the Third International Mathematics and Science Study) developed by IAE(The International Association for the Educational Achievement). According to the study result, in the subject matter knowledge, both teacher A and B have the modern definition of correspondence-centered 'function' and, in the case of showing example, correspondence-centered examples took a primary part. They did not recognize the randomness and univalence of function clearly but emphasized the essential generative aspect in teaching operation. While teacher A focused on the mathematical connection, understanding the concept in textbook and solving the related questions, teacher B focused on the relationship with everyday life through metaphoric situation after teaching the concept. According to the activity and task which represent teacher's subject matter knowledge in class, the classes of both A and B commonly dealt with activities and tasks related with mathematical connection, or activities and tasks to solve the mathematics problem related with the content. While the activities and tasks of teacher A was mainly in order of mathematical connection-representation-operation, those of teacher B was in order of mathematical connection-operation-representation. Teacher A dealt with more various expressions of function. Besides, in the subject matter knowledge, the content about formal definition of concept and operation has the characteristic of concept developed and is presented in one task/one situation and the expectation of a teacher in these task was practicing routine procedure. However knowledge of example and knowledge of presentation had characteristics of application/complexity and frequently expected the practice routine procedures in one task/multiple situation. The knowledge of problem-solving in mathematical situation and the knowledge of problem-solving in everyday life had the feature of application/complexity in one task/one situation and mainly practiced routine procedures. Related to the pedagogical content knowledge consisted of making proper teaching method and understanding the learner, both teacher A and B showed no difference in class content on account of the faithful dealing with the textbooks, but the approaching methods in learning content were different. While teacher A emphasized the interactions of students and voluntary participation, teacher B mainly focused a teacher-centered explanatory instruction. Because both teacher A and B didn't deal with students's sudden outbreaks of question or reaction, they explained the learned content repeatedly or respond expediently to student's sudden question or reaction. In the aspect of teacher A and B's pedagogical content knowledge, activities and tasks characterized by concept developed were frequently appeared. Most of activities and tasks in which the pedagogical content knowledge of teacher A and B were appeared provided on the expectation of practicing routine procedures. Especially, there was no activity or task which invents new solution/think that help students create their own operation method, certification and procedure. In general, subject matter knowledge is recognized to have great influence on how to teach and to have direct influence on the pedagogical decision like various examples, explanations, and questions presented to students. While the teacher who has clarified and well constructed knowledge leads active and meaning learning using various signs connected conceptually, the teacher with restricted knowledge provides inadequate examples, analogies and signs, emphasizing mechanical learning. Thus subject matter knowledge is an important factor a teacher should acquire, acts as the ground of formalization of explanation, and has an great influence on how to teach the subject matter knowledge. The teacher who is not accustomed to the subject matter cannot provide the wonderful experiences in mathematics to student and don't have the chance to show the real shape of mathematics to the students who think mathematics is just a calculation. Another important standard of classifying mathematician and math teacher is pedagogical knowledge conceptualized by Shulman and dealt with importantly in the discuss of teacher knowledge. In the aspect of the difference in the pedagogical knowledge between a math teacher and an English teacher, pedagogical knowledge of a math teacher represents his or her identity. A math teacher should have the knowledge to express the mathematical knowledge he or she already knew to others. That is, on the basis of his or her own mathematical knowledge, without no damage to the nature of mathematical concept, a math teacher should prepare textbook or class material reinterpreting properly to students. Practicing curriculum is reconstructing and realizing nation-level curriculum in class level, and the knowledge, understanding situation, considerateness of an expert, and cares are important variations. Especially, considering the educational situation which is a special relationship between the already learned and learners, it is important that the one who understands the 'academic knowledge' soundly controls the changing process to the 'knowledge to be taught' to others for decreasing possibility to lose original meaning. What a teacher knows is one of the factors which influence greatly to students' learning, which occur in a classroom, and the possibility of distortion is existed on the process of transforming and helping others to understand the knowledge even though the teacher understands it seriously. The teacher who has desirable level of knowledge seriously views the relationship between contents, presents various approaches to one problem, and consider the vertical consistency through enforcement of essential idea. This kind of teacher shows the relationship between mathematical concept and processes clearly, recognize various aspects and explains the pros and cons of each aspects. Teachers who know the basic mathematical idea, 'simple but powerful,' understand the curriculum as a unified one, so actively use the chance to review the important concept which students have already learned or the possibility to make a base for the concept students will learn later. Thus it is important to search the relationship between the knowledge of teacher who is charged to practice curriculum and the class of him or her. On the basis of this study result in which teacher knowledge about function was extracted and example study was done, on the view of practicing curriculum, several suggestions will be presented below for the constant development of teacher knowledge and succeeding studies. First, it is needed to define the nature and level of teacher knowledge more clearly. The knowledge of teacher is a primary factor which has influence on practicing the curriculum, and defining its nature and level not only plays an role as reference for effective practice of curriculum but also is used as basic material for teacher education. Second, through the vertical study on teacher knowledge, serious research on the course of building and developing the knowledge of a teacher. Third, the study for the factors that influence on the knowledge of a teacher should be more in detail. The knowledge of teacher is not a unique factor but complex system with unification and function, and the influences of various factors like belief, studying experiences etc. should be clarified. Fourth, the application of the study on the knowledge of a teacher should be found in preservice teacher training. That is, the plan should be made that the knowledge of preservice teacher will be elevated through the study on the knowledge of a teacher. Fifth, through the study of teacher knowledge, the method of teachers' professional development should be found. The knowledge of teacher is a factor which influences on the teacher's practice of curriculum directly or indirectly, and provides suggestions in a teacher's professional advancement. Sixth, the evaluation method for the knowledge of a teacher should be examined. This is based on the defining the nature of the teacher's knowledge and the evaluating method should be found on the ground of clear agreement about the nature and level of teacher knowledge. key word: curriculum implementation, mathematics teacher's knowledge, subject matter knowledge, pedagogical content knowledge;‘만들어가는 교육과정’, ‘학습자 중심의 교육과정’을 표방하는 제7차 교육과정의 시행과 교육과정 개발과정에서 교사의 역할을 강조하는 연구동향은 교육과정 개발자 혹은 재구성자로서의 교사의 역할을 강조하고 있다. 또한 훌륭한 교육과정의 개발이 성공적인 교육과정 개혁을 보장하지 않는다는 반성과 교육과정이 적용되는 상황이나 문맥의 다양성․복잡성 등으로 인하여 교육과정 실행 중 수정이 불가피하다는 관점에 따라 교육과정 실행에 영향을 미치는 여러 요인들에 관심이 모아지게 되었다. 이는 교사가 교실 수업의 문지기 혹은 개발자의 의도를 충실히 전달하는 단순한 ‘우편배달부’가 아니라 학교수준에서 이를 재구성하는 현장전문가라는 역할을 부각시킨 것이다. 그러나 교육과정을 개발하고 실행하게 될 현장의 교사들은 교사수준에서 무엇을 어떻게 재구성하고 실행할 것인지에 대한 명확한 인식을 갖지 못함에 따라 교육과정 재구성자 혹은 실행자로서 교사들을 위한 안내의 필요성이 증대하고 있다. 교사 지식은 단일한 요소가 아니라 통합적, 기능적으로 이루어진 조직체로서 학자에 따라 다르게 정의되고 있으나 복합적으로 구성된 교사의 지식은 교실 수업에서 실제적인 영향력을 가지고 있다. 즉, 교사의 지식은 가르치는 방법, 수업의 내용과 과정, 학생의 학업성취 등에 직간접적인 영향을 미치는 것으로, 교사가 가진 지식은 수업을 계획하고, 과제를 선택하고, 학생을 평가하는데 중요한 역할을 한다. 또한 교사의 지식은 학생들과의 수업을 통하여 계속적으로 향상되면서 시간이 흐름에 따라 발전해 나간다. 교사의 지식에 관한 연구는 신념(belief), 관념(conception) 등 영향을 주는 요소가 다양하고, 교실이라는 특수한 상황에서 전개되는 것이므로, 교사 지식이 표면화되는 상황을 바탕으로 이해되어야 할 부분으로 교사의 지식과 수업 사이의 명료한 관계를 규명하는 것은 쉽지 않은 일이다. 교사 지식을 교과 내용지식과 교수학적 지식으로부터 엄밀하게 구별하기는 어렵다. 따라서 교사 지식은 다양한 요소로 이루어져 있으므로 어떤 한 가지 관점만으로 판단하는 것은 어려운 일이다. 그러나 교사 지식은 교과를 가르치는데 필요한 교과만의 특수한 지식과 기능을 강조하고, 교과에 대한 교사의 신념과 교수법에 근본적인 변화를 일으키며, 학생들의 학업성취도와도 관련이 있다는 점에서 그 중요성이 부각되고 있다. 따라서 본 연구는 수학과 교육과정을 실행하는데 영향을 미치는 주요한 요인으로 교사, 특히 교사의 지식을 설정하고 수학교사가 갖고 있는 지식의 특징과 이들이 수업에서 표면화되는 양상을 분석하고자 한다. 이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. Ⅰ. 수학교사의 교과 내용지식은 무엇이고 수업에서 어떻게 나타나는가? Ⅰ-1. 수학교사의 교과 내용지식의 특징은 무엇인가? Ⅰ-2. 수학교사의 교과 내용지식은 수업에서 어떻게 나타나는가? Ⅱ. 수학교사의 교수학적 지식은 무엇이고 수업에서 어떻게 나타나는가? Ⅱ-1. 수학교사의 교수학적 지식의 특징은 무엇인가? Ⅱ-2. 수학교사의 교수학적 지식은 수업에서 어떻게 나타나는가? 이러한 문제를 다루기 위하여 교사의 지식에 대한 문헌연구를 통하여 교과 내용지식과 교수학적 지식의 분석준거를 설정하고 함수내용과 관련된 구체적인 예시를 선별하여 이들에 대한 질문지를 개발하고 지필평가와 인터뷰를 실시하였다. 이를 바탕으로 교사의 교과 내용지식과 교수학적 지식의 특징들을 분석하였고, 고등학교 1학년 함수내용의 수업 관찰을 통해서 각 교사별 교과 내용지식과 교수학적 지식이 수업에서 어떻게 나타나는지를 살펴보았다. 수업 관찰은 수업에 반영되는 교사 지식의 단면을 추출하는데 도움을 줄 뿐 아니라, 이를 통하여 교사의 지식과 수업의 관련성을 보다 구체적으로 표면화시켰다. 또한 국제 교육성취도 평가 협회(The International Association for the Educational Achievement; IEA)가 개발한 제3차 수학․과학 교육성취도 국제비교연구(the Third International Mathematics and Science Study; TIMSS)의 비디오 연구의 분석체계를 본 연구의 특성에 적합하도록 수정․보완하여 교사의 지식이 나타나는 활동 및 과제의 성격, 유형, 수행기대의 특징을 조사하였다. 연구결과, 교사 A, B의 교과 내용지식의 특징을 살펴보면, 두 교사는 ‘함수’에 대하여 대응 중심의 현대적 정의를 가지고 있으며 함수의 사례를 제시하는 경우에도 대응 중심의 사례가 주를 이루었다. 함수의 임의성과 일가성에 대한 인식은 명확하지 않으나 함수의 연산 지도 시에는 본질이라 할 수 있는 생성적 측면을 강조하였다. 교사 A는 교과서에 있는 개념을 이해하고 그와 관련된 문제를 푸는, 수학적 연결성에 치중하는 반면, 교사 B는 개념에 대한 지도를 마친 후에는 은유적 상황을 제시하며 일상생활과의 관련성을 중시하였다. 교사의 교과 내용지식이 수업 중 나타난 활동 및 과제를 살펴보면, 교사 A, B의 수업은 공통적으로 수학적 연결성과 관련된 활동 및 과제 즉, 내용과 관련된 여러 가지 수학 문제를 푸는 활동이나 과제가 많았다. 교사 A는 수학적 연결성-표현-연산의 순서로 활동 및 과제가 많았던 반면, 교사 B는 수학적 연결성-연산-표현의 순서로 활동 및 과제가 나타남에 따라 교사 A의 수업에서 함수의 여러 가지 표현들이 좀 더 많이 다루어졌음을 알 수 있다. 또한 교과 내용지식 중 개념의 형식적 정의 및 연산에 관한 내용은 개념유도의 성격을 갖으면서 한 가지 과제/한 가지 상황에서 제시되고, 이러한 과제들에 대한 교사의 기대는 정형화된 절차를 연습하는 것이었다. 그러나 사례에 관한 지식과 표현에 관한 지식은 보충/반복의 성격으로 한 가지 과제/다양한 상황에서 정형화된 절차의 연습을 기대하는 경우가 많았다. 수학적 상황에서의 문제해결에 관한 지식와 실생활과 관련된 상황에서의 문제해결에 관한 지식도 한 가지 과제/한 가지 상황에서 보충/반복의 성격을 띠며 정형화된 절차의 연습을 기대하는 것이 주를 이루었다. 적절한 교수방법의 구안, 학습자에 대한 이해로 구성된 교수학적 지식과 관련하여 교사 A, B 는 모두 교과서를 수업에서 충실히 다루어 수업 중 다루어지고 있는 내용들은 대동소이했으나, 학습 내용의 접근 양식은 다소 상이하였다. 교사 A는 학생들과의 상호작용과 직접적인 참여를 강조한 반면, 교사 B는 일방적인 설명과 지도를 중심으로 수업을 진행하였다. 교사 A, B는 모두 학생들의 돌발적인 질문이나 반응을 중요하게 다루지 않아, 수업 중 학생들의 돌발적인 질문이나 반응에 대하여 학습 내용을 반복적으로 설명하거나 임기웅변식의 대처가 이루어졌다. 교사 A, B의 교수학적 지식과 관련하여 볼 때, 개념유도의 성격을 갖는 활동 및 과제가 비교적 많이 나타났다. 교사 A, B는 모두 교재재구성과 개념재해석은 한 가지 과제/한 가지 상황에서 개념유도의 성격을 갖는 활동 및 과제가, 교수법 적용과 피드백 제공에서는 다양한 과제/한 가지 상황에서 보충/반복의 성격을 갖는 활동 및 과제가 많았다. 교사 B의 경우도 교재재구성, 개념재해석은 한 가지 과제/한 가지 상황에서 개념유도의 성격을 갖는 활동 및 과제가, 교수법 적용과 피드백 제공에서는 다양한 과제/한 가지 상황에서 보충/반복의 성격을 갖는 활동 및 과제가 많았으나, 교사 A에 비하여 심화에 해당하는 활동 및 과제의 수가 많았다. 교사 A, B의 교수학적 지식이 나타나는 활동 및 과제의 대부분은 정형화된 절차의 연습을 기대하며 제공된 것으로 학생들이 자신만의 풀이법이나 증명, 절차를 창안하는 새로운 풀이법 및 생각의 발견에 해당하는 활동이나 과제는 전혀 나타나지 않았다. 교육과정 실행은 국가수준에서 개발된 교육과정을 교사가 교실 수준에서 재구성하고 실천하는 것으로, 교사들의 지식, 현상 파악 능력, 전문가적인 사려깊음과 배려가 중요한 변수가 된다. 특히 이미 지식을 알고 있는 사람과 배워야 하는 사람 사이의 특수한 관계인 교육적 상황을 고려할 때, ‘학문적 지식’을 이해하고 있는 사람이 이를 다른 사람이 이해할 수 있는 ‘가르칠 지식’으로의 변화하는 과정을 건전하게 통제함으로써 지식이 가지고 있는 본래의 의미가 파손되는 것을 감소시키는 것은 중요한 문제가 된다. 교사가 아는 것이야말로 교실에서 행하는 것, 궁극적으로 학생들이 배우게 되는 것에 가장 큰 영향을 미치는 요소 중 하나로서, 교사가 학문적 지식 혹은 가르칠 지식에 대하여 심도 있게 이해한 상태라도 지식을 변형하여 다른 사람의 이해를 돕는 과정에는 그 본래 의미에 대한 왜곡의 가능성이 항상 존재하기 때문이다. 바람직한 수준의 지식을 함유한 교사는 내용들 간의 상호 관련성을 중시하고 문제 하나를 해결하는 데 있어서도 여러 가지 접근방법을 제안하며, 기본적인 아이디어의 강화를 통한 종적 일관성을 중요시한다. 이러한 교사는 학생들에게 수학 개념과 절차들 간의 관계를 명확히 드러내며, 한 가지 아이디어가 갖고 있는 여러 가지 측면을 인식하고 각각의 장단점을 설명할 수 있다. ‘단순하지만 강력한’ 기본적인 수학 아이디어를 잘 알고 있는 교사들은 교육과정을 통합적 실체로서 이해하여 학생들이 이전에 배운 중요 개념을 복습할 기회가 생기거나 나중에 배우게 될 개념의 기초를 다져줄 수 있는 기회가 찾아오면 이를 적극적으로 그러한 기회를 활용한다. 따라서 현장에서 교육과정 실행을 담당하는 교사의 지식과 수업과의 관련성을 모색하는 일은 매우 중요한 의미를 갖는다. 함수 관련 교사 지식을 추출하고 사례 연구를 실시한 본 연구의 결과를 바탕으로 교육과정 실행의 관점에서 교사 지식의 지속적인 발전과 후속 연구를 위한 몇 가지 제언을 하고자 한다. 첫째, 교사 지식의 본질과 수준에 대한 보다 명확한 규정이 필요하다. 교사 지식은 교육과정 실행에 영향을 미치는 주요한 변인으로, 그것의 본질과 수준의 규명은 효과적인 교육과정 실행을 위한 참고 자료의 역할을 할 뿐 아니라 교사 교육을 위한 기초자료로 작용한게 된다. 둘째, 교사 지식에 대한 종단적 연구가 진행되어 어떤 경로를 통해 교사 지식이 형성되고 발전되는지에 관한 심층연구가 이루어져야 할 것이다. 셋째, 교사 지식에 영향을 미치는 요인에 대한 연구가 보다 상세화되어야 할 것이다. 교사 지식은 단일한 요소라기 보다 통합적, 기능적인 복잡한 조직체로서 신념, 학습경험 등 여러 가지 요소들의 영향력이 명료화되어야 할 것이다. 넷째, 교사 지식에 대한 연구가 예비교사 교육에 활용될 수 있는 방안이 모색되어야 할 것이다. 즉, 교사 지식에 대한 연구를 활용하여 학교 현장에 배출되는 예비교사의 지식을 향상시킬 수 있는 방안이 모색되어야 할 것이다. 다섯째, 교사 지식에 대한 연구를 통하여 교사의 전문성 신장 방안이 모색되어야 할 것이다. 교사 지식은 교사의 교육과정 실행에 직간적접으로 영향을 미치는 요인으로 교사의 전문성 신장에 시사하는 바가 크다. 여섯째, 교사 지식의 평가 방안이 모색되어야 할 것이다. 이는 교사 지식의 본질 규명을 바탕으로 하는 것으로, 교사 지식의 본질과 수준에 대한 명확한 합의를 바탕으로 이들의 평가방안이 모색되어야 할 것이다. 주제어: 교육과정 실행, 수학교사 지식, 교과 내용지식, 교수학적 지식