수학적 오개념과 오류에 대한 인지심리학적 고찰

Abstract

The purpose of this study is to give the basic and general understanding on the mathematical misconceptions and errors for the improvement of students' problem solving ability and the utmost use of their mathematical power. Because it can help students to overcome those problems by themselves in a mathematical learning process and construct up the right knowledge on mathematics. To do this, I first identify the terminologies of some mathematical misconceptions and errors, and reanalyze their characteristics. Secondly, I deeply analyze the students' the various mathematical misconceptions and errors learned in the school situations on a point of view of the cognitive psychology. Thirdly, I find out the applicability of the psychological analysis on mathematical misconceptions and errors. The research on the students' mathematical misconceptions is very important for the improvement in mathematics teaching method. The existing studies have been categorized the students' misconceptions on the learning of mathematics and made comparisons of the treatment of the misconceptions. I accept the empirical results of students' misconceptions research in mathematics learning such as the persistence, the stability and so on. However, I question their views about the characteristic, the origins, and the variation of many students' misconceptions. Some learned persons have often viewed the students as holding flawed ideas that are strongly held that interfere with learning, and these mistaken ideas must be confronted and replaced. I'd like to mention that these views overemphasizes the discontinuity between the learners and the experts. It also conflicts with the basic premise of constructivism which students build the more advanced knowledge from their prior understandings. There has been no well-articulated theory explaining or describing the origin, the cognitive cause, the substantive dimensions of the process by which the ability of organizing the learners' basic concepts is changed and grown from one set of misconceptions to another set of correct concepts or new mathematical concepts. I think that the major source of hypotheses concerning this issue, how concepts change and grow under the impact of new ideas or new information from misconceptions and errors. So, I mention some commonly cited dimensions of discontinuity and highlight elements of knowledge that serve both novices and experts, in spite of different contexts and conditions. I interpret the learners' misconceptions as the resources for cognitive growth within a very complex knowledge system. This theoretical view aims to characterize the interrelationships within many diverse knowledge elements rather than identify the particularly mistaken conceptions; it emphasizes the knowledge of a refinement and a reorganization rather than the replacement as primary metaphors for learning; and it provides a kind of framework which can understand misconceptions both flawed and productive. I have studied a more detailed understanding of some of these misconceptions. In this study, I first describe the epistemological base of mathematical misconceptions and errors with Lakatosian mathematical philosophy, Bachelard's epistemology and constructivism. I present an overview of the nature of mathematical knowledge, and then identify the terminology of mathematical misconception and mathematical error, and reanalyze their characteristics. "Mathematical misconception" is the students' incorrect conceptions and prior knowledges that can be right in limited domain. "Mathematical error" is the learning process and the result which systematically come from the learners' mathematical misconceptions. Secondly, this study presents some new ideas to analyse and diagnose the students' mathematical misconceptions and errors on the basis of Pascaul-Leone's neo-Piagetian theory. Although Pascaul-Leone's theory is a cognitive developmental theory, its psychological mechanism gives us new insights on mathematical misconceptions and errors. Comparing mathematical misconceptions and errors with Pascaul-Leone's psychological mechanism, I analyze mathematical misconceptions and errors in mathematical problem solving and diagnose the misleading factors using Schoenfeld's levels of analysis and structure and fuzzy cognitive map(FCM). FCM can present cause and effect with misconceptions that students have about the prerequisite knowledge and the problem solving. As a result, the students' mathematical errors on problem solving and their LC learning structures have the same nature. The structures in items of students' mathematical errors and misleading factors in cognitive tasks affect their mental processes with the same activation mechanism. LC learning structures were preferentially activated within the knowledge structures by F operator. With the same activation mechanism, the process that students' mathematical errors were firstly activated among conceptions could be explained. Also, this study presents new views concerning the classification of students' mathematical errors on the basis of experiential structuralism. Experiential structuralism's mechanism gives us the new insights on mathematical errors. Experiential structuralism is the new theory of cognitive organization and growth. It postulates that the cognitive system is organized into six autonomous capacity spheres: the quantitative-relational capacity, the qualitative-analytic capacity, the imaginal-spatial capacity, the causal-experimental capacity, the verbal-propositional capacity, the metacognitive-reflecting capacity. According to it, these capacities proposed that a set of specific cognitive abilities may be integrated into a general capacity under the guidance of five principles, that is, the principles of (1) domain specificity, (2) formal-procedural specificity, (3) symbolic bias, (4) subjective distinctness of capacities, (5) developmental variation. The hard core of mechanism consisted of 6 autonomous capacity spheres that are responsible for the representation and the processing of different reality domains. There are specific forces that are responsible for this mental organization. It is expressed in terms of a set of five organizational principles. By the theory, the classification of mathematical errors is ascribed to the interaction between the six autonomous capacity spheres. Different types of classification require the different autonomous capacity spheres. We can classify the mathematical errors in the domain of linear function problem solving by the cognitive psychological mechanism of experiential structuralism. Thirdly, I also try to find out how to change and develop the students' self-diagnosis and their misconceptions through several error-remedial teaching-learning methods which are designed in this study. For this, I do the case study of students' misconceptions on the learning of linear function, using a qualitative analysis with learning activity of conceptual change and conceptual growth. In learning activity of conceptual change, I find out that misconceptions can be developed into a correct conception as a result of learning activity of conceptual change. In learning activity of conceptual growth, I also come to know that misconceptions can be developed into new mathematical concepts or new ideas from student's misconceptions as a result of learning activity of conceptual growth. This study gives some cognitive psychological approaches on the students' misconceptions in mathematics learning. It also gives the cognitive psychological base that students replace misconception with the correct concept, revise errors, develop mathematical knowledge from their prior conceptions by themselves, and inquire into new mathematical concept.;본 논문은 학생들의 문제 해결 능력 신장 및 수학적 힘의 극대화를 위해 학생들 스스로 수학 학습 과정에서 나타나는 오개념과 오류를 극복하고 올바른 수학적 지식을 구성해 나갈 수 있도록 돕기 위해 수학적 오개념과 오류에 대한 보다 근원적이고 포괄적인 이해를 제공하는데 그 목적이 있다. 이를 위해서 본 논문에서는 첫째, 수학적 오개념과 오류에 대한 용어를 구분하여 정의하고 그 특성을 재해석하였다. 둘째, 학교수학에서 발생하는 다양한 수학적 오개념과 오류를 인지심리학적 관점에서 핵심적이고 공통적인 작동기제에 의해 상세하게 분석하였다. 셋째, 수학적 오개념과 오류에 대한 인지심리학적 분석을 실제 수업에 적용가능한지를 모색하였다. 학생들의 수학적 오개념이나 오류에 대한 기존의 연구는 오개념과 오류를 각 수학적 영역과 주제별로 양적으로 범주화하여 분류하고 그 특성을 분석하며, 그에 대한 교수학적 처치를 제안하는 접근방식으로만 점철해 왔다. 이러한 연구 방식은 수학적 오개념과 오류의 분류와 분석에 더 중점을 두고 특정 주제에 대하여 수학적 오개념과 오류를 진단하고 처방하는 것을 목적으로 하기 때문에 학습 과정에서 피할 수 없는 학생들의 오개념이나 오류를 체계적으로 이해하기에는 한계가 있다. 수학적 오개념과 오류가 단순한 개인적 차원의 문제가 아니라면, 수학 학습 과정에서 나타나는 오개념과 오류가 발생하게 되는 근원적인 요인과 과정, 체계가 있을 것으로 가정할 수 있다. 그런데 특수한 수학적 내용 영역에서 연구자 각자의 실험을 바탕으로 학생들의 수학적 오개념을 범주화하고 그 처방을 제안하는 종래의 연구 방식은 오개념과 오류의 근본적인 공통적인 인지적 발생 요인과 과정, 체계를 밝히기에는 아직 충분하지 못하다. 그리고 수학적 오개념과 오류로 나타나는 다양한 현상 속에서 통일된 핵심 기제의 역할을 하는 오개념을 찾으려고 하거나 공통적인 오류의 원인을 분석하려고 노력하는 접근은 다양한 과제 상황과 그 때마다 나타나는 오류의 다양성으로 인하여 수학적 오개념과 오류의 본질을 밝히는데 어려움이 될 수 있다. 이에, 학생이 가진 오개념 형성에 영향을 미치는 기반(예를 들어, 인지 구조)은 무엇이며, 오개념의 형성 과정에는 어떠한 요인이 영향을 미치는지 등을 종합적으로 고려한 연구를 행할 필요가 있다. 본 논문에서는 학교수학에서 발생하는 다양한 수학적 오개념과 오류를 인지심리학적 관점에서 Pascual-Leone의 신피아제 이론과 경험적 구조주의를 기반으로 고찰하였다. 이는 수학 교육 연구자들이나 수학 교사들이 학생들의 다양한 수학적 오개념과 오류의 인지 구조와 그 발생 원인과 형성 과정 등에 대하여 심도 있게 이해함으로써, 학생들 스스로 수학적 오개념과 오류를 극복할 뿐만 아니라 이를 활용하여 새로운 수학적 지식을 구성하도록 도울 수 있을 것이다. 구체적으로, 본 연구의 결과를 살펴보면 다음과 같다. 먼저 수학적 오개념과 오류에 대한 용어 및 특성을 분석하기 위해 Lakatos의 수리철학, Bachelard의 인식론, 구성주의의 인식론적 입장을 살피고 수학적 오개념과 오류에 대한 다양한 용어를 다각적으로 분석하였다. 수학적 오개념과 오류에 대한 인식론적 배경을 분석한 결과, 수학 학습과 관련하여 개념 형성에 대한 관점은 개념 변화와 개념 성장의 두 가지 입장이 있을 수 있다. ‘개념 변화’는 수학 학습을 할 때 내용-특수한 영역에서 오개념이 옳은 개념으로 교정되고, 이전의 개념 체계가 올바른 개념 체계로 대체되는 변화를 의미한다. ‘개념 성장’은 세 가지 의미를 가지는데 첫째는 새로운 개념 등의 수학적 지식이 학습자의 인지 구조에 갈등없이 동화되어 학습되는 과정으로 본 연구에서는 다루지 않았다. 둘째는 수학 학습 과정에서 학생의 수학적 오개념이 새로운 수학적 지식과 인지 갈등을 일으키고 조절되면서 기존 개념 구조를 개선하고 확장ㆍ재구성하여 새로운 지식을 발견하는 것을 의미한다. 셋째, 수학적 오개념을 발판으로 새로운 수학적 개념을 탐구함으로써 지식의 성장을 추구하는 것을 의미한다. 이러한 인식론적 해석을 바탕으로 인지심리학적 관점에서 그 의미를 포괄할 수 있도록 수학적 오개념과 오류에 대한 용어를 각각 정의한 결과, 수학적 오개념은 ‘학습 이전에 학생 스스로 형성하여 학생의 인지 구조 속에 내면화되어 있는 현재의 지식 중 수학적 개념과 일치하지 않거나 제한된 영역에서만 성립하는 선행 지식’이다. 수학적 오류는 ‘수학 학습을 할 때 학생의 오개념에 의해서 체계적으로 나타나는 학습 과정과 결과’이다. 인지심리학적 관점에서 Pascual-Leone의 신피아제 이론을 토대로 학생들이 형성한 구체적인 개념의 내용물에 대하여 오도(誤導) 요인과 무의식적 조작자와 같은 공통 · 핵심적인 작동기제를 중심으로 수학적 오개념을 인지 구조와 관련하여 분석하였다. 또한 오개념의 발생 원인과 형성 과정 및 수학적 오개념으로 인해 나타나는 수학적 오류도 신피아제 이론을 기반으로 Schoenfeld의 구조 분석 단계모형과 퍼지 인지 맵을 활용하여 보다 면밀히 분석하였다. 그런 다음, 신피아제 이론으로부터 인지 체계의 변화와 수행 변화를 정신용량과 직접 연결시켜 설명하는 Demetriou 등(1987, 1993, 1994, 2002)의 경험적 구조주의를 바탕으로 수학적 오류를 분류할 때 공통적으로 일반화시켜 적용할 수 있는 오류 분류 기준을 제안하고 그 적용가능성을 일차함수 활용에 대한 사례연구를 실시하여 분석하였다. 끝으로, 이러한 수학적 오개념과 오류에 대한 인지심리학적 분석이 실제 수업에 적용가능한 지를 탐색하기 위해, 수학적 오개념과 오류를 기반으로 학생들의 개념 변화와 개념 성장을 돕는 학습 지도 방안을 제안하고 중학생을 대상으로 일차함수의 활용 학습단원에서 개념 변화 학습 활동과 개념 성장 학습 활동을 적용한 사례연구를 실시하여 그 적용가능성을 분석하였다. 개념 변화 학습 활동은 학습자 스스로 오개념 · 오류가 발생한 비평형상태의 인지 구조와 사고를 재조직하여 특정 문맥에서 오개념을 제거하고 옳은 개념으로 교정할 수 있도록 돕는 학습 활동이다. 개념 성장 학습 활동은 기존의 개념과 새로운 개념을 통합하여 보다 큰 설명적 적절성을 가지며 보다 큰 이론적 구조에서 옳은 개념을 생성시키는 발견 수준과 수학적 오개념이나 오류를 발판으로 활용하여 새로운 수학 개념을 습득하도록 돕는 탐구 수준의 학습 활동이다. 인간의 사고 과정에 대한 이해가 인간 자체에 대한 이해와 더불어 인류 문화의 발달에 중요한 요인임을 고려한다면, 오개념과 오류는 학생들의 수학 학습 과정에 대한 이해를 심층적으로 할 수 있도록 돕는 풍부한 정보원이라는 인식을 하는 것이 교육에서 중요하다. 이러한 관점에서 학생들의 수학적 오개념과 오류에 대한 폭넓고 체계적인 이해를 하고자 한 본 연구는 학생들의 수학적 힘의 신장을 꾀한다는 면에서 가치가 있는 일이다. 수학적 오개념과 오류에 대한 연구는 학교 수학에서 학생들의 수학적 개념 이해 과정을 아는데 유용한 정보를 제공하여 학생들이 스스로 올바른 수학적 지식의 인지적 재구성과 통찰을 하도록 도울 수 있고, 수학 내의 지식의 통합이나 다른 지식과의 연결성을 학습할 수 있도록 하는 기회를 제공할 수 있기 때문이다. 이는 수학적 오개념과 오류에 대한 인지심리학적 고찰이 오개념과 오류의 교정과 개선, 새로운 개념의 발견과 탐구를 위한 새로운 교수 · 학습 방법을 모색하기 위한 토대를 마련한다는 데서 그 의의를 찾을 수 있다.