점진적 수학화에 기초한 음수 지도

Abstract

Negative numbers are too difficult to understand because anything which is related to negative numbers is not found in real world. In the history of negative numbers, mathematicians have suffered many cognitive troubles, and also there is no doubt that students have done the same troubles. The existence of negative-numbers is established by performing eternal law or formality in the system of natural number without connecting with quantity. Because such character of formality negative numbers results in many difficulties in teaching of mathematics, specific teaching models are used in math classes in the middle school. However such methods have substantial limitation in the teaching, and is not enough to understand the formality essence of negative numbers. So the effective way to teach negative numbers is the combination of cognitive method and formal method. The goal of research is to suggest the teaching method based on gradual mathematising to find the combination and to find out how much understanding students can get from using the concept of them. This is the solution to overcome the limitation of various models used currently and to support students to understand the notion of negative numbers by teaching the formality of negative numbers. Next issues are suggested to reach the goal of this research. 1. Analyze domestic and foreign textbooks about teaching negative numbers. 2. Develop instruction material to teach negative numbers based on gradual mathematising. 3. Find out how much understanding students can get from teaching method mentioned above. Textbooks of Korea, Singapore and the United States are analyzed in Issue 1. It is focused on introduction of negative-numbers' concept and teaching method of negative-numbers' calculation. The instruction of Issue 2 is based on results of Issue 1, Freudenthal's Mathematising Instruction and Symbolic theory, and also that of Issue 2 is focused on the increase of understanding-concept of negative-numbers according to developing concept of negative numbers. One hundred and sixty-one freshmen of author's school involved in testing Issue 3. Experimental group used researcher's method mentioned in Issue 2 and control group took the conventional class. The conclusion is written below in the order of Issues. Korean textbooks are putting more value on calculation in teaching negative-numbers operations, after those of several countries are analyzed. Furthermore using various models in each step makes students confused. Singapore textbooks use algebraic representation in teaching negative-numbers calculation. Doing so helps students understand the formality of negative numbers. MIC textbooks in the U.S use problems related with real world to introduce notion of negative-numbers and teach calculation of them. The teaching method in Issue 2 is developed through eight-time tests and eight-time teaching material. It is focused on elevation of students' understanding and transition of meaning from transition of representation. After testing to prove effect of teaching material, the degree of understanding of experimental group is higher than that of control group. A percentage of correct answers in experimental group is higher than that of control group showed in two independent-sample t-test using SPSS. It resulted from gradual mathematising of experimental group. Based on the result, teaching method using gradual mathematising makes positive influence to the understanding of notion of negative-numbers, but it is difficult to conclude that there is elevation in the development of notion of negative-numbers. This research has some limitations: 1) Because only some students in the specific school participated in the test, it is not easy to generalize those results. 2) Preliminary experiment was not performed. 3) Preliminary investigation was not done for the understanding of negative-numbers. 4) Last limitation is that the research uses only an integer and a rational number. For further research, next equation concept should be concerned.;음수는 직관적으로 연결되는 실제가 없기 때문에 이해하기 어려운 개념이다. 음수의 역사 발생 과정을 살펴보면 수학자들도 많은 인지적 장애를 겪었고 따라서 학생들이 음수 개념을 이해하는데 인지적 장애를 겪는 것은 어쩌면 당연한 일이다. 음수는 실제적인 양과 연관 지으려는 사고에서 벗어나서 자연수 체계에서 형식 불역의 원리에 따라 구성함으로써 존재성이 확립되었다. 음수의 이러한 형식적인 본질은 음수 지도에 있어서도 많은 어려움을 초래하고 있다. 중학교 수학에서는 구체적인 모델을 통하여 음수를 지도하고 있으나 모델을 통한 음수 지도에는 본질적인 한계가 있으며 이는 음수의 본질인 형식성을 이해하는 데에도 부족하다. 따라서 음수 지도를 위한 바람직한 방향은 직관적인 방법과 형식적인 방법의 조화를 이루는 것이다. 본 연구에서는 음수 지도에 있어서 직관적인 방법과 형식적인 방법의 조화를 모색하는 하나의 방안으로서 점진적 수학화에 기초한 음수 지도를 제안하고 있다. 이를 위하여 국내외 교과서를 비교 · 분석하고 이를 바탕으로 교수-학습 자료를 개발하였다. 개발한 자료를 이용한 수업이 학생들의 음수 개념 이해에 미치는 영향을 검증하는 것이 이 연구의 목적이다. 이는 현재 음수 지도에 이용되고 있는 다양한 구체적인 모델의 한계를 극복하고 음수의 본질인 형식성을 지도하여 학생들의 음수 개념 이해를 돕기 위한 방안이다. 이와 같은 연구의 목적을 달성하고자 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 1. 국내외 교과서의 음수 지도 방법은 어떠한가? 2. 점진적 수학화에 기초한 음수 지도를 위하여 어떠한 교수-학습 자료의 개발이 필요한가? 3. 개발된 교수-학습 자료를 이용한 음수 지도가 학생들의 음수 이해에 미치는 영향은 어떠한가? 연구문제 1은 한국, 싱가포르, 미국 MIC 교과서를 대상으로 내용적인 면에서 음수 개념 도입과 음수 연산 지도를 중심으로 비교 · 분석 하였다. 연구문제 2는 연구문제 1의 결과를 바탕으로 하고, Freudenthal의 수학화 학습지도론, 기호화 이론을 바탕으로 하여 음수 개념 발달 수준에 따라 음수 개념 수준 상승에 초점을 두어 개발하였다. 연구문제 3은 연구자가 근무하고 있는 학교의 중학교 1학년 학생 161명을 대상으로 실험하였다. 총 8차시에 걸쳐 정규수업 시간에 실시된 실험수업에서 실험집단은 연구문제 2에서 개발된 교수-학습 자료를 이용하여 수업을 하였고, 통제집단은 기존의 교과서를 이용하여 전통적인 수업을 실시하였다. 본 연구의 연구 결과를 연구문제 순으로 정리하면 다음과 같다. 국내외 교과서 비교 · 분석 결과 한국 교과서는 음수 개념 도입에 있어서는 실생활 맥락 문제를 통하여 기호를 구성해보는 수학화의 과정을 거치지만 음수 연산 지도에 있어서는 수학화 과정 없이 계산 연습에 치중되어 있다. 또한 각 연산마다 다양한 모델을 사용하여 학생들에게 혼란을 줄 수 있다. 싱가포르 교과서는 음수 연산 지도에 있어서 대수적 표현을 사용한다는 특징이 있다. 이는 학생들이 음수의 형식성을 이해하는 데에 도움이 될 것이다. 미국 MIC 교과서는 실생활 맥락 문제를 통하여 음수 개념을 도입하고 음수 연산을 지도하고 있다. 그러나 자칫 메타인지 이동이 일어날 수 있다는 우려가 있다. 점진적 수학화에 기초한 음수 지도를 위한 교수-학습 자료는 8차시 분의 실험집단 학습지와 학습지도안으로 개발하였다. 학생들의 음수 개념 이해 수준의 상승에 초점을 두어 시각적 표현에서 산술적 표현, 대수적 표현으로의 표현의 전이를 통한 의미의 전이가 이루어질 수 있도록 개발하였다. 개발된 지도안의 효과를 검증하기 위한 실험연구 결과 학생들의 음수 개념 이해 정도가 실험집단이 통제집단에 비하여 높았다. 모든 문항의 정답률이 실험집단이통제집단 보다 높았으며 SPSS의 독립표본 t검정 결과 유의수준 .05에서 유의미한 차이가 있었다. 그러나 음수 개념 이해 검사 문항 중 서술형 문항에서는 무응답 비율이 매우 높았다. 따라서 학생들의 이해 과정을 알아보기 위하여 개별 면담을 실시하였다. 개별 면담 결과 실험집단의 학생 중에서 모델의 한계를 알고 음수의 형식성을 인식하는 학생이 있었다. 이와 같은 연구 결과를 바탕으로 점진적 수학화에 기초한 음수 지도가 학생들의 음수 개념 이해에 긍정적인 영향을 미쳤음을 알 수 있다. 그러나 음수 개념 발달 수준에 있어서는 수준의 상승이 일어났다고 보기 어렵다. 본 연구는 특정 학교의 일부 학생만을 대상으로 실험하였기 때문에 그 결과를 일반화 하는 것에는 무리가 따른다. 또한 연구에 있어서 예비 실험을 하지 않은 것과 음수 개념 이해 검사에 있어서도 예비 검사를 실시하지 않은 점이 큰 제한점이라 하겠다. 연구 대상이 정수와 유리수 단원으로 한정된 것도 연구에 제한점이다. 따라서 더욱 의미 있는 연구를 위해서는 방정식 단원까지 연구가 이어져야 할 것이다. 또한 음수 지도의 직관적인 방법과 형식적인 방법의 조화를 위한 구체적인 방안에 대한 꾸준한 연구가 필요할 것이다.