유리수와 소수 단원에서 교사의 지도방법과 학생오류에 대한 인식 조사

Abstract

We made the purposes of the study to offer the information for the teaching the concept of Rational Number and Decimal in a junior high school course. 1. What is the errors and misconception of the students in the unit of Rational Number and Decimal? 2. How do the teachers teach the unit of Rational Number and Decimal? 3. How do the teachers recognize the errors of the students in the unit of Rational Number and Decimal? We studied the 347 middle school students by examination for the purpose of the study 1 and the 24 mathematics teachers by questionnaire for the purpose of the study 2, 3. We obtained the results of the purpose of the study 1 as followed First, the students had the errors of to define except the precondition, to analogize with the terminology and to confuse the concept with the definition. Second, the students carried out the classification of the decimals well, but they did not answer the reason of the classification and showed the error of the omission about the process of the solution. Third, the students had more errors about the algorithm 1 than algorithm 2 in the field to modify from the circulating decimals to fraction numbers. They showed that and 1 were same by algorithm 1 or 2, but had many errors of the explanation about that would be 1. Fourth, the students showed the high percentage of correct answers about the size comparison of the circulating decimals, but the students that compared the points of the circulating decimals in the question of cycle 9 showed the wrong answers. Fifth, the students showed the low percentage of correct answers about the proposition of the rational number and the decimal, and the relation of the rational numbers and the circulating decimals. We obtained the results of the purpose of the study 2 as followed First, the teachers showed the different goal of the unit of Rational Number and Decimal. Second, the teachers taught that the finite decimal could be expressed the circulating decimal, but they set question about the comparison the finite decimal with the circulating decimal. And they taught the diagram of division of the decimals, but they thought that the students could be effected the individualization of the numerical concepts by the diagram. Third, some teachers thought that algorithm 2 could improve the ability of mathematics, but many teachers thought that algorithm 2 could attach importance to algebraic handling. They said that we taught the concept of the infinity to actual infinity, but the students thought that the concept of the infinity was potential infinity. Fourth, when the teachers taught the method for the size comparison of circulating decimals, they showed the way to compare the cycles and the way to compare the fractions after changing the decimals to fractions. We obtained the results of the purpose of the study 3 as followed First, the teachers thought that the order of the errors of the students would be the infinite decimal - the rational number - the finite decimal - the circulating decimal. But the order of the errors of the students were found the finite decimal - the infinite decimal - the rational number - the circulating decimal. Second, in the question about the classification of the decimals, the students showed higher rate of the correct answers than the thinking of the teachers. Third, in the question about the expression the decimals to the fractions, the teachers thought that the errors of the misuse of the algorithm 1 were more than 2, but the students showed that the errors of the misuse of the algorithm 2 were more than 1. The teachers thought that the students would say that was right, but the students said that they could not understand why be right. Fourth, the students showed that they had more errors of the questions about the circulating decimals of cycle 9, and the teachers thought the same thing of the result of the students. Fifth, the students showed the higher rate of the wrong answers about the proposition and connection of the rational number and decimal than the thinking of the teachers. We derived a conclusion from the result of the study. First, they were as opposite as the teaching goal of the teachers and the result of teaching. Second, the teachers had the problem for the teaching methods, but they did not have the solution. Third, there were different between the teaching contents of the teachers and the comprehension of the students, but the teachers did not have the effective measures.;수 개념과 연산은 수학을 함에 있어서 기본이 되는 것이며, 이를 정확하게 이해하고 성질을 파악하는 것은 수학 학습에서 중요한 위치를 차지한다. 그 중에서도특히 유한소수와 순환소수의 학습은 수 체계에서 무리수 개념으로의 확장을 가능케 하는 중간 과정이며, 유리수와 순환소수의 관계를 정확히 이해하는 것은 궁극적으로 실수 개념 이해와 더불어 수 체계 확장을 위해서 중요하다. 그러나 유리수와 무리수의 개념 연결은 소극적으로 취급되고 있어 학생들이 수 개념을 이해하는데 여러 가지 어려움을 나타내고 있다. 따라서 모든 수학 학습의 시작이라 할수 있는 수 개념을 어떻게 학생들에게 가르치고 이해시키느냐 하는 것은 수학교사의 매우 중요한 과제라 할 수 있다. 더욱이 다양하고 복합적인 유리수와 소수개념을 학생들에게 제대로 이해시키는 것은 결코 쉬운 일이 아니다. 따라서 중학교 과정에서 유리수와 소수 개념을 지도하는 데 있어 보다 상세한정보를 제공하기 위하여 학생들은 어떤 오류를 보이며, 실제 교수-학습 현장에 있는 교사들은 유리수와 소수단원을 어떻게 지도하는지, 교사는 학생오류를 어떻게인식하고 있는지를 면밀히 검토하고 확인할 필요가 있다. 이를 위해 다음과 같은연구문제를 설정하였다. 1. <8-가> ‘유리수와 소수’단원에서 학생들이 보이는 오류 및 오개념은 무엇인가? 2. 교사들은 <8-가> ‘유리수와 소수’단원을 어떻게 지도하고 있는가? 3. 교사들은 <8-가> ‘유리수와 소수’단원에서 학생들이 보이는 오류를 얼마나인식하고 있는가? 연구문제 1을 알아보기 위해 연구 대상은 중학교 2학년 9개 학급 347명을 선정하여 오류검사를 실시하였다. 연구문제 2와 3를 알아보기 위해 중학교 수학교사24명을 대상으로 설문지 조사를 실시하였다. 중학교 2학년 학생들이 유리수와 소수 단원에서 보이는 오류 및 오개념을 살펴본 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들은 유리수와 소수 개념에 대한 정의를 하는데 있어서 특정 정의 조건을 빼고 정의하거나 용어 자체에서 유추하여 설명하는 오류를 많이 보였으며개념설명과 정의를 혼동하는 오류도 많았다. 둘째, 학생들은 유한소수, 무한소수, 순환소수를 구분하는 과정은 대부분 잘 수행하고 있었지만 그 과정의 이유에 대해서는 제대로 답하지 않거나 풀이 과정을생략하는 오류를 많이 보였다. 셋째, 순환소수를 분수로 표현하는 영역에서 학생들은 교과서에서 순환소수를분수로 고치는 과정을 10배, 100배… 하여 순환소수의 소수 부분을 같게 놓는 알고리즘1의 방법과 알고리즘1을 공식화한 알고리즘2를 함께 사용하고 있었는데 학생들은 알고리즘 1보다 알고리즘 2를 수행하는데서 보인 오류가 더 많은 것으로나타났으며 특히 알고리즘 2에서 순환소수의 분수표현을 공식으로 기억하고 수행하는 과정에서의 오류가 많았다. 또 학생들은 0.9 을 알고리즘 1이나 알고리즘 2를 이용해 1이 됨은 쉽게 보였으나, 0.999…가 1이 됨을 정당화하는 상황을 설명하는 문항에서는 0.9가 1임을 쉽게 답하였던 학생들조차 많은 오류를 보였다. 넷째, 순환소수의 대소를 비교하는 영역에서 학생들은 높은 정답률을 나타냈으나 순환마디가 9인 순환소수의 크기를 비교하는 문항에 순환마디를 풀어써서 직접 비교한 학생들은 오답을 보였다. 다섯째, 유리수와 소수들의 관계에 대해 학생들은 명제로 이해하는 것에 대해어려움을 보이며 유리수와 소수의 관계를 나타내는 명제들의 참, 거짓을 가리는문제에 낮은 정답률을 보였다. 또한 유리수와 순환소수의 관계를 설명하는 문항에서 학생들의 무응답률과 오답률이 높게 나타났다. 교사들의 실제 수업지도 관한 조사 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 교사들은 단원 도입시 수에 관한 역사적 개관을 대체로 제시하면서도 교육기자재의 활용은 거의 이루어지지 않았다. 또한 유리수와 소수단원에서 중점을두는 지도목표가 교사들마다 일치하지 않았다. 그리고 유리수와 소수 정의 지도에있어서는 정의를 외우게 지도하지 않는 교사는 없음에도 학생들은 유리수와 소수의 정의를 묻는 문항에서 다른 영역의 문항들보다 높은 오답율을 보였다. 둘째, 유한소수, 무한소수, 순환소수를 구분하는 소수 구분지도에 관하여 대부분의 교사들이 0.999…＝1임을 이용해 유한소수를 순환소수로 나타냄을 지도한다고응답했음에도, 유한소수와 순환소수를 구분하는 문제를 평가시험에 출제한다고 답하였다. 또 거의 모든 교사들이 소수를 유한소수와 무한소수로 구분하는 이분화된소수 분류 도식을 학생들에게 지도하고 있다고 응답하면서도 이러한 소수 분류도식이 수 개념을 개별화하는 경향에 대체로 영향을 준다고 생각했다. 셋째, 순환소수를 분수로 표현하는 영역 지도에 있어서 ‘알고리즘 1을 공식화한 알고리즘 2를 지도하는 것이 학생들의 학습능력향상에 도움이 되는가’에 대해 교사들은 보통이라고 답했으며, ‘교실수업이 대수적 조작에 치중하는 경향이있는가’에 대해서는 대체로 그렇다고 답했다. 또 0.999…＝1임을 지도하는 데 분수로 고쳐 1임을 보이는 교사비율과 직관적으로 언젠간 1이 된다는 가무한의개념으로 지도하는 교사비율이 비슷했으며, 학생이 0.999…＝1임에 계속 오류를 보일 때 대부분의 교사들은 특별한 지도 방법이 없다고 답했으며 일부는 직관적인 이해를 위해 가무한의 개념을 반복하는 것으로 나타났다. 넷째, 순환소수 대소 비교 지도에 있어서 대부분의 교사들은 순환마디를 풀어직접 비교하는 방법과 순환소수를 분수로 고쳐 비교하는 방법을 모두 지도하고있다고 응답했다. 다섯째, 유리수와 소수들의 관계에 대해 교사들은 실제 수업에서 수 체계 도식을 대체로 지도하고 있는 것으로 답했으며 유리수까지 도식화하여 나타낸다는 응답이 절반을 넘었다. 무리수 지도와 관련하여 실제 수업에서 모든 교사들은 순환하지 않는 소수나 무리수를 지도한다고 답했으나 무리수 정의 도입 시기에 대해서는 대부분의 교사가 지금처럼 무리수만은 <9-가> 단계에서 지도하는 것이 바람직하다고 답하였다. 교사들의 학생 오류 인식에 관한 조사 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수있었다. 첫째, 유리수와 소수의 정의에 대한 학생오류에 대하여 교사들은 무한소수-유리수-유한소수-순환소수 순으로 학생 오류가 많을 것으로 생각했으나, 실제 학생들은 유한소수-무한소수-유리수-순환소수 순으로 오류를 보였다. 둘째, 소수를 구분하고 이유를 적는 문제에서 학생들이 가장 많은 오류를 보인 3.90000…문제에 대해 교사들은 오류가 많을 것으로 인식하지 못했으며, 나머지문제들에 있어서는 실제 학생들이 보인 오답률이 교사가 생각하는 오답비율보다낮아 교사들이 생각하는 것보다 학생들은 소수를 구분하는 문제에 있어서의 어려움이 적은 것으로 나타났다. 셋째, 순환소수를 분수로 표현하는 문항에 대해 학생들은 알고리즘 1과 알고리즘 2로 간단히 취급할 수 있음에도 직관적인 오류를 들어 풀이를 하는 오류를 많이 보였으나 교사들은 이를 인식하지 못하였다. 또, 교사들은 ‘알고리즘1을 잘못이용한 오류’가 가장 많을 것으로 예상했으나 실제 학생들은 ‘알고리즘2를 잘못 이용한 오류’를 가장 많이 보였다. 또한 0.999…＝1임을 이해하는 문제에 학생들이 보인 오류유형에 대해서 교사들은 일단 학생들이 0.999…＝1임은 인정하고 설명에서 오류를 보이는 오류가 많을 것으로 예상했으나 실제 학생들은 0.999…가 1이 되는 것 자체를 이해하지 못하는 오류가 더 많았으며, 0.999…＝1임을 맞다고 하면서 학생들이 설명에서 보인 오류에 대해서는 교사들이 생각하는오류순위와 실제 학생들이 보인 오류순위에 차이가 있었다. 넷째, 순환소수의 대소를 비교하는 2개의 문제 중 순환마디가 9인 순환소수가있는 문제에 오류가 더 많을 것임을 교사들은 잘 인식하고 있었으며 순환소수의대소를 비교하는 과정에서 학생들이 보인 오류유형별 오류에 있어서도 교사들은실제 학생들이 보인 오류순위를 비교적 잘 인식하고 있었다. 다섯째, 유리수, 유한소수, 무한소수, 순환소수 사이의 관계에 대한 학생들이 보인 오류순위와 교사가 생각하는 학생 오류순위에는 차이가 있었으며 특히 유리수와 순환소수의 관계에서 학생들이 직접 명제에 관하여 보인 오류유형의 오류순위에 대해서도 교사들은 대체로 인식하지 못하고 있었다. 이상의 결과에서 다음과 같은 결론을 도출할 수 있었다. 첫째, 교사들의 지도목표와 학생들의 지도결과에 차이가 있다. 교사들은 유리수와 소수 단원에서 각 용어의 개념과 그 관계를 가장 중요시하는 단원목표로 설정하고 있으나 학생들의 검사결과 용어의 개념과 그 관계에 대한 학생오류가 상당히 많았다. 둘째, 교사들은 현재의 지도방법에 문제가 있음에도 이를 변화시키거나 대체할수 있는 방법이 부족하다. 유한소수를 순환소수로 나타낼 수 있다고 지도하고 있으나 이 둘을 구분하는 문제를 출제하거나, 이분화된 소수 분류 도식이 수 개념의개별화를 초래할 수 있음을 인식하면서도 이를 지도하고 있었다. 또한 순환소수를분수로 고치는 알고리즘 2가 실제수업에서 대수적 조작에 치중하는 경향이 있다고 보았음에도 학생들에게 모든 교사가 이를 지도하고 있었다. 셋째, 교사들의 지도내용과 학생들의 이해내용에 차이가 있으며, 교사들은 이에대한 대책이 부족하다. 무한소수와 순환소수에 내재된 무한개념에 관하여 교사들은 실무한개념으로 지도하나 학생들은 가무한개념으로 이해하고 있고, 교사들은이를 인식하고 있었으나 그 차이를 극복하기 위한 방법을 찾지 못하고 있다. 위의 결론에서 도출된 문제점들을 해결하기 위해, 학생 오류에 대한 교사의 인식정도가 낮은 영역에 있어서는 교사들의 학생 오류 파악을 위한 노력이 먼저 시행되어야 하며, 학생 오류에 대한 인식정도는 높으나 지도방법에 문제가 있는 영역에서는 기존 지도방법의 개선 및 새로운 지도방법의 개발이 필요하다.