작도를 활용한 논증기하 지도

Abstract

The purpose of this study are to understand the propositions of the plane geometry and to improve the understanding proof-procedure and attitude toward math by applying construction to proof-activity. We set up these research problems to verify the above objectives. 1. Is there any difference in problem-solving ability of the geometrical propositions and ability of understanding proof elements between students who practice proof-activity with construction and ones with textbook-based activity? 2. Is there any difference in proof-writing ability between students who practice proof-activity with construction and ones with textbook-based activity? And is there any difference in proof-writing ability according to students' level(low, intermediate and high) between students who practice proof-activity with construction and ones with textbook-based activity? 3. Is there any difference in attitude toward Mathematics between students who practice proof-activity with construction and ones with textbook-based activity? The controlled and uncontrolled groups are made up of 6 classes of 2nd graders from a middle school in Gyeyanggu, Incheon. The three controlled classes had taken proof-activity with applying construction and the others taken general math classes. A pre-test was taken, and after the 5 week experimental treatment (16 experiments) a post-test was performed in order to identify the difference. The controlled and uncontrolled groups had taken different types of math classes. While the controlled group had taken math classes applying construction with ruler and compasses to prove geometrical proposition along these steps: analysis in proof procedure - construction - proof - application. On the other hand the uncontrolled group had taken textbook-based learning. Students had a pre-test. We used our own survey report for testing geometrical ability and Korea Educational Development Institute's for attitude toward math. The post-test was to inspect four things: problem-solving ability in the proposition of the plane geometry, understanding proof-elements, proof-writing ability and attitude to math. We employed the SPSS WIN statistical software. The t-test was used in pre/post-tests. As a result, the problem-solving ability in the geometrical proposition was estimated t=0.416, p=0.678 and the understanding proof-elements ability was t=0.427, p=0.670 at the 0.05 level, which did not show any significant difference. The proof-writing ability was estimated t=0.427, p=0.670 at the 0.05 level and there was no meaningful difference. When we analyzed this result after dividing groups into three from low to high-level, however, we found out significant difference in low-level group. The attitude to math was estimated t=2.006, p=.046 at the 0.05 level. It showed important difference. We used the t-test to inspect three sub factors of attitude; self-concept, learning attitude and learning habit. There was some meaningful growth only in learning attitude. These facts represent construction is not entirely helpful to students' proof-activity. Students tried to solve the problems applying the geometrical proposition without any reflection and made some errors. Such facts reveal that we could improve students' proof-activity ability if we apply proper construction and guide them not to make common errors. However, the low-leveled students came to develop proof ability and got more positive attitude to math, which means problem-solving with construction could resolve the difficulties in proof-activity.;본 연구는 작도를 활용한 증명학습을 통하여 도형의 성질을 이해하고 증명이해의 어려움을 개선시키며 수학에 대한 태도를 향상시키는데 그 목적이 있다. 이러한 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 작도를 활용한 증명학습을 한 학생과 교과서 중심의 활동을 통한 증명학습을 한 학생은 도형의 성질 이해 및 증명의 구성요소 이해 능력에 차이가 있는가? 2. 작도를 활용한 증명학습을 한 학생과 교과서 중심의 활동을 통한 증명학습을 한 학생은 증명쓰기 능력에 차이가 있는가? 또한, 학습수준(상위집단, 중위집단, 하위집단)에 따라 작도를 활용한 증명학습을 한 학생과 교과서 중심의 활동을 통한 증명학습을 한 학생의 증명쓰기 능력에 차이가 있는가? 3. 작도를 활용한 증명학습을 한 학생과 교과서 중심의 활동을 통한 증명학습을 한 학생은 수학에 대한 태도에 차이가 있는가? 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 실험연구가 수행되었다. 실험연구의 대상은 I시에 소재하는 중학교 2학년 6개 반을 선정하였다. 세 반은 작도를 활용한 증명 수업을 하며 다른 세 반은 일반적인 수업을 하는 비교 집단으로 무선 할당하여 실험 연구를 실시하였다. 먼저 두 집단의 사전 능력의 동일성을 알아보기 위하여 사전 검사를 실시하였고, 16차시의 실험 처치를 한 후, 변화를 알아보기 위하여 다시 사후 검사를 실시하였다. 실험 처치는 수학 교과 시간을 활용하여, 두 집단에게 서로 다른 유형의 수업을 5주간 실시하였다. 이 기간 동안 총 16차시를 실험 집단은 자와 컴퍼스를 사용하는 작도를 활용한 증명 문제로 만든 활동지를 이용하여 작도과정에 대한 분석- 작도 - 탐구 - 증명- 확장의 단계로 학습하였고, 비교 집단은 교과서 중심의 활동을 통한 증명 수업을 진행하였다. 본 연구에서 사용한 사전검사는 기하능력검사와 수학에 대한 태도검사를 실시하였다. 사후검사는 도형의 성질에 관한 문제풀이능력과 증명의 구성요소 이해 능력, 증명쓰기 능력, 수학에 대한 태도의 검사를 실시하였다. 도형의 성질에 관한 문제풀이능력과 증명의 구성요소 이해 능력, 증명쓰기 능력의 집단 비교를 하기 위하여 SPSS WIN 통계프로그램을 이용하여 사전 기하능력 검사를 통해 동질집단임을 확인하고 사후검사의 점수를 두 독립표본 t검정하였다. 수학적 태도 검사에서는 사전검사와 사후검사의 문항을 동일하게 사용하였으므로, 사전능력의 영향을 제거하고 실험처치 이후의 실험집단과 비교집단의 차이를 검증하기 위하여 SPSS WIN 통계프로그램을 이용하여 사전검사와 사후검사의 차이를 독립표본 t 검정하였다. 실험 결과, 도형의 성질에 관한 문제풀이 능력은 t=.288, p=.773, 증명의 구성요소에 관한 검사는 t= .240, p= .810으로서 유의도 5% 수준에서 두 집단간의 통계적으로 유의미한 차이는 없었다. 증명 쓰기 능력 또한 t= -.274, p= .784로서 유의도 5% 수준에서 두 집단간의 유의미한 차이가 없었으나, 수준별 집단으로 분석한 결과 하위 수준은 t=-2.086, p=.041으로 유의도 5%수준에서 통계적으로 유의미한 차이가 있었다. 수학에 대한 태도 향상에서는 t=2.006, p= .046으로 유의도 5% 수준에서 통계적으로 유의미한 차이가 있었다. 태도의 하위요인인 자아개념, 학습에 대한 태도, 학습습관으로 나누어 각각 태도 향상에 대한 독립표본 t 검정을 실시한 결과 학습에 대한 태도에서 통계적으로 유의미한 차이가 있었다. 이상의 연구결과로부터 중학교 증명학습에서 작도가 학생들의 증명활동에 전적으로 긍정적인 역할을 하지는 않는 것으로 확인되었다. 작도활동을 통한 학습이 통계적으로 유의미한 차이를 보이지 않은 이유를 분석해 보면 다음과 같다. 첫째, 학생들은 도형을 작도하면서, 또는 작도된 도형을 관찰하면서 그림 속에서 당연해 보이는 것을 반성적 사고 없이 증명과정에 이용하는 경향이 있었으며 그로부터 오류를 범하기도 하였다. 둘째, 실험집단의 학생들이 작도하기 위한 방법을 생각하고 자와 컴퍼스로 정확하게 작도를 하는 과정에 많은 시간을 소요하며 이를 관찰하기 위한 탐구과정이 길었던 반면, 비교집단의 학습에서는 이미 주어진 도형을 통해 관찰한 후 가정과 결론으로 구분하고 논리적으로 추론하는 과정에 많은 시간을 투여했기 때문으로 생각된다. 셋째, 교과서 <8-나 단계>에서 제시된 삼각형의 성질 단원은 대부분 삼각형의 합동을 이용하여 명제를 증명하는 내용으로, 합동인 삼각형만 찾으면 증명이 되는 경우가 많다. 작도를 하고 작도과정에서 증명의 요소를 탐색하는 귀납적 활동은 보다 다양한 해결 전략을 모색하는 증명문제에 대해 효과가 있을 것이라 생각한다. 반면, 교과서에서 제시되고 있는 도형의 성질에 대한 증명과정은 교사의 정련되고 구조화된 설명이 학생의 이해를 돕는 것으로 보인다. 특히, 추상적 사고가 가능한 상위집단의 학생들은 가설적 작도를 통해서도 기하문제를 해결할 수 있는 것으로 보인다. 그러나, 하위 집단의 증명능력의 변화나 태도에서의 긍정적인 변화는 증명 이전에 작도 등을 통한 탐구활동이 학생의 증명 이해의 어려움을 해소할 수 있는 가능성을 준다고 할 수 있다.